该文在朱庆勇、马延文(1998)一文的基础上给出了利用迎风紧致格式求解NS方程.它是UCGVC格式在粘性流计算中的推广.对于方程中的无粘部分利用Steger-Warming的通量分裂技术将流通向量分裂成两部分,在此基础上据风向构造逼近于无粘项的三阶迎风紧致格式.对方程中的粘性部分采用通常的二阶中心差分格式.该文利用对Burgers方程的特征分析,研究了为正确模拟边界层内的流动特征对网格雷诺数的限制条件.通过对超声速粘性球头绕流的数值模拟表明:迎风紧致格式能在较大的网格雷诺数的条件下计算热流值,结果是令人满意的

余怀忠

朱庆勇

陶亮

马延文

Simplified Chinese

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

迎风紧致格式与热流计算

年 月 数值计算与计算机应用 第 期迎风紧致格式与热流计算 ’‘ ,朱庆勇中山大学数学与计算科学学院 , 广州余怀忠 马延文中国科学院力学研究所 , 北京陶 亮中山大学物理系入, 乞 ‘仰 该 ,“夕 ‘ 。‘ , , 仰 。 ,、。‘ , , ‘。 ‘ , 红。夕,乞。即 脚 , 卯 饰‘。 。‘一 卜乳 址 比 , 访, 一 今一 匕而 ,恤 而 铭 妙迁免池,愁 引 言众所周知 , 格式是能够高质量地捕捉激波的方法 , 但在计算粘性绕流时许多格式数值耗散太大 , 不能正确模拟粘性流动 , 因而无法正确计算热流值 文献 指出 , 采年 月 日收到中山大学青年教师基金资助数值计算与计算机应用 年用高精度格式可适当放松对网格雷诺数的要求 , 因此发展三阶或三阶以上的格式是需要的文献 ’研究了迎风紧致群速度控制格式 格式 在 方程中的应用 , 提高了对激波的分辨率 , 优于通常二阶精度 格式 本文在文献 ’的基础上给出了利用迎风紧致格式求解 方程 它是 格式在粘性流计算中的推广 对于方程中的无粘部分利用 一认厄 的通量分裂技术将流通向量分裂成两部分 , 在此基础上据风向构造逼近于无粘项的三阶迎风紧致格式 对方程中的粘性部分采用通常的二阶中心差分格式 本文利用对 方程的特征分析 , 研究了为正确模拟边界层内的流动特征对网格雷诺数的限制条件 通过对超声速粘性球头绕流的数值模拟表明 迎风紧致格式能在较大的网格雷诺数的条件下计算热流值 , 结果是令人满意的单个方程情形考虑如下 方程这里 , 拜述问题的理论解是廿 廿 口 廿不丁 不 , 拜只一万 ,口石 ‘呱 考虑定常情形 , 。 , 。 , 上。 一 。兀 ’ 一 。 ‘一 。·随着长为竺 的增加 一个边界层在 的附近发展起来 将区间 , 等分 , 空间步拼,芍 扒 , , , , ⋯ , 记 劣 勺 , 定义如下差分算子耀巧 一 一, 硅巧 玛 一 劣 劣一 ,醒粉 理一 硅, 一 。。 巴趁巧,这里 醒 是迎风紧致差分算子 迎风紧致差分算子要求当 时 , ‘ , 当 时 ,‘ 尸 ’ 展开后不难发现当 ‘ 笋 时 , 截断误差 , 当 ‘ 二 时 , 截断误差 二 对 式中的一阶导数项采用紧致差分算子 髯 逼近 , 二阶导数项采用通常的二阶逼近 这样处理是为了在复杂流场模拟中简化计算 , 另外这样做也是完全合理的 ,因为通常的 格式之所以对边界层分辨率不高 , 主要就是对无粘项的逼近时带入了较大的数值粘性 , 从而掩盖了其真实的物理粘性 , 因此 , 要提高对边界层的分辨率 , 主要是提高无粘项的逼近精度 现在来讨论对应于 式定常情形的差分解 , 相应的差分逼近式为·‘墓二 “ 一 ‘呈二 ,, 一 , ⋯ , ,这里 巧 澎 二 力·由 , 两式不难推出告一 二 壹一 告一· 、、 、一 · 二 壹一·告· 二上 告· 二一 。