Određivanje vrijednosti egzotičnih opcija

Abstract

U svijetu financija opcije imaju važnu ulogu kao financijski instrument koji mnogi investitori koriste u svrhu zaštite od rizika te kao sredstvo spekulacije. Kako bismo mogli govoriti o određivanju njihove vrijednosti, važno je postaviti matematički model. U ovom je slučaju taj model je jedan od najpoznatijih u svijetu financija - Black-Scholesov model. Jedno od važnih pitanja u financijskom svijetu jest kako procijeniti fer vrijednost opcija. S obzirom na široku podjelu opcija, određivanje njihove vrijednosti razlikuje se od opcije do opcije. Kod standardnih se opcija određivanje vrijednosti svodi na numeričko rješavanje Black-Scholesove PDJ s pomoću metode konačnih razlika. U slučaju egzotičnih opcija stvar se malo komplicira. Njihove PDJ nisu jednostavne strukture poput Black-Scholesove jednadžbe, stoga se one moraju rješavati direktno. Uz kratak uvod u standardne opcije te neke standardne metode, upoznali smo se sa svijetom egzotičnih opcija. Nakon njihove podjele na skupine i određenih primjera, posebno smo se osvrnuli na azijske opcije. PDJ kojom su opisane te opcije može se reducirati na konvekcijsko-difuzijsku jednadžbu. Koncentrirali smo se na numerički aspekt te jednadžbe te na njeno rješavanje s pomoću upwind sheme. Također postoje i druge metode za njezino rješavanje, primjerice metode visoke rezolucije poput Lax-Wendroffove metode.In the world of finance, options take an important role as a financial instrument that many investors use to protect against risk, and as a mean of speculation. To be able to talk about pricing of options, it is important to set up a mathematical model. In this case, the model is one of the most famous in the world of finance, the Black-Scholes model. One of the important issues in the financial world is how to estimate the fair value of the option. Because of many types of options, determining their values vary from option to option. With standard options, pricing is reduced to the numerical solution of the Black-Scholes PDE using finite difference method. In the case of exotic options, thing is a bit complicated. Their PDE are not simple structures such as the Black-Scholes equation, therefore they must be solved directly. With a brief introduction of standard options and some standard methods, we deal with the world of exotic option. After their partition into groups and specific examples, we gave special consideration to Asian options. PDE which described the Asian options can reduce to the convection-diffusion equation. We are focused on the numerical aspect of this equation and its solving by upwind schemes. Also there are other methods for solving this king of equation, as well as some high-resolution methods such as Lax-Wendroff method