Diese Diplomarbeit behandelt mehrere Aspekte der Theorie der Kerndistributionen auf Mannigfaltigkeiten. Dazu werden einleitend die wichtigesten Begriffe aus den Gebieten der Funktionalanalysis, Differentialgeometrie und Distributionentheorie wiederholt.
Danach behandelt der Text den Satz vom distributionellen Kern auf Mannigfaltigkeiten von Laurent Schwartz, welcher besagt, dass alle stetigen und linearen Abbildungen des Raumes der Testfunktionen auf X in den der Distributionen auf Y, für X und Y zwei Mannigfaltigkeiten, durch eine Kerndistribution K auf dem Produktraum gegeben werden kann. Anschließend werden die Spezialfälle der regulären und regularisierenden Kerndistributionen besprochen, welche eine Ausdehnung des Kernoperators auf Räume von Distributionen erlauben.
Schließlich wird das Thema mikrolokale Analysis im Hinblick auf Distributionen auf Mannigfaltigkeiten und insbesondere für Kernoperatoren besprochen. Dazu wird zuerst eine Koordinaten-invariante Definition der Wellenfrontmenge hergeleitet, welche es er-möglicht von der Wellenfrontmenge einer Distribution auf einer Mannigfaltigkeit zu sprechen. Danach wird die Wellenfrontmenge von Distributionen untersucht, die von einem regulären Kernoperator stammen.This thesis develops several aspects of the theory of kernel distributions on manifolds. Beginning with a section on prerequisites, it shortly outlines the most important concepts needed from the fields of functional analysis, differential geometry and distribution theory.
The second chapter then deals with the kernel theorem by Laurent Schwartz, stating that all linear and continuous operators from the space of test functions on X into the space of distributions on Y (for X and Y two manifolds) are in fact kernel maps given by a distribution on the product space. After proving this theorem, regular and regularising kernel operators are examined as special cases of kernel operators that allow an extension of the kernel map to distribution spaces.
The last chapter then moves on to microlocal analysis on manifolds, where first of all an intrinsic, coordinate-invariant definition of the wave front set for distributions on a manifold is given. Ultimately, the thesis returns to kernel operators and investigates their microlocal properties