, 。·期 朱庆勇等 迎风紧致格式与热流计算上式的特征方程给出四个根 入 , 从 , 入 , 入 从 , 戈 , 凡 满足的方程为、、 。 二 二 、 , 。 、二 二 、 、 八 二 二 。 , 。、戈石一“ 人一 百 ‘ 一 戈百一“￡ “八 」入一【百一‘ 戈万 “‘ “八 」入一 戈百 ‘ 。, “五 。·又当 ‘ 时 , 式可写为合蠢 ‘ 告一 , “’一入、、召了护上一一曰上习诊‘、、入,一这是一阶导数项取四阶中心紧致差分逼近时的特征方程 , 相应的差分格式的数值解为巧 从 入孟 呢,这里 , , 和 是常数定理 方程 的三根是实根 , 并且一根小于 一 ,证 明改写为令 一 ‘。一 委委、, 这里 一 、一根在 一 , 之间 , 一根大于是网格雷诺数 这样 式可一拼一拜 万拼 ,这里。月 一 二二石‘。扩 而扩据 条件 , 当 “ 时 , 方程 的三根是实根 由 式得 “一 二云万 “ ‘ 恒成立 这就是说 , 无论 为何值 , 方程 都有三个实根 , 那么沽 、 ’一 ’一 、一一 ’“ 哟 ‘ 一 ‘ 曰 一 ‘ , · · , , , 一 、 一 , ” , ‘ 一, 。 一、 、⋯、 、 二 、 。 、 。 、方程 也有三个实根 不妨设三次实系数多项式 功 妥沪 妥一去 护一 妥 去 刀一安一 ’一 “ ‘ 一 ”一 ’ 一 ”一 ’ ‘ 一一 一 ’‘ 、 “ 一、一 一 ’ 一 ’ ‘ “ ’ ‘ 、 一 ’ 、 ’ 一 ’的三个实根为 从 , 戈 , 戈 , 并且 丛戈 三 入由 ‘ 刀 得刀 一 石 刀 一两根为 仇 一 斌 一 , 加 一 一 斌 一 很明显 仇 , 珑 ,由于存在关系 入 三和 三 入 三仇 三 凡 , 这就是说存在一根 入对方程 的另外两根可作如下估计 考虑两种情形一 。 、, 由 , , 。, 。 一委、 可知, 存在一根在 。 , 。 之间 , 也在一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 、 ‘“ 产 ’ ‘ 、 产一“ ” ” “ 一 ’ 一 “一 ’“ ’ 一 产 一 ’ 一, 之间 当 刀 一 三 时 , ’ , 考虑到 一存在一根 一百 , 一 , 这说明飞 一 , 由 了一 昌, 。一告 可知,存在一根在 一 , 之间 由关系 入 三仇 三入 三仇 三 入 可知存在一根 从 一由此可见 , 在方程 的三个实根中 , 一根小于 一 , 一根在 一 , 之间 , 一根大于证毕数值计算与计算机应用 年从定理 可以看出 , 在一阶导数项取四阶中心紧致差分逼近的情形下 , 当 逐渐向边界层接近时 , 误差的幅值振荡地增大 , 说明在边界层附近数值解存在振荡现象 为了克服数值振荡 , 采用迎风紧致差分格式逼近一阶导数项是必要的定理 当 。 时 , 在一阶导数项取三阶迎风紧致差分逼近的情形下 , 网格雷诺数需小于证 明 这时的特征方程为、 。 、岑一 喜 、护 一 〔喜 荟 、入一 喜二、 一 、’二 ‘ ‘ 、 二,当 时 , 入 一 分 , 数值解不符合要求 当 万 笋 时 , 不难得到它的两根分一 一 ’ ’ 一 ’ 一 ” ” 一 一 ’ 一 ‘ 一 ” 一’一 一’ 一 ’ 一别为、产工﹃了‘‘、—一人 —考虑两种情况也是不符合要求的 对于第二种情况“一 兀一对于第一种情况 ,由于 一 儿 ,入 , 人 均小于 , 数值解, 当 逐渐向边界层接近时 , 误差的幅值振荡地减小 , 在边界 处误差为 的情形下 , 它对边界层附近数值解没有影响 , 另外 从 原定常 问题数值解为勺入犷入犷一一 一 户久扛一‘ ’上 ’, , , ⋯ ,原定常 罗 方程准确解是。