Gil Flores, Javier

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idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

ANÁLISIS DE INDICADORES UTILIZABLES EN EL MODELO EUROPEO DE GESTIÓN DE CALIDAD... 481ALTERNATIVAS AL ANÁLISIS DE LA VARIANZAMEDIANTE TÉCNICAS BOOTSTRAPJavier Gil FloresUniversidad de SevillaLAS TÉCNICAS BOOTSTRAPLa inferencia estadística convencional se apoya en buena medida en el su-puesto de que trabajamos con variables que se distribuyen normalmente en laspoblaciones objeto de estudio. Partiendo de éste y otros supuestos acerca de losparámetros poblacionales, somos capaces de determinar la distribución muestralteórica de determinados estadísticos, que es utilizada para hacer inferencias sobreparámetros poblacionales o para el contraste de hipótesis planteadas acerca delos mismos.Las técnicas bootstrap representan un modo diferente de afrontar el proble-ma de la inferencia estadística. El punto de partida sigue siendo la informaciónproporcionada por la muestra, pero en lugar de usar ésta para formular modelosteóricos de distribución atribuidos a los estadísticos muestrales en la poblaciónde referencia, se recurre a procedimientos de remuestreo que permiten generara partir de ella un número elevado de nuevas muestras. Basándose en este amplioconjunto de muestras es posible construir la distribución muestral empírica delos estadísticos objeto de interés, y en función de ella realizar inferencias. Elbootstrap se incluye por tanto entre los procedimientos de remuestreo, que tienenen común la obtención de muestras a partir de los valores observados con el finde generar distribuciones muestrales empíricas. En el caso del bootstrap, lasmuestras generadas tienen el mismo tamaño que la muestra observada, y elmuestreo se realiza con reposición.Aunque las ideas que les sirven de base habían sido consideradas en mo-mentos anteriores, la primera formalización de las técnicas bootstrap se debe aEfron (1979). La utilización del bootstrap en el análisis estadístico ha sido abor-dada con amplitud en textos y artículos que han visto la luz con posterioridad,como los de Bickel y Friedman (1981), Singh (1981); Romano (1988), Hall(1992), Efron y Tibshirani (1993), Shao y Tu (1995), Davison y Hinkley (1997)482 XI CONGRESO NACIONAL DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVAo Chernick (1999). El bootstrap no constituye un procedimiento estadístico par-ticular, sino un enfoque amplio que significa otro modo de aplicar la estadísticapara hacer inferencias. De hecho, su utilización en la estimación de parámetros,los contrastes para dos muestras, el análisis de la varianza, la regresión, las seriestemporales, el análisis factorial y en otros métodos de análisis multivariantesuele ser presentada en los manuales y estudios dedicados a este tema, mostran-do el amplio alcance que tiene la aplicación de las técnicas bootstrap.La utilización del bootstrap ha logrado cierta presencia en una variedad dedisciplinas tan dispares como la psicología, la física, la econometría, la medicinao la ingeniería (Chernick, 1999:7), aunque en el caso de la educación su desa-rrollo ha sido algo menor hasta el momento. De hecho, en nuestro contexto máspróximo, las técnicas bootstrap están ausentes de los análisis estadísticos reali-zados por los investigadores educativos.APLICACIÓN DEL BOOTSTRAP EN EL ANOVAEn el presente trabajo, mostraremos las posibilidades que ofrece el bootstrapen el contexto del análisis de la varianza. Para ello recurriremos a datos extraí-dos de un estudio realizado para valorar las actitudes hacia la Estadística entreestudiantes de Pedagogía y la incidencia en ellas de variables como la formaciónprevia (Gil, 1999). Concretamente, en este estudio se aplicaba la Escala de Actitudeshacia la Estadística (Wise, 1985), que consta de 29 items ante los cuales elalumnado expresa su grado de acuerdo o desacuerdo utilizando para ello unaescala de cinco puntos. El análisis de los datos obtenidos tras la aplicación deeste instrumento a una amplia muestra de estudiantes apuntaba la existencia dediversos factores, entre los que se encontraba el factor ansiedad ante la Estadís-tica. A efectos de nuestra reflexión metodológica sobre las posibilidades debootstrapping en el análisis de la varianza, aquí tomaremos las puntuacionesobtenidas