Bei der Beschreibung physikalischer Systeme tritt die Diffusionslgeichung häufig auf. Aufgrund der Komplexität dieser Systeme ist es meistens nicht möglich sie analytisch zu lösen, weshalb numerische Verfahren angewendet werden müssen. Abhängig von dem Problem ist es wichtig, effiziente Algorithmen zu entwickeln, um die Rechenzeit in einem vertretbaren Rahmen zu halten.
Traditionelle Methoden, wie etwa der Vorwärts Euler Algorithmus, die ublicherweise für das Lösen der Diffusionsgleichung verwendet werden, schränken bekanntlich die Zeitschrittweite sehr stark ein, so dass sie in diesem Sinn als unbrauchbar gelten müssen. In dieser Diplomarbeit wird eine neue Klasse von Methoden, genannt Smoothed Essentially Non-Oscillatory (SENO), konstruiert, welche diese Grenzen signifikant erweitern.
Bevor dieser Algorithmus zusammen mit den dazu notwendigen numerischen Methoden eingeführt wird, wird die Diffusionsgleichung eingehend untersucht. Dazu werden mehrere analytische Eigenschaften der Gleichung und ihrer Lösungen aufgeführt. Mehrere Beweise für den Spezialfall der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung illustrieren diese charakteristischen Eigenschaften.
Die Grundidee für die SENO Methoden ist die Diffusionsgleichung als Erhaltungssatz zu sehen um darauf Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) Methoden anzuwenden, die die örtliche Diskretisierung berechnen. Zusätzliche Verbesserungen werden durch das Lösen eines Spline Approximations Problems auf Basis der Methode der kleinsten Quadrate erzielt, was ein Glätten der Lösung bewirkt. Ein zusätzlicher konditionierungs Schritt, bestehend aus einer gewichteten Mittelung ähnlich der der exakten Lösung, verschafft eine zusätzliche Verbesserung. Außerdem ist es vorteilhaft gewisse analytische Eigenschaften der Lösung miteinzubeziehen. Für die Zeitintegration wird ein Runge–Kutta Verfahren zweiter Ordnung verwendet, welches unter dem Namen Heun’s Methode bekannt ist.
Um die Effizienz des neuen Algorithmus zu demonstrieren werden mehrere Simulationen in einer und zwei Raumdimensionen gezeigt und analysiert. Ein Teil der Simulationen zeigt die komplette Evolution des Algorithmus anhand zweier speziell ausgewählter Anfangsbedingungen in 2D. Diese werden außerdem herangezogen um die Optimalität gewisser Parameter zu zeigen, welche für die SENO Methoden verwendet werden. Zusätzliche Simulationen werden abschließend benutzt um mögliche Richtungen zukünftiger Forschung aufzuzeigen.The diffusion equation shows up in the description of a multitude of physical systems. Due to their complexity most of them cannot be solved analytically and thus numerical methods have to be employed. Depending on the problem the computation time can be several weeks resulting in the need for efficient algorithms.
The traditional methods, e.g. the Forward Time Central Space algorithm, for solving the diffusion equation are well known for their strict time-stepping restrictions. In this thesis a new class of methods, named Smoothed Essentially Non-Oscillatory (SENO) schemes, will be implemented. By means of numerical simulations it will be shown that these restrictions are surpassed considerably.
Before giving specific information about the SENO algorithm and the numerical methods involved the diffusion equation is examined in detail. For this several analytical properties of the equation and its solutions are discussed and illustrative proofs are given for the special case of the one dimensional heat equation.
The main idea of the SENO methods is to treat the diffusion equation as a conservation law. This leads to the possibility of using Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) methods to calculate the spatial discretization. Further enhancements are obtained by a least squares spline approximation which provides a smoothing effect. The most significant feature is that the smoothing only takes place inside the truncation error interval which can be calculated analytically. An additional preconditioning step that consists of a weighted average, similar to the one used for the exact solution, provides even more improvements. Furthermore it is advantageous to incorporate certain analytical properties of the solution into the numerical method. The time integration will be performed by a second order Runge–Kutta algorithm commonly known as Heun’s method.
To demonstrate the effectiveness of the algorithm several simulations in one and two dimensions will be shown and analyzed. Included is a complete series of simulations that illustrate the evolution of the algorithm. Two representative initial conditions in 2D are utilized for this series. They are also used for showing the optimality of certain parameters of the SENO method. Additional simulations are conducted to point out possible directions of future research