一开二一 丁 , 一。八 一根据 入 与 的逼近程度可大致估计 的范围 , 如果要求,入 一这时 应大致 生 若降低要求 ,可进一步放松对网格雷诺数 的限制 ,但 需满足证毕需要指出的是 , 以上分析是在线化假设的前提下进行的 , 对 方程中的网格雷诺数的确定需在此基础上通过数值试验来得到笋 可压缩 方程的数值方法控制方程在柱坐标 , ’, 下 ,二二 ,完全气体轴对称流动的无量纲化方程可写为凡 凡 、二二 , 十 二二 十 公 一 【一只 , 一 十 一只二一 十 行 ,口劣 口 瓦 口劣 口期 朱庆勇等 迎风紧致格式与热流计算式中户, 四 , 创 , , 户。 , 户二 夕 , 四 , 理。 、 。, , ’‘ , 月 , 一 , 理 , ‘ ,凡二, 二二 , 二 , , 二二二 二 · 十奇去黝, 二二 , 二 , , 二 , 。 二 , · 十 奇六譬心︶︶口了、了‘、二、。。 又 , 几 , , 几 , 一 , , 艾连王其中一 。六瑟合一 一 ,, 一 是瑟,二一昌。二 。豁, 、 一昌二·。豁,二一 。 鬃十 黝, 。, 一 。。 一 呵豁子,“ 一 二 洲 奇六器·一 豁豁十 笋一兴户, 一 罕以上无量纲化参数意义 是时间 , 为密度 , 为压力 , , 为对应于坐标 ,的速度分量 这里 相对于来流密度 , 二 , 相对于来流速度 走福 , 坐标 , 相对于头部半径 , 时间 ‘ 相对于 鬓, 粘性系数 。 和传热系数 ‘ 相对于各 自的来流值 , , · 相对于 。 嗯,二 相对于 华, 是来流气体常数 这样完全气体状态方程为 一 、 动」力粘性系数 拼 用·邝蕊 ,公式给出, 守” 今人了乙劝在一般的坐标系旦 、 二二二二犷二二育一只 , , 其中 , 对十至气 ,“守 晶 十石, 刀 中 , 有二二 二二丁 二二丁 代 口刀上 望些口石二 、十 二 , 十 行 , ,口叮 一式中二 条 氛 台 , 双仇 吸 十 争 ,瓦 一 , 氛凡 导凡 , 几 双吸凡 凡 , 口。 二 久,一网格变换导数为口 ,若, 刀 ’口若石二 叮 若 刀刀公 铸 二 一一了 月广。一 今, 二 一 , 二, 。 一 乡了 。一。·数值计算与计算机应用 年差分格式对 方程采用隐式差分格式 , 令 △一 加 一 加, 通一 塑,户 一 塑, 有口‘ ‘一, 擎降五 氏 △口一、,’ 」差分格式 中左端隐式部分采用特殊矩阵分裂法构造差分格式 对 直, 户作如下分裂从直一 咬 一 火 , 五一 从直一, 直 一 直一 五一 ,入 户一 一 岭 一 , 户一 入 户一, 户十 户一 户一 ,入 一 , 乞 狡 一 ‘对正特征值矩阵项采用向后差分 , 负特征值矩阵项采用向前差分 利用近似因式分解得到差分格式为枯直一 。叮户一 功 告一 ,,叮直 。布力 。亏 ‘ 一 ,心 告其中 一 △ △石, 。一 △二 △ , , 材是 若方向的前差算子,叮 是 若方向的后差算子·殊,崎 与之类似 差分格式 的右端项为必敏“ 必良 ” 狱允“ 公元“二 「 二 、 二、之于升‘止二分 二一理‘ 已一七,找一 二亏二丁二 坑 ‘ 下一 坑 ‘一。心 。屯 。刀 。刀 一‘ 乙。