Wir betrachten eines der bekanntesten Beispiele einer vollständig integrablen nichtlinearen Wellengleichung, die Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung.
Das Ziel dieser Arbeit ist es das Langzeitverhalten von Lösungen der KdV Gleichung zu untersuchen, die kleine Störungen von (quasi-)periodischen KdV Lösungen darstellen.
Es ist bekannt, dass im klassischen Fall mit konstantem Hintergrund im Langzeitlimes das Folgende passiert: die gestörte Lösung spaltet auf in eine Reihe von Solitonen (solitären Wellen), die den Eigenwerten des Laxoperators entsprechen. Darüber hinaus gibt es einen oszillierenden Anteil, der vom kontinuierlichen Spektrum herrührt. Mit anderen Worten, die Solitonen bilden den stabilen Anteil der gestörten Lösung.
Wir zeigen, dass, wenn der konstante Hintergrund durch einen (quasi-)periodischen ersetzt wird, für große Zeiten Solitonen beobachtet werden können, die auf einer Lösung wandern, die nicht die Hintergrundlösung darstellt. In den übrigen Bereichen nähert sich die gestörte Lösung nicht der (quasi-)periodischen Hintergrundlösung an, sondern einer modulierten Lösung.
Die Methode von der wir Gebrauch machen ist das inverse Spektralproblem als Riemann-Hilbert Problem auf der zugrundeliegenden hyperelliptischen Riemannfläche umzuschreiben. Dann werden wir die Methode der stationären Phase anwenden. Das ursprüngliche Riemann-Hilbert Problem kann für große Zeiten auf ein einfacheres, explizit lösbares reduziert werden, welches nun bei den stationären Phasepunkten lokalisiert ist.We will consider one of the most famous examples of a completely integrable nonlinear wave equation, the Korteweg-de Vries (KdV) equation.
The goal of this thesis is to investigate the long-time asymptotic behavior of solutions of the KdV equation which are short-range perturbations of (quasi-)periodic finite-gap KdV solutions.
It is well-known that in the classical case with constant background in the limit for long times the following picture appears: the perturbed solution splits up into a number of solitons (solitary waves) generated by the eigenvalues of the Lax operator. Apart from that there exists a decaying radiation part corresponding to the continuous spectrum. In other words, the solitons constitute the stable part of the solution.
We will show that, if the constant background is replaced by a (quasi-)periodic one, in the long-time limit one can observe solitons traveling on a limiting solution, which is not the background solution. In the remaining regions the perturbed solution also does not approach the (quasi-)periodic background solution but a modulated solution.
The method we will make use of is to formulate the inverse spectral problem as a Riemann-Hilbert problem set on the underlying hyperelliptic Riemann surface. We will then use the method of nonlinear steepest descent/stationary phase. For large times the original Riemann-Hilbert problem can be reduced to a simpler one, which is localized at the stationary phase points and can be explicitly solved
