卞荫贵

姚德良

Institute Of Mechanics,Chinese Academy of Sciences

应用数学和力学,第 卷第 期 年 、 应用数学和力学编委会编重 庆 出 版 社 出 版钝体绕流非定常解姚德 良 卞荫贵中国科学院力学研究所, 。年 月 日收到摘 要本文结合 目前流场显示的研究课题,对方块物体和山形物体的钝体绕流在起动阶段的运动情况,进行相应的数值模拟 并用有限差分方法求解二维不可压缩流体运动 的一 方 程的非定常解 对差分格式中的显式,隐式和交替方向隐式几种格式进行了讨论 最后用显式和交替方向隐式方法计算了山形物体和方块物体在起动阶段的运动情况关铂询 钝体绕流 交替方向隐式格式 非定常解一、弓 言钝体绕流在物体后面产生漩涡运动的研究仍很困难,因为流场 比较复杂,难于用分析的方法求解,也不容 易进行定量的实验研究 最近 由于高速 电子计算机的出现和流场显示技术的发展,研究漩涡运动 的工作又逐渐增多起 来 术文结一合目前流场显示的研究课题,配合水洞实验,在水槽中模拟方块物体和 山形物体的饨体 绕流,对起动阶段时的运 动情况进行相应的数值 模拟早期研究二维低速流动 问题,多数采用流函数及 涡量为变量,结果需要求解一个抛物型 涡量方程 以及一个椭圆型的流函数 方程 这是最简单的一方程,到 目前解法 已比较成熟,但也暴露 了一些根本性的困难 不少作者选用 几个模型课题进行研究,如方块空腔问题 〔‘ ’〔“ ’〔“ ’, 二维 水槽中钝体绕流问题 〔‘ ’, 存在的主要问题是对流项用中心差分时出现振荡现象,而用迎风格式则有格式粘性影 响 还有 数受一定限制,一般以网格步长为长度的网格 数只能是一 般量级,即 人一水槽中台阶绕流的研究工作 已有 〔’和 〔。 ’用差分 方法求解流函数、涡量方程,并 且对流项用迎风格式计算, 。簇 还有 〔 ’等人用有限元法给出不少计算结果,并且说明用一 般方法的缺点及用迎风方法的优点 最突出的是 数一可以算到 但正如文献〔 所指出的那样,这种高 。 数是虚假的,由于人工粘性的影响,实际只相 当于很低的 ‘数二、基 本 方 程对于二维不可压缩流动问题,其基本方程包括一个连续方程和两个动量方程 设带 , 号的为有量纲的物理量,一 关 。姚 德 良 卞 荫 贵则无量纲化后相应物理参数为” 关 。 , 一 补,,关 急, 关 。 , 沪 叻芳,其中“。 ,分别为参数速度和参数长度无量纲的基本方程为口 口” 口夕夕关。 。关 “ 。霓十 “会十喘 一 翼 分。霏一北十 ·二一需一橇式中速度分量。, 。和压力 为三个未知量, 。 为 数,条件,流动就有单一的无量纲参数 数所表征,物理参数 和这样对任何一组边界是常数将方程 对 , 求导,将方程 对 求导,可消去其中的压 力,定义涡量为。 。 日 一 ,我们得到抛物型涡量方程﹁一鲍为口口。 一 十了犷 十。“。利用连续方程,上式还可以 写成守恒形式口。、, 一十一又 一 几 口一、 口十 一‘ 一 口口一。一不一口鱼面一几由沪 ,,势 一定义流函数叻,方程 可以改写成椭圆型 方程价 一 。涡量方程 是 由非定常项 。 研,对流项 。 。二和叼。 , 以及粘性扩散项 铲。 。所组成 因为“和 。通过 方程 和 是因变量。的函数,所以 方程对于对流项是非线性的 方程对时间是抛物型的,这提出了初值问题,从某初始条件开始起步求解 流函数 方程是椭圆型的,这提 出了边值问题,通常用迭代法求解三、数 值 解 法本节主要采用,矩形网格求解具有规则边界的不可压缩流动问题的基本计算方法 求解涡量方程 和流函数方程 的方法是不同的,所以应分开进行 讨论 但是,从一开始就应注意到,在实际求解数值流体力学问题时,这两个藕合问题是有反馈的首先 引进几个常用的差分 算符扭‘一 街十 , 一 。‘ △戈 前向差分碑‘ “‘一 价一△ 后向差分呈‘ ‘ 一 ‘一△ 中心差分孟“‘ “‘ 一 ‘ ‘一 , △二 , 二阶中心差分璧, , 表示在 ‘△, 夕 △夕及 △的参量 的值钝体绕流非定常解对于求解涡量方程可以用显式方法、隐式方法和交替方向隐式方法时间前向差分 的显式格式对时间用前向差分,空间用中心差分 的显示格式为寸。