Cycles and the cohomology of arithmetic subgroups of the exceptional group $G_2$

Abstract

Das Hauptaugenmerk meiner Dissertation ist die geometrische Konstruktion von (Ko-) Homologieklassen für arithmetische Untergruppen von halbeinfachen, über \Q definierten, \Q-anisotropen algebraischen Gruppen {\bf G}. Ich untersuche im speziellen eine \Q-Gruppe ${\bf G}$, in der der nicht kompakte Faktor der Gruppe der reellen Punkte ${\bf G}(\R)$, die reelle zerfallende exzeptionelle Lie Gruppe vom Typ $G_2$ ist. All dies basiert auf dem allgemeinen Ansatz Zykel zu konstruieren (wie von J. Millson und M.S. Raghunathan initiiert und von J. Rohlfs und J. Schwermer weitergeführt). Ich kombiniere diese Ergebnisse und erhalte damit eine neue Formel für die Schnittzahl von zwei Zykeln die einander nicht transversal schneiden. Im Falle der Gruppe $G_2$ sind Beiträge der Zykeln zur Homologie in folgendem Sinn "Vollständig": als erstes gibt es in "jedem" kohomologischen Grad einen nicht trivialen Zykel, der einer unitären Darstellungen mit nicht-verschwindender Kohomologie entspricht und zweitens benutzten wir jeden auftretenden Typ von reduktiven Untergruppen von ${\bf G}$ um Zykel zu konstruieren. Weiters gebe ich zwei hinreichende Kriterien an Zykel an, die zeigen das die Poincar\'e duale Klasse zu dem Zykel durch eine Differentialform, die nicht invariant unter ${\bf G}(\R)$ ist, gegeben ist.The main focus of my doctoral thesis is the geometric construction of (co)homology classes of arithmetic subgroups of semisimple \Q-anisotropic algebraic groups ${\bf G}$ defined over \Q. In particular, I discuss a \Q-group ${\bf G}$ in which the non compact factor of the group of real points ${\bf G}(\R)$ is the real split exceptional Lie group of type $G_2$. All that is based on the general approach of constructing cycles (as initiated by J. Millson and M.S. Raghunathan and pursued by J. Rohlfs and J. Schwermer). Combining their results I get a new formula for the intersection number of two cycles which intersect each other non-transversally. In the case of the group $G_2$, the description of the contribution of cycles to the homology is "complete" in the following sense: first, we found in "every" cohomological degree a non trivial cycle which corresponds to a unitary representation of $G_2$ with non-zero cohomology and second, we found at least one group of every possible type of reductive subgroups of ${\bf G}$, to get a cycle. Further, I give two sufficient criteria on cycles, which imply that the Poincar\'e dual class to the cycle is represented by a differential form which is not invariant under the action of ${\bf G}(\R)$