本文利用守恒积分,对HRR奇性场的角分布函数作了进一步的探讨。证明了角分布函数满足两个函数方程。并由此导出几种新的定解方程。对于平面应变及平面应力的情况分别给出函数方程与定解方程的具体公式。最后针对若干典型情况,给出了不同定解方程的精确的数值计算结果,验证了在一般情况下不同定解方程的等价性

王克仁

王自强

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

应用数学和力学,第 卷第 期 年 月 应用数学和力学编委会编重 庆 出 版 社 出 版守恒积分与奇性场的定解方程’王克仁 王 自强中国科学院力学研究所,年 。月 日收到摘 要本文利用守恒积分,对 奇性场的角分布函数作了进一步的探讨 证明了角分布函 数 满足两个函数方程 并由此导出几种新的定解方程 对于平面应变及平面应力的情况分别给出 函 数方程与定解方程的具体公式 最后针对若干典型情况,给出了不同定解方程的精确的 数 值计算结果,验证了在一般情况下不同定解方程的等价性一、引 言裂纹顶端的弹塑性应力应变场研究一直是断裂力学发展 的重要 课 题。年。 ”、 和 ‘“ ’发表了著名的 奇异解,为弹塑性断裂力学的发展开辟了一条有效途径 ‘“ ’提出的 积分又恰好描述了 奇异场的奇性强度,成为一个有吸引力的控制参量。对于复合型裂纹,人们也试图寻找相应的解答 ‘ ’的工作在这方面迈开了重要 的一步 但是当他用文献〔 」推荐的方法求解奇异场角分布函数时却遇到了困难问题的症结在于奇异场的控制方程存在着一些内涵 的特点 而对这些 内在察性的认识还不充足本文试图对奇性场的基本方程作进一步探讨 利用守恒积分,证明了两个函数方程,并因此导出几种新的定解方程 对于平面应变及平面应力的情况分别给出了函数方程与定解方程的具体公式 对于若干典型情况, 给出了精确的数值计算结果新的定解方程比原有的控制方程低一阶 它们与原有的定解方程形式不相同,但在一般情况下是与原方程等价的二、平 面 应 变 情 况设想材料遵守塑性形变理论 单轴拉伸的应力应变关系为〔‘ ’否 厅 了厅 、杭一 二 一 十 一 ,￡ 口 。 口 。相应的三维本构关系为,叶开沉推荐强一自一王一仁克一一一王宁 艺、 、 。己幻二一弋 , ,‘阳 ’ 。‘夕这里应力偏量 ‘ , 等于‘, 二口‘ , 一 己‘ ,又有。 。‘ 厄一。‘户‘’衣是幂硬化指数 , 为材料常数本文所有不带横杠的应力分量都是无量纲应力分量 真实应力分量除以屈服应力“。 ,而所有不带横杠的应变分量均是无量纲应变分量参照文献仁 〕, 引入无量纲应力函数 九功 ““毋口子 是待定的角分布函数一 是奇性指数二 一 飞 而无量纲应力分量和应变分量可表示为,,二‘杯” 子, “不, 二 一‘必‘己 , 饥 很忿若,。, 二 “ ,·” 官。, 。 “ 价 “, 水 ,真实应变分量除以屈服应 变 。。二 。、玲又,了、月任一怕己夕 一厅了, ‘〔弄”一 十 娇〕万,节, 。二 了一 ’称。二 一 子借一 ‘ 。十 苏应变协调方程为宕, ”一 。 艺, 一 阴 下‘ , 。由此导出定解方程〔‘ ’类一。‘ 〔子 一 苏一‘ ‘, ‘〕, 、 「子省一 ‘沂’〕‘现在来讨论新的定解方程 如图 所示 , 研究闭合迥路 且 上的 积 分 我 们有争, , 。。 ,沁一扒一瓢一 ”公式 中 , 在裂纹面 挂 上的积分为零 在弧 和 上的积分主项相抵消, 只剩下高级小量 因此 , 当 , 趋于零时, 有图 积分途径。。 研一 ,‘二“一“守恒积分与奇性场的定解方程另一方面, 。 牙一 ,‘盘 一“‘”, ’·‘犷 一 ’让 , , 同时趋于零,而比值,保持不变, 就导得下述方程万 子 ‘ ’ 于 , 百, 一 花 一子。百,于 在,子 泛这里 琳 万汀 、, 礼 爪。一心方程 可转化为,口 百。刀其中刀工 言毛‘ , 一 子 , 万。 于, 。节, 。二 花,于万 子 夕 矛,夕‘ , “ 子 ,“ ,一蓄‘一“。 于 , , 士值得注意的是, , 刀 , 刀。都只含有 俩,苏‘,苏”,不含有任何高于二阶的导 数 从 方 程立即推出如下的定解方程 ,万拼 声 口 万 二 夕, 。方程 即是新的定解方程 这个方程与原有的定解方程 形 式 不同 方程是一个关于 俩的三阶非线性常微分方程, 而方程 则是一个 四阶非线性 常 微分方程显然当刀。寺 时 , 方程 是通过 积分守恒性推得的, 因此 , 它 与 方 程是等价的 严格地说公式 的推导过程中,利用了裂纹面边界力自由的条件 如果图中 并不是 自由面 , 那么我们将得到汀 二常数。此时 , 方程 将变为,百 。 万 万 一刀。节 。