en este factor por tres pequeñas muestras de 21, 21 y 16 alumnos quehabían cursado respectivamente bachilleratos de Ciencias, Letras y otras moda-lidades de bachillerato antes de su ingreso en la universidad. Los estadísticosmuestrales para los tres grupos de alumnos aparecen en la tabla 1.Tabla 1: Medias y desviaciones típicas para los tres grupos.Grupo n Media Desv.TípicaBachillerato Ciencias 21 3,652 0,619Bachillerato Letras 21 2,952 0,586Otros Bachilleratos 16 3,375 0,748ALTERNATIVAS AL ANÁLISIS DE LA VARIANZA MEDIANTE TÉCNICAS BOOTSTRAP 483Trabajando con estos datos, nos cuestionaremos la existencia de diferenciasen la ansiedad ante la Estadística entre los tres grupos de alumnos considerados.El método de análisis habitual para responder a esta cuestión es el análisis de lavarianza de un factor, que permitiría contrastar la hipótesis nula de que noexisten diferencias significativas entre las medias poblacionales para alumnosprocedentes de distintos bachilleratos. La aplicación de esta prueba estadísticaexige la comprobación previa de ciertos supuestos, que se concretan en la nor-malidad de las poblaciones y la homoscedasticidad de varianzas. Para comprobarla normalidad poblacional, se ha recurrido a la prueba de Kolmogorov-Smirnov(ver tabla 2), cuyos resultados permiten mantener que la variable ansiedad antela Estadística se distribuye normalmente en las tres poblaciones consideradas.En el caso de la homoscedasticidad de varianzas se recurrió a la prueba deLevene, cuya aplicación arrojó un valor F=0,803, al que corresponde un gradode significación p=0,453. De acuerdo con este valor, también podemos mantenerla hipótesis nula de igualdad de varianzas.Diferencias más extremasGrupoAbsoluta Positiva NegativaZ PBachillerato Ciencias 0,145 0,086 -0,145 0,665 0,769Bachillerato Letras 0,187 0,091 -0,187 0,859 0,452Otros Bachilleratos 0,215 0,135 -0,215 0,860 0,450Comprobados los supuestos paramétricos, procederíamos a calcular el esta-dístico F que compara la variabilidad intergrupos o experimental con la variabi-lidad intragrupos o de error (ver tabla 3). El valor obtenido es F=6,2424. Con-siderando que el estadístico F sigue el modelo teórico de la distribución F para2 y 55 grados de libertad, al valor observado corresponde un grado de signifi-cación p=0,0036 de acuerdo con el cual podríamos rechazar la hipótesis nula deigualdad de medias y afirmar, para un nivel de significación a=0,01, la existenciade distintos niveles de ansiedad ante la Estadística entre los alumnos que proce-den de diferentes modalidades de Bachillerato.Tabla 3: Análisis de la varianza para la variable ansiedad ante la EstadísticaSuma decuadradosg.l. MediacuadráticaF Sig.Inter.-grupos 5,206 2 2,603Intra-grupos 22,935 55 0,417Total 28,141 576,2424 0,0036Tabla 2: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el contraste de la normalidadpoblacional484 XI CONGRESO NACIONAL DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVAHasta aquí hemos mostrado el modo de proceder en el análisis de la varianza,obteniendo finalmente un valor p en función del cual adoptar la decisión esta-dística. No obstante, podríamos obtener también este valor p mediantebootstrapping, basándonos para ello en diferentes estadísticos. En tal caso, nosería necesario verificar ningún tipo de supuestos de partida acerca de las dis-tribuciones o los parámetros poblacionales.Para llevar a cabo el análisis hemos utilizado el software Resampling StatsAdd-In for Excel (Resampling Stats Inc., 2001). El modo de proceder sería elsiguiente:1. La hipótesis nula sometida a contraste establece la igualdad de los tresgrupos de alumnos en cuanto a la ansiedad ante la estadística. Si H0 escierta, las puntuaciones alcanzadas en las tres muestras proceden de unamisma población, por lo que el conjunto de todas ellas constituye lainformación disponible sobre la población de referencia. Usando las 58puntuaciones, podemos extraer con reposición una nueva muestra de ta-maño n=58, asignando los 21 primeros valores al primer grupo, los 21siguientes al segundo y los 16 restantes al tercero y último.2. La muestra obtenida según el procedimiento descrito permite calcular elvalor de un estadístico de contraste. Siguiendo a Simon y Bruce (1991),podríamos utilizar la suma de las diferencias absolutas de