Linear conic programming: genericity and stability

Abstract

In het lineair conisch programmeren maximalizeren of minimalizeren we een lineaire functie over de intersectie van een affiene ruimte en een convexe kegel. Het conisch programmeren bevat lineaire programmeringsproblemen, semidefiniete programmeringsproblemen en copositieve programmeringsproblemen als subklassen. In deze thesis bestuderen we genericiteit en stabiliteit van eigenschappen van conische programmeringsproblemen. We noemen een eigenschap zwak generiek wanneer de eigenschap geldt voor bijna alle gevallen van een probleem. Numeriek gezien is stabiliteit wenselijk. Een eigenschap wordt beschouwd als zijnde stabiel voor een een specifiek geval van een probleem wanneer deze geldt ook bij kleine veranderingen van de data behorende bij dit geval. In deze thesis laten we zien dat de Slater condities zwak generiek en stabiel zijn. Het is bekend dat uniekheid van de optimale oplossing, niet-ontaardheid en strikte complementariteit zwak generiek zijn voor het conisch programmeren. We onderzoeken de stabiliteit van deze zwak generieke eigenschappen. Voor semidefiniete programmeringsproblemen laten we zien dat al deze zwak generieke eigenschappen stabiel zijn. Een andere interessante eigenschap is de orde van maximizers. Geometrisch is het gerelateerd aan de kromming van de toelaatbare verzameling rondom de oplossing. We karakteriseren eerste orde maximimale oplossingen in het conisch programmeren en geven noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor hun stabiliteit. In het laatste deel van deze thesis beschouwen we copositieve problemen en enkele specifieke gevallen waar copositiviteit van een matrix efficiënt kan worden vastgesteld. In het bijzonder bewijzen we dat een matrix met exact één positieve eigenwaarde copositief is dan en slechts dan wanneer het een niet-negatieve matrix is