精确的数值计算表明, 当 汀 今 时 , 方程 与 确实是等价的 也就是说相同的初始条件将会导出完全相同的解 这里相同的初始条件意味着 苏,苏’,俩”及苏”’的初始值相等 也就是说。的数值将由 的初始值来确定以上讨论利用了 积分的守恒性 类似的利用守恒积分,也可导出相应 的函数方程我们有〔 ’一手‘那·· 口 ,一, 一“如图 所示 , 研究闭合迥路 上的 积分只需考虑主奇性项 在圆弧 上,设想整个迥路逼近裂纹顶端, 因此。, ·,一,二瓮, ,豁一 , ·王瓮一‘·“诱。。 “克口一 卜仁 王 自 强一 。器卜‘·“〔二‘ , ·‘」王呵价竺塑 声 “舀 , 。一 , 〕, ‘ ’十 娜 子 石,于, 花。〔子, 云拼一五。 于, , 花亩 石,〕口这里由此得到在圆弧 的 积分。。 、才·。 一 ‘ , 。 , ·‘,、 一 。、协一 , 。‘ “ 一王了军,石 子“‘ ’ ‘·“一 〔“ , · ,‘子·“· 于一“。 , ‘·“子 , 花拼一 云。 于 行云 花,口 卜注意到公式 是与 , 无关的, 因此 , 在圆弧 上 , 积分的主项将与圆弧 的人积分大小相等, 符号相反 也就是说在圆弧 及圆弧 上的 积分的主部互相抵销, 只剩下高级小量,当 ,、, 时 , 将趋于零。现在讨论径向射线 上的 积分,不难证实, 其主部为, 。 班。 一‘ , , ,“‘ ,一,·。· 。补 子己仍 一 子, 。石, 子 , 百,〔于, 。 石拼一 石, 莎 , 花舀 在,〕由此得到一手, , 。。 , ,一‘, ·, 二 , 、·爷 刀 一 爷 〕 ,令, , , 但保持比值 , 不变,由此得到长 汀补 汀函数方程 与 是非常相似的 方程 可转化为,汀 一 川 在。 曹 补 二其 中,刀 已由公式、给出 另有曹 一 子 , 于 。从方程 立即推得如下定解方程宫 、 一 一 关 二 竺 。 节, 。方程 是另一个新的定解方程 这个方程也是一个关于苏的三阶非线性常微分方程当 竺斗 时 , 方程 是与 等价的 在假定塑性区包围整个裂纹顶 端 的前提下方程、也可改为守恒积分与奇性场的定解方程厂 厂厂 , 一厂 肠 兀 几其中, 协 子尹份 于, , 石, 一称 一子 艺, 〕由厂 于 石, 子 公,立即推得厂 厂。 , 厂 一几也可导出下面两个定解方程,言 节, 。柑 厂。 于 畜, 〕子由一 , , 协 子‘一‘。‘ , 一 。。 “〕, 一方程 当子。钾 时与原方程 等价 而方程 当乱。寺 时与原方程等价。三、平 面 应 力 的 情 况第二节的分析完全适用平面应力的情况,此时公式 继续有效 公式的第三部分应改为言 子于一 办,子份一 子,一子。 、名 二二二 口叮 一‘口 。一口 》 吸, 口 ,’一‘气石又有序 于吞 丢一, 子。 于季口在, 百,。。 夕 。一 百声 娜原有的控制方程为〔”豁一 、‘一 ’〔“’一‘· ,‘一‘ ,俩〕‘·子一 ‘苏一俩”子 一 ‘苏’ ’这个方程与平面应变问题的控制方程 并不相同 但是函数方程、恰是通用的 , 既适用于平面应变的情况 , 也适用于平面应力的情况类似的定解方程, , 、 也是通用的。四、数 值 计 算 的 验 证采用控制精度的自动变步长四阶一法进行积分 先对原方程 进行积分 , 同时校核函数积分方程 及 是否满足 表 及表 列出了两个典型计算主 克 仁 主 自 强的结果 从这两个数值计算结果,不难看出 函数积分方程、确实得到了满足 当进行数值积分时, 精度控制在 “ 以内, 而从函数积分方程、·所满足精度来看,实际达到的精度约为 犷吕表 与表 同时列出了利用定解方程 计算所得的解 这个解也是 与利用原来的口 刀·,·,训甲灯了州材灯、材了一 一一 ,甲了灯甲订解甲对甲守一 一‘一 一州解训了侧灯解了甲侧一一。一一 一一 了一 仑如一 了盯一 马 的一︸‘生内卜︺门司一表 优置一’一‘’衬 ,’一漏”’一件 丫一’军 朴·, · ’对甲灯甲马 了甲订甲甲甲了甲「甲甲侧叮甲甲甲甲灯甲守州甲不甲州了州一 了 日一 子一一一一一乙住闷月通一 了一 一 , 一 ,一·‘ 一 , ⋯一·叨 ‘一 ,一守恒积分与奇性场的定解方程控制方程 所得的解完全一致的, 只是当 夕 二 时 , 两者的结果有差别 这是可以理解的 因为此时刀。 表 与表 中 , 利用控制方程 得到的结果列在第一 行 , 而 利用方程 计算所得的结果列在后一行, 当两者结果八位有效数字完全 相 同 时, 就 以“ 夕 ” 表示参 考 文 献〕, , ,窟, ,一,一〕, ,一 , , , 一〕, ,,夕 , , 一, 一 ,,一〕, , ,, , , 八, 了一一 一” 才 仑 亡 , 滋 ‘”玄, 夕此

守恒积分与奇性场的定解方程

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