cada mediagrupal respecto a la media global (SB); otra posibilidad estaría en lautilización de la suma de las diferencias cuadráticas (SB2); y finalmente,cabría utilizar el propio estadístico de contraste calculado en el análisisde la varianza (F). Los dos primeros estadísticos aportan una medida delgrado en que los grupos se diferencian entre sí, esperándose valorespróximos a cero bajo la hipótesis nula de igualdad entre los mismos.Aunque bastaría emplear cualquiera de los estadísticos mencionados, aquíutilizaremos los tres para llevar a cabo el contraste y mostrar de estemodo las diferentes alternativas a la prueba clásica.3. Los dos pasos anteriores se repiten hasta conseguir un número elevado demuestras, en cada una de las cuales se pueden calcular cualquiera de losestadísticos de contraste. Si bien 5.000 muestras podrían resultar sufi-cientes (Manly, 1997;Chernick, 1999), trabajaremos sobre 10.000 mues-tras considerando que el aumento en el número de éstas mejorará laestimación de la distribución muestral para los estadísticos utilizados.4. Los valores observados para los estadísticos de contraste en las muestrasextraídas permiten construir la distribución muestral empírica para talesestadísticos. En la tabla 4 se muestran las distribuciones de frecuenciaspara los valores observados en el caso de los estadísticos SB, SB2 y F. EnALTERNATIVAS AL ANÁLISIS DE LA VARIANZA MEDIANTE TÉCNICAS BOOTSTRAP 485las tres distribuciones los valores han sido agrupados por intervalos,denotando éstos por su punto medio. Las distribuciones obtenidas tam-bién han sido representadas gráficamente mediante histogramas (ver fi-gura 1).Tabla 4: Distribuciones muestrales empíricas para los estadísticos SB, SB2 yF obtenidas mediante bootstrap.BS Frec. %acum..BS2 Frec. %acum..F Frec. %acum..0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,95573947019431085117211671038932724580429313197129713815123    0,6    4,5  11,5  21,0  31,8  43,5  55,2  65,6  74,9  82,1  87,9  92,2  95,3  97,3  98,6  99,3  99,7  99,8100,0100,00,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,220,240,260,280,300,320,340,360,401702252217781255875554425284215148875532351245921  17,0  42,2  60,0  72,6  81,3  86,9  91,1  93,9  96,1  97,6  98,4  99,0  99,3  99,7  99,8  99,8  99,9100,0100,0100,0  0,00  0,50  1,00  1,50  2,00  2,50  3,00  3,50  4,00  4,50  5,00  5,50  6,00  6,50  7,00  7,50  8,00  8,50  9,00  9,5010,0011,002242302817931087700395273161124654321211485633114  22,4  52,7  70,7  81,5  88,5  92,5  95,2  96,8  98,1  98,7  99,1  99,3  99,6  99,7  99,8  99,8  99,9  99,9  99,9100,0100,0100,0486 XI CONGRESO NACIONAL DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVALas distribuciones obtenidas mediante bootstrap constituyen estimaciones delas distribuciones muestrales correspondientes. Contando el número de vecesque el valor del estadístico de contraste iguala o supera al valor observado en lasmuestras originales (BS=0,7781; BS2=0,26771; F=6,2424), tendremos una aproxi-mación a la probabilidad de encontrar valores más extremos siendo H0 cierta.Por tanto, el valor de esta probabilidad representa el riesgo de rechazar unahipótesis nula verdadera.Para cualquiera de los tres estadísticos utilizados, la probabilidad de encon-trar valores más extremos resulta ser muy baja. Concretamente, hemos obtenidovalores p=0.0076, p=0.0037 y p=0.0045 para cada uno de los respectivos esta-dísticos SB, SB2 y F. Todas las vías utilizadas permitirían por tanto rechazar lahipótesis nula con un nivel de confianza superior al 99% (a=0.01), conduciendoa resultados muy similares a los obtenidos en el análisis de la varianza conven-cional.Figura 1: Histogramas para los valores observados de los estadísticos BS,BS2 y F.050010001500200025003000Frecuencia0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36 0,4BS2020040060080010001200Frecuencia0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9BS0500100015002000250030003500Frecuencia0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11FALTERNATIVAS AL ANÁLISIS DE LA VARIANZA MEDIANTE TÉCNICAS BOOTSTRAP 487CONCLUSIONESLa alta coincidencia entre los resultados obtenidos en la aplicación de téc-nicas bootstrap y el análisis de varianza corroboran la adecuación de este tipo deenfoques para la inferencia estadística. La superioridad de los