KHABIBAH, SITI

NEENTY, EIGHT RINEKA

SUMANTO, YD

Indonesian

Diponegoro University Institutional Repository

DINAMIKA KELUARGA FUNGSI KUADRAT  BERDASARKAN TITIK TETAP  Rineka Eight Neenty1, Siti Khabibah2, YD. Sumanto3 1,2,3Program Studi Matematika Jl. Prof. Soedarto, S.H, Semarang, 50275 ABSTRAK Sistem dinamik merupakan sistem yang digunakan untuk mengetahui perilaku dinamik pada sebuah fungsi. Perilaku dinamik pada keluarga fungsi kuadrat  dapat diketahui jika nilai  nya sudah ditentukan. Nilai  yang berbeda pada keluarga fungsi kuadrat  menghasilkan sistem dinamik yang berbeda pula. Untuk mengetahui dinamika titik tetap pada suatu fungsi  , langkah awal yang dilakukan yaitu dengan mencari titik tetap  yaitu  dan . Selanjutnya diselidiki orbit titik- titik disekitar titik tetap, apakah bersifat  attracting, repelling, atau neutral.  Perilaku orbit dari fungsi  dapat diperjelas dengan menggunakan prosedur geometri yaitu analisa grafik dan phase portrait Kata kunci : Titik tetap, analisa grafik, orbit.    1. PENDAHULUAN Sistem dinamik merupakan cabang dari matematika yang mencoba untuk memahami proses gerak atau perubahan. Dinamika pada keluarga fungsi kuadrat merupakan perubahan – perubahan yang terjadi pada keluarga fungsi kuadrat. Perubahan ini disebabkan karena nilai  yang berbeda- beda.  Sejarah sistem dinamik bermula dari persamaan differensial yang sangat penting dalam ilmu pengetahuan dan tekhnologi. Terdapat banyak metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, diantaranya transformasi laplace, metode aljabar linier, dan banyak teknik- teknik yang lain. Dalam perkembangannya, analisa teknik untuk menyelesaikan persamaan differensial sebagian besar dikerjakan untuk persamaan differensial linier sedangkan penyelesaian untuk persamaan differensial non linier lebih sulit diselesaikan. Pada kenyataannya, banyak proses – proses penting yang bentuknya adalah non linier.  Dalam sistem dinamis  terdapat keluarga fungsi kuadrat  , dengan  adalah bilangan real atau bilangan kompleks. Fungsi kuadrat dengan bentuk  kompleks seperti perilaku dinamik pada Julia set  dan perilaku dinamik dari Mandelbrot set.  Perkembangan berikutnya yaitu metode sederhana yang digunakan untuk mengetahui perilaku dinamik dari keluarga fungsi kuadrat yaitu dengan proses iterasi. Sistemdinamik akan mencoba menyederhanakan operasi matematika seperti pada akar pangkat dua atau akar pangkat tiga dengan mengulang- ulang proses sampai berkali- kali. Proses tersebut dinamakan iterasi. Proses ini menghasilkan daftar dari bilangan rill atau bilangan kompleks yang berubah setelah dilakukan subsitusi.   2. ITERASI  Banyak permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan  matematika yang diselesaikan dengan iterasi. Iterasi merupakan pengulangan suatu proses sampai berkali – kali. Iterasi fungsi merupakan evaluasi fungsi secara terus menerus menggunakan hasil dari aplikasi sebelumnya sebagai input untuk aplikasi berikutnya. Jika diberikan fungsi , maka  merupakan iterasi kedua dari  yaitu dan iterasi ketiga dari fungsi  yaitu  yang dapat ditulis . Secara umum dapat ditulis  merupakan iterasi ke dari  yang dikerjakan di . [1] 3. ORBIT Titik disebut seed ( titik awal ) dari orbit dan adalah bilangan asli. Dengan kata lain, orbit merupakan output-output dari suatu iterasi yang didaftarkan sesuai urutan yang dicapai. Dalam sistem dinamik