 1.引言板壳结构是工程中常用的一种受力结构元件,对于有裂纹板的弯曲问题已经发表了一批著作,绝大部分是采用了克希霍夫经典板理论,应用此理论进行断裂分析在理论上是有重大缺陷的。这是由于经典板理论对于裂纹面边界条件只是近似地满足,因此不能正确反映裂纹尖端附近的力学性质。对于Reissner理论的分析工作从六十年代以来就开始了。由于问题的复杂性,长期进展不快。有代表性的是Knowlts和Wang以及Hartranft和Sih的工作,他们用积分变换的方法求解问题,他们得到了问题的首项表达式。这是一个近似的形式。为了更好的了解有裂纹情况下板的力学性能以及更可靠的进行近似分析和计算应力强度因子的目的,类似于平面问题的Williams展开

柳春图

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

第 期年 月固 体 力 学 学 报 滩承受弯曲的板在裂纹顶端附近的应力和变形柳春图中国科学 院力 学研 究所引言 板壳结构是工程中常用的一种受力结构元件,对于有裂纹板的弯曲问题己经发表了一批著作,绝大部分是采用了克希霍夫经典板理论,应用此理论进行断裂分析在理论上是有重大缺陷的 这是由于经典板理论对于裂纹面边界条件只是近似地满足,因此不能正确反映裂纹尖端附近 的力学性质 对于 ”理论的分析工作从六十年代以来就开始了 由于问题的复杂性,长期进展不快 有代表性的是 和 【”以及 和 的工作,他们用积分变换的方法求解问题,他 们 得 到 了 问 题的首项表达式 这是一个近似的形式 为了更好的了解有裂纹情况下板的力学性能 以及更可靠的进行近似分析和计算应力强度因子的目的,类似于平面问题 的 展,本文对含有裂纹的 型板的弯曲问题进行了分析,具体给出了前若干 项 广 义位移和广义内力的表达式墓本方程和求解步骤 考虑一块 含 有一直线裂纹板的弯曲问题,取原点在裂纹顶端上,轴在裂纹方向,轴垂直于裂纹方 向,若 取极坐标 ,,图 所示,考虑 型板 的三广义位移的弯曲理论,取 叭,咖, 切 为基本未知量,此时有平衡方程告。 歌“十 —口口,一 。十—一器一工 口 。口口口, 。十 二二 一 十口,一 。“其中, , 。为 内力矩, ,口。为横向剪力, 尸 为横向载荷,广义力 与广义 位移关系为一 〔鲁·告器 鲁本 文 于 年 月 日 收 到。固 体 力 学 学 报 年, 一 “〔告器·卜 鲁、沁 二 一 含卜·省器 鲁一鲁〕 ‘ ,鲁一 , ,。 。暗票一其中 为板的弯曲刚度,为板 的剪切刚度, , 为泊松比,把 式代入 式得。 〔杂 令祭一兴景令 宁斋一韶器〕鲁一 , 。卫土上 兰些生 立卫生旦盛一工二里里鱼 工二竺』鱼 弃旦绝色 丛二上, ,一 口 口’口一口口 了,暗蛊一 , 。 。 ‘ ,「拿草 工擎十劣黛一 ‘擎七 ‘ 口‘ 、 玉 上旦鱼、口尹 尸 二裂纹边界条件,当 士二 时, 。 。式是 以 协,八, 二为未知量的极坐标形式的基本方程,式为裂纹边界条件·本文考虑 尸 二 的情况即只考虑由于边界力的作用而使板弯曲,对于上述方程,我们把 叭,物,。 展开为推广幂级数的形式代入基本方程和边界条件按逐项分别处理求得 由特征展开可求得全解的展开式 令砂‘,, 二 尸 合 口 生夕’⋯叻。“, ‘ 言 , ⋯山 ‘孟, , 之 合 委 , ⋯以下求解步骤可按上述分别求得, , ‘ 再按 几求和即得 叭,如,的全解前几项展开式的具体表达式 特征值和。 , 。 , 。的表示式由 式代入基本方程 中 “一 ’次有关项整理可得一 , , , 一 、 , ,气人 一 少口。 一 又一一 十 几 一二 一 人 一 一二 一。艺一 、名 名, 一 、飞 一代二一 人 十 一 二,十之 名一义 一 。 毛七 几, 。 之式经一些数学运算可求得口 久 。 几 。 义一 久一。 。 几 。 久 。 久一 。 几一厦 。, 又 。 又其中第 期 柳春图 承受弯曲的板在裂纹顶端 附近的应力和变形。 一 。 , , 。。 又 一口。 、 一 二 , 一 而一一 二 一丁 月。 、 ,叹 人 一 戈。 又 一二 丁 , 一 , 厂下 一一一气 二 , 一 , 一六“气 十 几 一 一 护由边界条件取与方程的对应项,即当 士 二 时,之 。 二石 又一 。端由 式和 式经一些运算即可求得 以下解答当 几二 份。份。 。 。时。一‘ ’ ’。。‘“ 。〔。。 ‘ “ 入一 一又一。。 , , 一 “, 。〔‘· ‘ ‘ ,“ 之一 一几一。 一 几几 一久一几一, 。〔“ 久 一几几一。 。 义当 几二, ,⋯时,。。 “〔。。 ‘ 。 义一 一久“。 “ 一 ‘ ,“, 。〔‘ ‘, 。 又一 一久一还一。 一 几几 一几久一 口, 。〔一、 。 又 一几一兄一 夕。 。 , 久, , , , , 口 的表示式与上节类似整理基本方程 中 ,一 ’次有关项,有‘ , 几 汽一 , , 久一厄, 十 、一一酉一 一 一 。‘ 几阵丛上垫全 , 几 几一 久 。 一 石一 。小 ‘。产‘戈户忆, 之 气方程 的齐次方程解为, 二 , 几 且 , 久 久 久夕几, 、口 , 一 人 , ‘ , 以 十 ‘ , “ 十 月 ” 、人 十 乙 , “ 一 直 , , 及一 不不犷不玄沙二砚厂固 体 力 学 学 报 年几几 一久, , , 几 , 又特解可取为。一 口。,特 二 一 顶又 不万〔, 通 一 只。年二 。,”久, 特护 一, 特 又 一 一 〔。 久一 。 几一 〕把解代入下列边界条件当 二 士 二 时, 〔 义 〕 卜久 ,武一 。二再适当选取多余参数,可得, 仍, , , ,表达式如下白 滩 二 了,百, ’盯一 , 久叹 口 左’不 兀一石一 吸凡 以 一 人口人 叫卜,一 , 久一 , 。、 介 顶下丁 义一久凡 以】一 几 一尹、尸仪‘。 一只。 一几一几 一 护几只一之一 一、人 一 上 , 口 一 一又久千 八 不万一 又当 只二, , 二时一, ,久叹口 乙夕 佗一, 犷下二一 叹人 乙 一 人人 ,一 , 久。 , 只, 。 、 。一 叹仃 乙声。 介一不 万气万 人口 一 一不二一不万 灭汽 艺 口人 十 戈 人 十 ‘,。 , 一之一一 又 一久 久 一又。 一久一, 、 。 久一 一, , , 、 。气人 一 声口 一 一一一一二不一二 二二 二二一一 、人 宁 夕口气八 一 气 一 少式 中 介 二 石瓦几 一一一万一‘逮 一 少类似于以上做法,逐项可求得, ,各个函数,在求解各项函数的微分方程时,齐次方程的解有一定规律,可一次求得解答 系数有一定关系,表示如下减 几 ‘ 、 又 ‘ 久 一久 一阮 及 久 ‘ ‘ 几 ‘ 几 玄一 口第 期 柳春图 承受弯曲的板在裂纹顶端附近的应力和变形月 几 泣一二 ‘ 之 夕 ‘ 几其中一 月 , , ”月‘之 亡 一 一一 又万干 石耳 夕二 丈丁二万,, 几 一 ,认 干 而十 止 丁万尽广义位移和广义内力展开式为 刀, , 。 写 为, 。写 为, ,若取 叭,劝。, 口至 尸 项,再改变前面符号把。写。 , 写为,则广义位移和广义内力展开式 为, 二 ·‘〔“ “ , 一号。十 卫决。。普“ “ ’‘·居“贵斋‘·李〕矿一十 寻 一 、 粤十 月 , 。, 。、 十寻早竺 、乙、」 护产, “ ’“ , 号一答。 , 。。一 口 〔“ , 一。石 仃 一乙一十 普李月之 号 。吸 二厂口 一乙一 ,· 啥“一晋“一‘·普。、,护、苦产月口山皿一贵裔一“ · ‘” ‘· “ 护 一尹卫‘、凡‘《刀 ,,粤‘夕一 夕 丁 ,‘、、了一蛤·‘ ,,‘一川封 圣一‘·普“ 子升‘ , “ ’。。 普。一落又 石万攀。。音一借一号一“ 一 “ “’一‘ ”十 , ,缪 。一之一。 。、十 ,‘一 〔, ,“ ’一·僵。十粤幸答‘·鲁,‘一一口一‘’一普。 ,一夸, 〕一 ‘”·一誓’、、,门口一〔,‘”一· 。 