Nepomuceno Fernández, Ángel

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idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

382Un cálculo abductivo naturalÁngel Nepomuceno Fernández(Universidad de Sevilla)1. IntroducciónEn cada tipo de inferencia hallamos una relación entre las premisas y laconclusión, que podemos expresar simbólicamente como P |=X C, donde Prepresenta el conjunto de las premisas y C la conclusión, mientras que elsubíndice X se refiere a la relación de consecuencia de que se trate, ya seaclásica, intuicionista, etc. (cuando sea en sentido clásico no aparecerá índicealguno). El par <P, C> constituye el argumento del razonamiento o inferenciaen cuestión. En el estudio lógico de argumentos han destacado los cálculosque permiten determinar esquemas de argumentos correctos, qué conclusiónse puede obtener de ciertas premisas para dar lugar a un argumento válido,etc. En este trabajo se propone un cálculo de hipótesis basado en los cálculosdeductivo-naturales tipo Gentzen.2. Inferencia abductivaDada una teoría base y un hecho, un problema abductivo consiste en hallaruna hipótesis o consecuencia abductiva, tales que ésta  junto con la teoríaexpliquen el hecho, en el sentido de que la teoría base y la hipótesis, tomadasconjuntamente, impliquen o entrañen el hecho. Si el sistema de razonamientoadoptado es clásico, entonces la relación de entrañamiento es la deconsecuencia lógica (o implicación lógica) estudiada por la lógica clásica.Simbólicamente, dadas la teoría base Θ y el hecho ϕ, (Θ, ϕ) representa unproblema abductivo; se tomará α como una solución si se verifica queΘ∪{α}|=ϕ. Este es el requisito básico, pero se pueden establecer otros paraevitar soluciones triviales, como que α≠ϕ, que Θ∪{α} sea consistente, etc., porlo que se pueden estudiar distintos tipos de abducciones. En cualquier caso,esta noción debería ser entendida como proceso inferencial, distinto de lainducción y de la deducción, que en la investigación científica tiene comofinalidad la generación de hipótesis para su posterior examen o comprobación,poniendo en juego todas las operaciones por las que se haya engendrado lateoría de que se trate (Hintikka, 1999). Así pues, planteado un problemaabductivo (Θ, ϕ), definimos la inferencia abductiva de la siguiente manera:(Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ y no es el caso que Θ |= ϕ ni Θ |= ¬ϕ.3. Un cálculo abductivoEs conocido el cálculo deductivo natural tipo Gentzen para los sistemasformales clásicos. Dado un lenguaje formal de predicados de primer orden L, elcálculo deductivo-natural | permite obtener las consecuencias lógicas de un383conjunto de fórmulas de L. Más concretamente, este cálculo es  correcto ycompleto, es decir, para cada clase de fórmulas Γ y la fórmula β, Γ|=β syssΓ|β. Los postulados de este cálculo constituyen un conjunto de reglas opatrones de inferencia, una de introducción y otra de eliminación por cadaconstante lógica de L.Planteado un problema abductivo (Θ, ϕ) y teniendo en cuenta lascaracterísticas del cálculo deductivo natural, la definición anterior resultaequivalente a(Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α | ϕ y no es el caso que Θ | ϕ ni Θ | ¬ϕ¿Es definible un cálculo de las hipótesis que solucionan problemasabductivos?El cálculo |CNAB hace uso de las reglas propias del cálculo