kontinu, orbit digambarkan dalam bentuk kurva. Orbit ada tiga macam yaitu  1. Titik tetap  Sebuah titik dikatakan titik tetap jika  memenuhi , jika dilakukan iterasi kedua maka  Jadi secara umum  titik tetap (  2. Titik periodik  Sebuah titik dikatakan titik periodic jika ( untuk beberapa nilai  Nilai  paling kecil disebut periode primer dari  Jika adalah titik periodic dengan periode primer maka orbit dari titik adalah pengulangan dari barisan bilangan – bilangan :   3. Titik Eventually  Sebuah titik disebut  titik eventually fixed  jika titik bukan titik tetap tetapi beberapa titik dalam orbit dari titik adalah tetap. Sedangakan  disebut eventually periodic jika titik sendiri bukan titik periodik, tetapi beberapa titik pada orbit dari merupakan titik periodik. Contoh kasus dalam menentukan titik tetap dan menyelidiki orbit disekitar titik tetap pada keluarga fungsi kuadrat  yaitu 1. Pada saat  Pada kasus  ini berarti fungsinya adalah   mempunyai titik tetap di dan  Fungsi  mempunyai turunan  maka dapat disimpulkan bahwa titik -1 dan 2 adalah titik repelling karena   dan .   Iterasi ke  Titik Hasil  Hasil     0,01                                                                             Tabel  orbit dengan  dan  Tabel diatas menunjukkan bahwa fungsi  mempunyai orbit titik yang acak atau chaotic.  Analisa grafik  jika diambil  adalah   Gambar  Diagram orbit dengan  Gambar diagram orbit menunjukkan bahwa melalui proses iterasi dengan  diperoleh orbitnya cenderung chaotic atau kacau.  Analisa grafik   dengan titik awal  yaitu   Gambar Diagram orbit dengan  Gambar diagram orbit menunjukkan bahwa melalui proses iterasi dengan  diperoleh orbitnya cenderung chaotic atau kacau. Fungsi  mempunyai titik neutral di , yaitu  dan mempunyai titik eventually fixed di dan   Untuk mencari titik periodik pada fungsi  yaitu dengan mencari  terlebih dahulu. Dari persamaan  diperoleh dan . Sehingga diperoleh titik periodik dari persamaan  adalah pada  .  2. Pada saat  Jika  maka  mempunyai dua titik tetap yaitu    Misal diambil maka fungsi  mempunyai dua  titik tetap yaitu 3.   dan  Untuk mengetahui perilaku orbit dari fungsi  yaitu dengan mengambil titik awal disekitar titik tetap, misal diambil titik awal  yaitu dimisalkan  maka dengan iterasi dapat diketahui orbitnya yaitu:  Iterasi ke Titik  Hasil    1                   Tabel  orbit dengan  Dari tabel diatas dapat diperoleh bahwa orbit dari  yang cenderung akan menuju ke tak hingga. Sedangkan jika diambil  misal diambil maka orbitnya adalah  Iterasi ke Titik  Hasil                    Tabel  orbit dengan  Dari tabel orbit dengan  dapat diperoleh bahwa orbit dari  yang cenderung akan menuju ke tak hingga.  Dengan analisis grafik diperoleh    Gambar Diagram orbit  dengan  Gambar diatas menunjukkan bahwa orbit fungsi  dengan mengambil titik awal   dengan akan menuju ke tak hingga. Dari tabel orbit dengan  dapat diperoleh bahwa orbit dari  yang cenderung akan menuju -2 0 2 4 6 8 10-4 -2  0  2  4  6  8  10  12  14x(n+1)x(n)ke tak hingga.  Dengan anlisis grafik diperoleh   Gambar Diagram orbit  dengan  Gambar diagram orbit diatas menunjukkan bahwa orbit fungsi  dengan mengambil titik awal   dengan akan menuju ke tak hingga.  Pada kasus hanya mempunyai dua titik tetap yaitu  dan  yang merupakan titik  dan adalah jenis titik tetap repelling. Untuk mengetahui fungsi  mempunyai titik periodik yaitu dengan iterasi kedua .  