了, , 一 昙 。 李, , 一 。。 晋, , 孟 丢。了, , 。显式格式计算较简单,但 时间步长 △必须满足下列稳定性条件△《 〔 △ △, 。 △, ,。 夕一 ‘所以,计算速度较慢时间后 向差分 的隐式格式前面叙述的方法是显式的,因为,为了将计算推进到 十 时间层,只 需 知道 时间层幻,一,⋯上的值 现在我们讨论隐式 方法,由于在空间导数中用 了待定值,因而为了推进计算,需要求解 层上的联立 方程如果在方程 中完全用新 时间层 十 上的值来计算对流项和粘性扩散项,时间后向差分 的隐式格式 为矛。释二 一 二。。 荞梦一 汉。。 熟梦十 孟十 丢 。贯扮隐式格式稳定性能好,但差分 方程组为五对角线的,加上还要 与流函数方程联立求解,计算不大方便 因此,尽管用隐式格式允许大的时间步长,但是一般需要多次迭代才能解出该步,所以,并不 比多次使用显式格式有利,因此隐式格式较少采用交替方向隐式格式交替方向隐式格式也称 格式,是 目前在粘性流问题中用得最普遍的方法交替方向隐式格式分 两步来完成,第一 步在 方向上用隐式,第二 步再在 夕方向上用隐式,其格式如下试吉户一 叫, ,△二 一男“ 。 特十 一男。。 , ,宾 ‘。特士 ‘。“, , ’二 一 “ 。 么亨啥一。。 犷扮孟 刀。特‘ 十 。。片 ,。忿 一 。梦士户△此 格式与完全隐式相 比,优点是每一方程是三对角线的,所以,求解比较方便 同时,此格式允许较大的时间步长,可以加快整个计算速度,而 且允许有二阶时间精度 对简单的矩形区域将广泛地使用它们 此格式是无条件稳定的现在我们来考虑求解流函数叻所满足的椭 圆型 。 方程 的方法 我们用松弛法求解流函数方程,在迭代时规定一个扫描顺序,如取行列顺序,即先按 行 号 ‘二, ,⋯,每行 内按列号 二, , ·⋯ 这样,在节点,工作时其邻点 一,和,一 都 已有了新值,因此,松弛法表示为, ’一 , , 十 号。丁, ,诀势黔 , 价乳 十 乳, , 十势界,十 , 一 沪甲, ,为了收敛,要求 簇叱簇 和 “ 都确定 了最优值 。,他们的最优准则是以 最德 良 卞 荫难下降的误差的渐近减小为根据 最优值 。 与网格、区域的形状和边界条件的类型有关 计算中取。 二 时收敛速度鼓快关于参量取值的规定,用显式方 法求解山形物体 日寸,流函数 沪和涡量。取在格点上,速性 。 取在娜列格点之间,速度 。 取在每行格点之间,对于 有些不在所规定 点 上 的 量,取法如‘卜上去,了二 , 上 , , 于 ‘士 ,,, 一,了 于 ‘,, 一 于” , 士于 二 ”, 了土 , ” 一于,士 , 于 , ”‘一 资,,口‘士于,。‘士川 。‘ , ,。‘ 士于 。‘, , , 。一 ,用交替方向隐式方 法求解方块物体 时,流函数砂,涡量。和速度, 。都在格点上取值四、边 界 条 件本文用交替方向隐式方法计算了方块物体的钝体绕流在起动阶段的运动情况,物体形状如图 所示 同时,我们用显式方法计算了山形物体的钝体绕流在起动阶段的运动情况,物体形状如图所示下面分别 给出求解方程所必须的边界条件入 日 截 面刁 处。 , 簇 簇严‘‘曳一‘” , ,“ , 簇其中了, , ,⋯,出一截面 处, , , 功,, , 十 一功,, , 一 ,, 一 , , 一 叻,, , 一功,一 , ,价,, , , 一‘ , , 一 叻,一 , , 十 势,一 , ,其中 二, , ,⋯,下壁面 , 和 ,刀①图 中“ ,达 二尸,、一八圈钝体绕流非定常解”‘ ,功‘, 。一了, 和 《, , 和 分别为 , 和 , 上的点⑦图 中“‘,奋 劝‘, ,,一 十 一 一气,于”‘士功‘, 。成 租 《 成物体表面①物体表面, ,“‘ , ,”‘ , ,功‘, ,‘ ‘ 和 。 了②物体 表面 ‘‘‘,一”‘士,了作 内点计算,由公式 求出功, ,,《‘成‘ 和上壁面①图 中“‘ , 丫口‘ , 万 ,仍 〔。