护蕊丁万甲犷一了 口、 十‘”丁不万‘”一 ,全’一 ‘,,上一,‘习甘‘、产,白‘·‘。 ‘, 普· ‘ ”一 十 健、门仃尹月 逻丝二二梦 又一·各十一月口一 丁 , 、一十 〔 一 万石万环 么·’ ‘”一炭灵计 卜 备士登一、、,几一一‘’‘·号一“ ·‘ “嗯菩豁〔 一犷固 体 力 学 学 报 年·‘ ‘世 旱〔一普一一 万 〕, “ ·’ ‘” 、氖〔。 牛’ ” 卫一 , 厂 一 、千犷 ’” “ 一云万二万’“ ““万交厂万, 丁。 “〕、月“一答二 一‘合‘卜·〔, “ , 一号。一 。。谬, “ , 、·普。一“‘一括。“ ,·‘, 万夕、口 一 ”‘ 万 月“ 戈 一 口刀 ‘ ,备·‘“ 。 。 。 、 要。 一 口少‘石 一‘月 番 ‘·晋夕 争 普〕·“ 一 〔〔, ,‘,, ·。韵 普口 了,〕 万丛兰二 冬, 一‘ 〔, “ , 一晋。 。。普, ‘今, 、晋。、口 十 二 ,艺 〕。 粤 乏一 乙夕 , 一 丁 布今刀五 。、、、 万口 一 二 月“ 又 一 一自 ‘夕一 ”可嗜万犷丁 气 口一‘ 』少。、 十 备鲁, 一 ,,咨‘ 七。又 廿乙一丁几。 、飞,, , ’‘ 口 一 “ ,“ 丁 , 名 ‘“ 一 里八 皇“ 夕一 夕’口一 〕一协、夕一一十口一群怒 ,鲁 圣飞 , ‘夸、·晋。 , ‘考,厄,人﹄一尸、’一氢。 。。普一 ‘’产‘,忆几侧‘ , , 一 夕, “ , 一音。一奋。普〕‘·〔‘”, ·。 。一。小。 · ’‘誉一 、普。一 ‘ “号、,、几产门口八舀自等·‘〔‘”击‘。。普十 。 、石 口矛乙十,之、下犷不厂下一了月 ,、 ‘气 十 少‘ 丁 十刀‘一粤丁‘普·各一 ‘ 丝、’丫厂‘气、‘矛一〔。。 ”答一 一 。一夕〕一十,石一、 了一 ”。。号一。 , “‘ 尹、万‘·鲁一‘·臀︸产、丁‘介一,︸目一勺一‘孚百 ‘ 百口 一‘ ‘·晋“一‘·音。〕︸厂﹄韵第 期 柳春图 承受弯曲的板在裂纹顶端附近 的应力和变形〔飞才而 一”一“卜一击‘·“一 “ 〕〔一“一誉一。一。小刀 ‘,· ,号·号。 ·‘鲁·告〔一 , “丫片·各 暗。 全怡令丁。普合。。号“〕。“ ,〔一 圣合。。普·‘粤一普一音。。号“ 〕】〔一· 。一 普、一 ‘ “一音‘· “〕·‘〔, ‘”一浩·号。一·普, ‘ , 气一 。。普一音。。号“。 要,〔·‘争。普。·粤。。一”一寻一晋“, 〕一〔,一击 一· 。合‘· “ , ” 、头一‘。。 “一“一 ‘”〔一‘· “ 一粤· 。一音· 。小。‘号,·’影。号。·子以上式 中 矿 二 一 一在上式中,系 数 的 上 标 表 示特征值数 由 。, 一 梦 和 , 二 一 劝。可求 得正内位移展开式讨论类似于平面问题中的 展开,本文求得了 型中 厚板 弯曲问 题的应力应变场的展开式本文 中求得的。, 。, 。 的第一项与文献’结果一致在求解微分方程 中,未知 函数 叭,功。,是可 以与未知函数 田 分离开的,在 解齐次方程 中,各项未知函数可以直接写出解答,且有一定规律如,两式所示二,一 山一一、 , , 。尸 一、, 一,一、 , 二一、,二, , , ,由 , “‘, 仇 式 中可知当距离 趋近于零时或当廿趋近 于零时,板的应力状态接近于平面应力状态本文结果可 以作为进行近似分析和数值计算应力强度因子 的基础 原则上 可 把平面问题中应用 展开的一套计算方法推广到板的弯曲问题 中 去,如边界配置法,奇异元分析,应用能量法计算等今 考 文 献〕, , ,,一〔幻,, , ,一固 体 力 学 学 报 年〕,, , ,一〔〕,妞 了, ,一。 。‘ , 二 , 。‘

承受弯曲的板在裂纹顶端附近的应力和变形

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承受弯曲的板在裂纹顶端附近的应力和变形

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