Die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von blocktridiagonalen Matrizen und Bandmatrizen stellt einen gewichtigen Aspekt von zahlreichen Anwendungen aus dem Scientific Computing dar. Bisherige Algorithmen zur Bestimmung von Eigenvektoren in solchen Matrizen basierten zumeist auf einer vorhergehenden Tridiagonalisierung der Matrix. Obwohl die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren in tridiagonalen Matrizen sehr effizient durchgeführt werden kann, ist der notwendige Tridiagonalisierungsprozess jedoch sehr rechenintensiv. Des weiteren benötigen zahlreiche Methoden noch Maßnahmen zur Sicherstellung der Orthogonalität der resultierenden Eigenvektoren, was eine zusätzliche Bürde für die Rechenleistung darstellt.
In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Berechnung von Eigenvektoren in blocktridiagonalen Matrizen untersucht, die im Wesentlichen auf der Verwendung von Twisted Factorizations beruht. Hierfür werden die grundlegenden Prinzipien eines Algorithmus zur Berechnung von geblockten Twisted Factorizations von blocktridiagonalen Matrizen erläutert. Des weiteren werden einige interessante Eigenschaften von Twisted Factorizations aufgezeigt, sowie die Beziehung des Blocks, bei dem sich die Faktorisierungen treffen, zu einem Eigenvektor erklärt. Diese Beziehung kann zur effizienten Bestimmung von Eigenvektoren herangezogen werden.
Im Gegensatz zu bisherigen Methoden ist der hier vorgestellte Algorithmus nicht auf eine Reduktion zur tridiagonalen Form angewiesen und beinhaltet nur einen einzigen Schritt der inversen Iteration. Dies wird durch das Auffinden eines Startvektors, der das Residuum des Eigenpaares minimiert, ermöglicht. Einer der Hauptpunkte dieser Arbeit ist daher die Evaluierung verschiedener Strategien zur Selektion eines geeigneten Startvektors.
Des weiteren werden im Rahmen dieser Arbeit Daten zur Genauigkeit, Orthogonalität und des Zeitverhaltens einer Computerimplementation des neuen Algorithmus vorgestellt und mit gängigen Methoden verglichen. Die gewonnenen Daten zeigen nicht nur, daß der Algorithmus Eigenvektoren mit sehr geringen Residuen zurückliefert, sondern auch bei der Berechnung von Eigenvektoren in großen Matrizen und/oder Matrizen mit geringer Bandbreite effizienter ist. Aufgrund seiner Struktur und dem inhärenten Parallelisierungspotential ist der neue Algorithmus hervorragend dazu geeignet, moderne und zukünftige Hardware auszunutzen, welche von einem hohen Maß an Nebenläufigkeit geprägt sind.Computing the eigenvalues and eigenvectors of a band or block tridiagonal matrix is an important aspect of various applications in Scientific Computing. Most existing algorithms for computing eigenvectors of a band matrix rely on a prior tridiagonalization of the matrix. While the eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices can be computed very efficiently, the preceding tridiagonalization process can be relatively costly. Moreover, many eigensolvers require additional measures to ensure the orthogonality of the computed eigenvectors, which constitutes a significant computational expense.
In this thesis we explore a new method for computing eigenvectors of block tridiagonal matrices based on twisted factorizations. We describe the basic principles of an algorithm for computing block twisted factorizations of block tridiagonal matrices. We also show some interesting properties of these twisted factorizations and investigate the relation of the block, where the factorizations meet, to an eigenvector of the block tridiagonal matrix. This relation can be exploited to compute the eigenvector in a very efficient way.
Contrary to most conventional techniques, our algorithm for the determination of eigenvectors does not require a reduction of the matrix to tridiagonal form, and attempts to compute a good eigenvector approximation with only a single step of inverse iteration. This idea is based on finding a starting vector for inverse iteration which minimizes the residual of the resulting eigenpair. One of the main contributions of this thesis is the investigation and evaluation of different strategies for the selection of a suitable starting vector.
Furthermore, we present experimental data for the accuracy, orthogonality and runtime behavior of an implementation of the new algorithm, and compare these results with existing methods. Our results show that our new algorithm returns eigenvectors with very low residuals, while being more efficient in terms of computational costs for large matrices and/or for small bandwidths. Due to its structure and inherent parallelization potential, the new algorithm is also well suited for exploiting modern and future hardware, which are characterized by a high degree of concurrency