,《 《,‘一咖, , ,⋯,②图 中中其一 ‘ 万 一 奋气士,,价,﹃一万咖其中, , ,⋯,材所有的。都 由公式 求出姚 德 良 卞 荫 贵五、计算步骤及结果分析用显式格式 计算山形物体的步骤 先给定 才 佰几。场 内 各 点 的 初 始 值,如取 势川, 。‘ , , 。,结合边界条件,用松弛法求解流函数方程,即畔丁 沪黔几, 砂界 胜, 沪十川 势,, , “。今, ,沪粼’一 一 。 , 劝乍, , 十 。 沪界杏‘劝甲, , 。 , , 劝乳映 , 劝乳只 劝甲十川 势丁, , 十 一 劝令, ,求出新时间 十 △ 时的流函数沪‘, , 值,用公式 求出 ‘, , 和 。‘, , 再用显式格式的涡量方程。二 一 卜 撬。 , , 一器 姗 介, ,一 。。 , 一 , , 。。 ,十 , 一 。。 ,一 , 〕, 借一卜 , , 。晋小 , 。了, , 十 。了, , 一 」其中 △ △,求出在流场内各节点上的涡量值,最后求各类边界上的涡量值 如此重复以上步骤,反复迭代,直到所要求的时间或达到 了定常态的收敛准则用交替方向隐式方法计算方块物体 的步骤 先 给出 时的初始值,计算 二才十 △ 时边界上的涡量值,把方程 化为三对角方程且‘, 。梦大秀 刀‘ , 。璧志奋‘ , , 。了六大, ,其中志,一一谎 心‘ 十△‘ , ,△‘ △劣“、、万,翻△ 刀十 于 △△ “ ‘, 了 一 豆灭硒分一, , 一遗二一· , , 口 , ,一,, , 。 ,, 一 ,口认贰久矿。丁, ,一。 ,, , 。 ,, , 一 ’用追赶法求解方程 约得流场 内点的涡量值 计算边界上的流函数值,再用松 弛程 得出流场 内的流函数,用公式 求出 。‘, , 和 。‘, , , 接下去计算 幸 矛 △才的涡量值,把方程 化为三对角线方程姓 。, , 。梦,, ‘ , , 。犷泞, , , 。犷, 川其中法求解方时边界上洲‘ , ,一 恙·卿 △ 。 。十 左云吞沪少,“‘ ,‘△十 了只乙双召 △ 兄, , , ” 一‘ , 了△丽云西犷钝体绕流非定常解“, , 。跳于△△戈心志 。公秀一 。叭幻乏孟沁 毗一 试志‘ 毗与用追赶法求解 助得出新的涡量值 计算边界上的流函数,用松弛法求解 得新的流函数,由公式 求出“ 租 。 如此循 环直到 计算到 了所要求的时间或达到 了定常态的收敛准则用显式格式 计算山形物体 时,给定 二 的初始条件,从才 开始计算,时间步长受稳定限制,必须满足关系式,所以 显式格式的时间 步长比交替方向隐式格式的时间步长要小,计算速度要慢 但 对形状不规 则的区域,交替方向隐式格式程序较复杂,因此显式格式更引人注意在用交替方向隐式方 法计算方块物体 绕流时,取了几 种 不 同 的 。 数,当 和, 时,收敛速度较快,计算结果较好 图 和图 给出了 。数为 时的方块物体绕流的流线图,开始产生主涡,随着时间的增加出现三个泼涡现象,即一个主涡 和 两 个 二次涡 同时,我们对 时进行了计算,发现收敛速度较慢图刀‘二群‘。匕、一共 习薯鲜尸门︸图用显式格式计算山形物体绕流时,取 为 进行 了计算,图 至图 给出了山形物体绕流的流线图 当 时,山体右边出现一个气穴 随着时间的不断增加,逐渐形成分 离流回流区 在 回流区中出现主涡,主涡 由小变大,并且往下游移动 同时山体右边出现与主涡方向相反的二次涡,二次涡随着 时间的增加逐渐向底部移动 而且在山体左边也出现了一个较小的二次涡,这种出现三个旋涡的现象和方块物体绕流的情况相似钝体绕流非定常解︸曰护‘电且,‘户口八︸‘参 考 文 献, 、 , , 已, 水户。 ‘,, ,一, , ,二 , , 一,兔 一, ,, 封 ,, ,一, , , ,一 , , 用 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钝体绕流非定常解

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