mismos se haráevidente en situaciones en las que no se satisfacen los supuestos que permitiríanla aplicación del análisis de la varianza. En tal caso, el recurso a técnicas noparamétricas implicaría trabajar con puntuaciones previamente transformadas enrangos, con la consiguiente pérdida de información. Mediante bootstrap, es po-sible conservar el nivel de medida y llevar a cabo las pruebas de contrasteutilizando estadísticos cuyas distribuciones muestrales se obtienen empíricamen-te a partir del remuestreo sobre las muestras observadas.Este tipo de enfoques presenta además como ventaja la simplicidad con quepueden ser aplicados. La dificultad y complejidad que rodea a veces al análisisestadístico constituye un obstáculo para muchos de quienes se inician en suestudio. El empleo de técnicas bootstrap permite obviar descripciones analíticasy formulaciones complejas para establecer las distribuciones muestrales que si-guen los estadísticos. En el ejemplo aquí mostrado, bastaría trabajar con lasdiferencias de medias, sin necesidad de recurrir a expresiones algebraicas que amenudo resultan un escollo para el aprendizaje de la estadística por parte de losestudiantes.Como limitación de estos enfoques habría que señalar la necesidad de contarcon muestras los más representativas posibles. Puesto que el modo de operarconsiste en reconstruir una población a partir de la muestra observada, resultacrucial la calidad de esta muestra. Además de la conveniencia de aleatoriedad enla extracción de la muestra, una consideración básica tendrá que ver con eltamaño, aspecto en el que las recomendaciones apuntan hacia un mínimo deentre 10 y 20 casos.Uno de los motores para el desarrollo de las técnicas bootstrap es sin dudael avance logrado por la informática. La generación de un elevado número demuestras requerida para construir la distribución muestral empírica hace que estetipo de métodos sólo sea viable contando con el recurso de los ordenadores. Hastael desarrollo de éstos, posiblemente la única forma de trabajar consistía en apoyarla inferencia estadística sobre modelos teóricos de distribución muestral atribui-dos a los estadísticos, siempre que se cumplan ciertos supuestos. En palabras deRodgers (1999:441), la forma en que realizamos los análisis estadísticos puedeser en parte fruto de un accidente histórico; si el análisis de la varianza de Fisherhubiera sido inventado treinta años más tarde (o los ordenadores hubieran estadodisponibles treinta años antes), nuestros procedimientos estadísticos estarían pro-bablemente menos vinculados a distribuciones teóricas como F o t.488 XI CONGRESO NACIONAL DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVACabe esperar que la popularidad que estos métodos empiezan a tener enalgunas disciplinas científicas, se extienda a otros campos y las técnicas bootstrapacaben ocupando un lugar destacado en el ámbito del análisis estadístico. ParaEfron (2000), el bootstrap se encuentra entre los avances recientes que hantenido un mayor efecto sobre la práctica del análisis estadístico, y sin embargono aparece en la mayor parte de los manuales sobre estadística. Su inclusión enel ámbito de la enseñanza de esta disciplina es una cuestión pendiente.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASBICKEL, P. y FRIEDMAN, D. (1981). Some asymptotic theory for the bootstrap, en TheAnnals of Statistics, 9, 1196-1217.CHERNICK, M.R. (1999). Bootstrap methods: a practitioner’s guide. Nueva York: Wiley& Sons.DAVISON, A. y HINKLEY, D. (1997). Bootstrap methods and their application. NuevaYork: Cambridge University Press.EFRON, B. (1979). Bootstrap methods: another look at the jacknife, en The Annals ofStatistics, 7, 1-26.EFRON, B. (2000). The bootstrap and modern statistics, en Journal of the AmericanStatistical Association, 95 (452), 1293-1296.EFRON, B. y TIBSHIRANI, R.J. (1993). An introduction to the bootstrap. Nueva York:Chapman & Hall/CRC.GIL, J. (1999). Actitudes hacia la estadística. Incidencia de las variables sexo y forma-ción previa, en Revista Española de Pedagogía, LVII, 214, 567-590.HALL, P. (1992). The bootstrap and edgeworth expansion. 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Alternativas al análisis de la varianza mediante técnicas Bootstrap

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