deductivo-natural y tiene la siguiente regla especial de afirmación de hipótesis abductiva(AHA), para hallar hipótesis a partir de un problema abductivo (Θ, ϕ):Si Θ, ¬ϕ→¬α, no (Θ | α), no (Θ∪{α}| ⊥), y α≠ϕ; entonces α.En algunas condiciones antecedentes pueden surgir problemas (en primerorden surge la indecidibilidad, por ejemplo). En general, ∆|CNAB β syss existeuna sucesión de fórmulas δ1, ..., δn tal que, para cada i≤n-1, δi∈Θ o δi esconsecuencia (por aplicación de las reglas del cálculo deductivo) de fórmulasprecedentes y δn es β, la cual se ha obtenido por aplicación de AHA. Veamosalgún ejemplo. Sea el problema abductivo (Θ, ϕ), donde Θ = {p→q, q→r} y ϕ =r;obtenemos la siguiente secuencia que culmina con una hipótesis:1. p→q Premisa2. q→r Premisa3. ¬r Hipótesis auxiliar4. p Hipótesis auxiliar5. q M. P.6. r M. P.7. r∧¬r   Introducción ∧ 3, 68. ¬p Introducción ¬ 49. ¬r→¬p I. I. 3-8.10. p AHA 1, 2, 9Parte de las condiciones antecedentes de la regla AHA aparecen en laslíneas 1 y 2 (teoría base) y en la línea 9, justificada por la deducción subsidiariade 3 a 8. Fácilmente se obtiene una deducción de r a partir de las fórmulas 1, 2y 10. También se puede obtener otra hipótesis abductiva distinta, a saber, q¿Cuál es preferible? A este respecto, se puede optar por una u otra en funciónde determinados criterios.Como segundo ejemplo, veamos un caso de fórmulas predicativas;Θ={∀x(Px→Qx)} y ϕ=∀xQx:3841. ∀x(Px→Qx) Premisa2. ¬∀xQx Hipótesis auxiliar3. ¬Qx E. ∀ 24. Px→Qx E. ∀ 15. ¬Px M. T. 3, 46. ¬∀xPx I. ∀ 57. ¬∀xQx→¬∀xPx I. I. 2-68. ¬∀xPx AHA 1, 7.Tanto la regla de introducción como de eliminación de ∀ aplicadas a 5 y 2,respectivamente, se obtienen como reglas derivadas (con las restriccionespertinentes, si procede) en el cálculo.  Nótese que, en general, |CNAB no esmonótono. En efecto, retomando el ejemplo de las fórmulas proposicionales,hemos obtenido ({p→q, q→r}, r) |CNABp, pero no se verifica que({p→q, q→r, ¬p}, r) |CNAB p,pues {p→q, q→r, ¬p}∪{p} |⊥. Se puede definir el cálculo |CNAB demanera que se incorporen determinados requisitos abductivos; el deconsistencia, por ejemplo, está contemplado en la definición dada, a saber porla condición antecedente “no (Θ∪{α}|⊥)”. El requisito explicativo seríaexpresable mediante la siguiente condición antecedente: “no ({α, ¬ϕ}| ⊥)”.Una vez fijados los requisitos abductivos correspondientes, tanto en ladefinición de la relación de consecuencia abductiva como en el cálculo (en laregla AHA), es demostrable la corrección del mismo. Así, definiendo1) (Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ y no es el caso que (Θ |= ϕ), ni (α |= ϕ), ni(Θ∪{α}|=⊥),2) AHA: Si Θ, ¬ϕ→¬α, no (Θ | ϕ), no (α | ϕ) y no (Θ∪{α}|⊥); entonces α,se puede probar la corrección, teniendo en cuenta los problemas indicados.Para la abducción básica (plana), (Θ, ϕ) |=AB α syss Θ, α |= ϕ, y AHA: Si Θ,¬ϕ→¬α, entonces α, verificando corrección: Si (Θ, ϕ)|CNABα, entonces (Θ, ϕ)|=AB α.BibliografíaALISEDA, A. 1997: Seeking Explanation: Abduction in Logic, Philosophy ofScience and Artificial Intelligence, ILLC, Amsterdam.HINTIKKA, J. 1999: “What is abduction? The fundamental problem ofcontemporary epistemology”, en Inquiry as Inquiry: A Logic of ScientificDiscovery, Kluwer, Dordrecht, pp. 91-113.

Un cálculo abductivo natural

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