Faktor dari persamaan  salah satunya adalah dan   dan faktor yang lain yaitu       Sehingga fungsi  mempunyai titik tetap yaitu yaitu  dan   dan mempunyai titik periodik yaitu   dan . Pada kasus  semua titik setelah beberapa iterasi akan menuju ke tak hingga. Semua orbit dari titik – titik tersebut pada interval -  yaitu  akan menuju ke tak hingga. Selanjutnya akan dianalisis orbit dari titik – titik lain yang tidak pernah meninggalkan - . Dimisalkan untuk semua  Dimisalkan titik titik yang meninggalkan tersebut dinotasikan dengan  : himpunan titik – titik yang keluar dari  setelah satu iterasi .  yang meninggalkan dua interval tertutup yaitu    dan . Misal jika diambil  maka gambar analisis grafiknya yaitu    Gambar  Grafik Orbit titik   dan  Gambar grafik orbit diatas menunjukkan bahwa orbit dari  keluar dari  setelah dua iterasi. Jadi, jika , maka  untuk  dan  bukan merupakan himpunan .  . Orbit dari  keluar dari setelah 3 iterasi. ,  dan  yang meninggalkan empat interval tertutup yaitu  ,  dan , . Gambar analisis grafiknya yaitu   Gambar Grafik Orbit titik   dan  dengan  -2 0 2 4 6 8 10-4 -2  0  2  4  6  8  10  12  14x(n+1)x(n)Gambar orbit diatas  menunjukkan bahwa orbit dari  keluar dari  setelah tiga iterasi. Jadi, jika , maka  untuk  dan  bukan merupakan himpunan .  Jadi secara umum diperoleh   Jumlah interval dari  adalah dua kali jumlah interval dari . Jika , maka  untuk  dan  bukan merupakan himpunan . Sehingga diperoleh  Jadi himpunan  diperoleh setelah menghilangkan semua interval terbuka  yaitu memuat  interval tertutup. Himpunan ini disebut himpunan Cantor.   4. PENUTUP Berdasarkan pembahasan pada bab- bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut 1. Titik tetap pada keluarga fungsi kuadra  dapat diketahui dengan rumus  sedangkan untuk mengetahui adanya titik periodik yaitu dengan membuat grafik iterasi kedua dari fungsi  yang berpotongan dengan garis .  2. Pada keluarga fungsi kuadrat  dengan parameter  maka dapat diketahui orbit titiknya cenderung kacau atau chaotic.  3. Pada saat parameter  maka orbit titik tetap setelah beberapa iterasi akan menuju ke tak hingga. Sedangkan titik yang tidak meninggalkan grafik disebut dengan himpunan Cantor.   5. DAFTAR PUSTAKA [1]. Devaney dan Robert, L. 1992. A First Course in Chaotic Dynamical System, Theory and Experiment. Addison – Wesley publishing Company Inc. massachusets. [2]. Edwin J.Purcell, Dale verlag. 2001. Calculus and analytic Geometri. Edisi 5 cet.13. Erlangga. Jakarta. [3]. E. Villate, Jaime. 2006. Introduction to dynamical systems: a hands-on approach with Maxima. University of Porto. College of Engineering. Porto, Portugal. [4].  Hutahaean, E. 1980. Fungsi Riil. Penerbit ITB. Bandung. [5]. Perko, L. 2001. Differential Equations and Dynamical System( edisi ke tiga). Springer – Verlag. Newyork. [6]. Tuwankotta, Johan Matheus. 2010. Discrete Dynamical System and Chaos. Departemen Matematika, FMIPA, ITB. Bandung. [7]. Warsoma Djohan dan Budi, Wono setya. 2007. Diktat Kalkulus I. Departemen Matematika, FMIPA, ITB. Bandung.  .  

DINAMIKA KELUARGA FUNGSI KUADRAT Qc=X^2+c BERDASARKAN TITIK TETAP

http://eprints.undip.ac.id/38574/1/12_JURNAL.pdf

DINAMIKA KELUARGA FUNGSI KUADRAT Qc=X^2+c BERDASARKAN TITIK TETAP

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Diponegoro University Institutional Repository