屯志 “‘,,一 “‘,,一 “· ‘, “ ,其中 “ 是 时间层的群速度控制项 , 以克服流场中激波附近伪振荡 , 详见文 ’采用三阶迎风紧致格式逼近右端无粘通量昌鱿 壹年,,壹、象,, 昌、凡乞 , , ⋯ , 一 ,上一二土百临户奋 肥户土一 落一 一一 岩歇,, 署鱿 一 暑年,,,一 暑瓜,, 一 署鱿 一 告库 。,一 告礼,葺礼 一 昌礼一 ,合、凡 昌、凡 一 暑凡 一 昌凡 一 音凡一‘’, , ⋯ , 一计算中采用 了 矶厄 方法对无粘通量进行分裂龄 一 淤口,淤 二 凡 才有‘,户士 户士口, 户士 凡 才有‘ ,这里 攫, 嵘分别是‘, 方向的迎风紧致算子 通过正负两个方向扫描即可求得 鳍鱿, 嵘芍·对方程中的粘性部分采用通常的二阶中心差分格式 边界上采用二阶偏斜格式期 朱庆勇等 迎风紧致格式与热流计算数值边界条件轴线 乞 上满足口 八 , 、 , 一 、 ‘ 。 、 , ,、, 人 ,‘ 、 场 一 二。 一 口 。一 ,只一 气 刀 , 廿 跳 少 创余什 , 以一渺「倔心恰八渴献石即 刊 仔口传。一 乞 ￡ , 因而 葱 二 ‘习 一 引￡ , 这里 诊。 物面采用速度无滑移及恒温壁条件 , 物面压力 由物面法向动量方程在物面上的蜕化形式求出 如外边界采用 自由来流条件 出口流场参数采用一阶外推计算结果及分析例 这里分别计算了采用迎风紧致格式在不同网格雷诺数下的驻点热流值 , 并与估算值 进行了比较 , 证实了前面的结论 在本文的球头绕流计算中 , 计算条件为人级 ,凡, 兀 , , 网格点为 其中 几为来流的雷诺数和马赫数 , 是驻点热流值 表 给出了采用迎风紧致格式求解 方程给出的球头驻点热流值与文献 闭 中估算值的比较表方法 网格雷诺数 计算值 一 【」△二迎风紧致格式 义 一 一迎风紧致格式 一 一耗散比拟法 又 一 一耗散比拟法 一 一从表 可以明显看出采用迎风紧致格式能在较大的网格雷诺数下较好地计算驻点热流值 , 这当然是迎风紧致格式的数值粘性较耗散比拟法小带来的改进例 考虑 八丁加 汉祝 , , 网格点为表方法 网格雷诺数 热流值 压力值△二 。刀亡。 。【〕【」迎风紧致格式迎风紧致格式实验值 呻 一 一从表 可以发现采用迎风紧致格式能在较大的网格雷诺数下较好地计算驻点热流值 这与前面的分析结果是一致的 格式在较大网格雷诺数条件下不能较好地计算热流值 ,这无疑是 格式数值耗散过大 的原因造成的 这里补充说明 如 是英国热单位 ,二 卡 , “ 是列氏温标 , 在标准状态下 , 水的冰点是 , 沸点是 , 是英尺单位数值计算与计算机应用 年。、。压力等值线 壁面热流分布本文基于迎风紧致格式求解了球头粘性绕流 数值实验表明 , 该格式对流场中的边界层有较高的分辨率 由于格式本身的数值耗散较二阶格式小 , 在对热流的计算中 , 结果是令人满意的参 考 文 献【 , ’ , 论 面 政, , 一】 罗 , 叭厄 , 鳍 五 树 卜, 且沁 ,·, , 各·】几 , , ” , ,’ 朱庆勇 , 马延文 , 求解双曲型守恒律方程的高精度迎风紧致群速度控制法 , 计算物理 , , 一】 , , 罗 , , , , ,郭文海 , 马延文 , 傅德燕 , 一个求解 方程的特殊矩阵分裂格式 , 计算数学 , , 导】 祥 , , 汀 吧 升 ,·, , 各·】 , 、飞 , 冲 声 ,冬, , , 却 叭呀 ‘ , 即

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