Inverz szórási feladatok sok műszaki, orvosdiagnosztikai, fizikai stb. alkalmazásban előfordulnak. A projektben a kvantummechanika inverz szórási feladatai közül vizsgáltunk néhányat. Bizonyítottunk unicitási tételeket, amelyek szerint a szórási adatokból bizonyos feltételek mellett a vizsgált objektum egyértelműen azonosítható. Ezzel lényegesen megjavítottunk korábban ismert eredményeket. Vizsgáltuk az inverz feladat stabilitását, tehát hogy a rekonstruált objektum mennyire érzékeny a szórási adatok kis változására. Kutattuk a szórási adatok belső, matematikai tulajdonságait, például a fixenergiás fázistolások sorozatának eloszlását, vagy a szórásamplitúdó komplex változós kiterjesztésének analitikus növekedési rendjét. Megjavítottunk ismert rekonstrukciós eljárásokat, melyek a Gelfand-Levitan módszer alapján állítják elő a potenciált a fázistolásokból és definiáltunk új rekonstrukciós eljárást, mely egy momentumfeladat minimális normájú megoldásán alapul. Az inverz sajátértékfeladat stabilitását is vizsgáltuk véges intervallumon Schrödinger operátorra, itt is megjavítva klasszikus eredményeket. | Inverse scattering problems appear in many applications in engineering, medical diagnostics, Physics and so on. In this project we investigated some inverse scattering problems of quantum mechanics. We proved uniqueness theorems which state that the target object can be uniquely identified by scattering data. These are essential improvements of some former results. We investigated stability of inverse problems, that is the sensibility of reconstruction to small perturbation of scattering data. Research has been made to clarify the inner mathematical structure of scattering data, e.g. the distribution of fixed-energy phase shifts or the growth of analytic extensions of the scattering amplitude. We developed further some known reconstruction procedures, based on the Gelfand-Levitan method and defined a new one, based on the minimum norm solution of a moment problem. We also considered the stability of the inverse eigenvalue problem for the Schrödinger operator on finite intervals and obtained strengthening of some classical results
