A Leavitt-algebrák, sőt bizonyos egyszerű Leavitt- útalgebrák elméletében a K-elméletük egyértelműen jellemzi őket, amiből új, konstruktív teljesen algebrai, illv. gráfelméleti bizonyítást adtunk arra, hogy a Cuntz-algebrákat teljesen meghatározza a (topológiai) K-elméletük. Bebizonyítottuk Leavitt útalgebrákra a C*-algebrák elméletében fontos és nagyon hasznos ún. Gauge-invariant Uniqueness Theorem algebrai változatát, amely adja a fent említett gráfelméleti biyonyítást. Szép eredménzeket értünk el mind PI-gyűrűk mind féligegyszerű modulus nilpotens endomorfizmusainak illv. Jordan normal alakjainak struktuális vizsgálatában. Új Cayley-Hamilton azonosságot találtunk és leírjuk bizonyos ún. erősen felbonthatatlan gyűrűk feletti általánosított felső háromszög 2x2 mátrixgyűrűk automorfizmuscsoportját. A kommutatív aritmetikai gyűrűk oszthatósági elméletét Bezout monoidként vizsgálva, szűrők és m-prím szűrők felhasználásával, leírjuk a homomorfizmusaikat és minden féligöröklődő Bezout S monoidra konstruálunk egy féligöröklődő Bezout gyűrűt, amelynek S az oszthatósági elmélete. Fontos lépéseket tettünk a félig-Abel kategóriák elméletében, valamint a faktorizációs rendszerek, Kuros-Amitsur radikálok és szimpliciális halmazok kapcsolatában. Igazoltuk a Kimmerle sejtését az egyszerű Mathieu M_12 és a Higman-Sims egyszerű csoportokra. Reguláris lambdára a kotorziócsoport lamdba-tiszta projktív dimenzió > 1 szükséges és elégséges feltételét adtuk. | Leavitt algebras, even certain simple Leavitt pathalgebras are determined uniquely by their K-theory. This provides 2 new constructive completely algebraic and graph theoretic proof , respectively, to the result that their K-theory determines uniquely the Cuntz algebras. We used the algebraic version of the Gauge-invariant Uniqueness Theorem which is very important and useful for C*-algebras for the graph theoretic proof of the above mentioned result. We have nice results on the structure of both PI-rings and nilpotent endomorphisms of semisimple modules , their Jormal normal forms. We obtain new Cayley-Hamilton identity, the as well as a desciption of the automorphism group of 2 by 2 generalized upper triangular matrix rings over so-called strongly indecomposable rings. Considering divisibility theory of commutative arithmetical rings as Bezout monoids, by using filters and m-prime filters one can describe their homomorphisms and construct a Bezout semihereditary ring with the predescribed semihereditary Bezout monoid as its divisibility theory. There are important progress in the theory of semi-abelian categories, the relation between factorization systems, Kurosh-Amitsur radicals and simplicial sets. Kimmerle conjecture is verified for both the simple Mathieu group M_12 and the simple Higman-Sims group. We give a necessary and sufficient condition for a lambda-pure projective dimension > 1 in the case of cotorsion groups and regular lambda
