We take as starting point the context logic studied in (Grossi, Meyer, and Dignum 2008) and
(Aucher et al. 2009), which was concerned with the development of a dynamic logic of rules. Here we focus on
issues of Formal Epistemology and omit the addition of deontic operators.We define some basic logics that are
useful for the study of epistemic actions such as expanding, contracting or revising a theory taking into account
different kinds of inferential results

Falguera López, José Luis (Coordinador)

Hernández Antón, Ignacio

Martínez Vidal, Concha (Coordinador)

Nepomuceno Fernández, Ángel

Pereira Fariña, Martín (Coordinador)

Sagüillo Fernández-Vega, José Miguel (Coordinador)

Sarrión Morillo, Enrique

Verdejo Aparicio, Víctor M. (Coordinador)

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

TRATAMIENTO MULTIMODAL DE CONTEXTOSENRIQUE SARRIÓN MORILLO, IGNACIO HERNÁNDEZ ANTÓN, ÁNGEL NEPOMUCENO FERNÁNDEZGrupo de Lógica, Lenguaje e Información - U. de Sevillaesarrion, iha, nepomuce@us.esABSTRACT: We take as starting point the context logic studied in (Grossi, Meyer, and Dignum 2008) and(Aucher et al. 2009), which was concerned with the development of a dynamic logic of rules. Here we focus onissues of Formal Epistemology and omit the addition of deontic operators. We define some basic logics that areuseful for the study of epistemic actions such as expanding, contracting or revising a theory taking into accountdifferent kinds of inferential results.Key words: context logic, context models, modal operators, finite contexts.1 IntroducciónDada una teoría, su extensión en un contexto se puede considerar como una ampliación de la mismacon resultados obtenidos en procesos epistémicos, entre los que se cuentan los inferenciales, ya seanéstos deductivos, inductivos, abductivos o predictivos1. En general, las inferencias en un contexto deinvestigación científica son regidas por un sistema de razonamiento, el cual se puede identificar conlo que se ha dado en llamar lógica subyacente de la práctica correspondiente. Tal lógica subyacente escodificable en un sistema formal -un lenguaje formal, interpretable mediante cierta teoría semántica,y un mecanismo deductivo-.No es habitual tomar en consideración una lógica subyacente mediante la cual se puedan cap-tar procesos de inferencia no deductivas. En este trabajo proponemos unos sistemas de lógica básicosa partir de los cuales son definibles nuevas reglas inferenciales con vistas a representar operacionesepistémicas resultantes de procesos inferenciales no deductivos.El modelo AGM de cambio epistémico, establecido a partir de (Alchourrón, Gärdenfors, andMakinson 1985), está basado en lógica clásica estándar y considera que el agente epistémico es om-nisciente, es decir, que su base de conocimiento es cerrada bajo consecuencia lógica: para el lenguajeL y la teoría Θ⊂ L, si Cn(Θ) = {ϕ ∈ L :Θ |= ϕ}, entonces Θ=Cn(Θ).1Estudios pertinentes acerca de la abducción, y, en parte, la inducción, se hallan, entre otros, en (Aliseda 2006),(Gabbay and Woods 2006) y (Hintikka 1998); la noción de preducción se establece en (Rivadulla 2010).Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España81Organizamos el trabajo de la siguiente manera. A esta introducción le sigue el apartado 2, enel que se presenta qué se entenderá por modelo de contexto y una lógica básica que es correcta ycompleta respecto de la clase de tales modelos. En el siguiente apartado se estudian mínimamenteotros modelos -modelos de contextos no vacíos y el caso de modelos finitos-, y se define la lógicabásica correspondiente. En un último apartado se incluyen algunas observaciones finales y se señalannuevas líneas de trabajo, para finalizar con una lista de referencias.2 Modelos contextualesEn una práctica científica se pueden presentar diversos estados epistémicos. Por ello, haciendo uso deuna semántica kripkeana, ciertos conjuntos de estados o mundos posibles serán relevantes (o no) paracada contexto. Definimos entonces un modelo de contextos, o modelo de subconjuntos, de acuerdocon el siguiente clausulado:1. P es un conjunto (no vacío) de variables proposicionales.2. C = {U}∪{X ,Y,Z, . . .}, es el conjunto de los contextos (realmente un conjunto de parámetrosmodales), donde U representa el operador global.Entonces, se define un modelo de subconjuntos (contextos)M = (W,R,I ), de manera que:1. W 6= /0 es el conjunto de mundos (o estados) posibles.2. R(U) =W , y para cada X ∈ C , si X 6=U , entonces R(X) ⊆W.R(X) representa el conjunto demundos o estados relevantes para el contexto X. No obstante, por comodidad, y siempre queno se dé lugar a otras ambigüedades, llamaremos contexto al propio R(X), es decir, se tomaráal conjunto de mundos relevantes para el “contexto” como explicitación del contexto mismo.Obviamente, para el contexto global todos los estados son relevantes.3. I es una valoración tal que para cada p∈ P,I (p)⊂W.I (p) representa el conjunto de estadosque satisfacen p.Se define un lenguaje proposicional a partir de P de acuerdo con la siguiente regla BNF:ϕ := p|¬ϕ|ϕ → ψ|[X ]ϕNaturalmente, p ∈ P. La expresión [X ]ϕ representa “en el contexto X vale ϕ”. Dicho deotro modo, al anteponer el operador [X ] a la fórmula ϕ , se está expresando que “el contexto X esProceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España82necesariamente relevante para la fórmula ϕ”. El operador 〈X〉 es el operador dual, de manera que〈X〉ϕ =¬[X ]¬ϕ expresa que “en el contexto X es posible ϕ” (lo que es equivalente a afirmar que “noes el caso que en el contexto X no valga ϕ”, o bien que “el contexto X es posiblemente relevante parala fórmula ϕ”). Conviene distinguir dos clases de fórmulas en relación con los operadores indicados,a saber:1. Contextuales, en las cuales al menos un símbolo no lógico está bajo el alcance de un operadorcontextual, como, por ejemplo, en [X ]ϕ, [X ]ϕ → [Y ]ψ,〈X〉ϕ → [Y ]〈X〉ϕ , etc.2. Proposicionales, en las cuales no ocurre ningún operador de contexto.Dado un modelo contextual M = (W,R,I ), para w ∈W , se establece la noción de satisfac-ción, |=, según las siguientes cláusulas:1. Para p ∈ P,M ,w |= p si y sólo si (en adelante “syss”) w ∈I (p).2. M ,w |= ¬ϕ syssM ,w 2 ϕ .3. M ,w |= ϕ → ψ syssM ,w 2 ϕ oM ,w |= ψ .4. Para X ∈C ,M ,w |= [X ]ϕ syss para todo w′ ∈ R(X),M ,w′ |= ϕ . En este caso, en efecto,M enel estado w satisface “ϕ vale en el contexto X”, pues en cada estado relevante para el contexto,el modelo satisface la fórmula.Cuando M ,w |= ϕ para todo w ∈W , entonces ϕ es válida en M , lo que se expresa comoM |= ϕ . Por otra parte, si para cada modelo contextualM se verifica queM |= ϕ (es decir, ϕ válidaenM ), entonces ϕ es universalmente válida (en el sentido de los modelos contextuales), en símbolos|= ϕ .El valor semántico de cada fórmula ϕ en el modelo M se establece siguiendo el clausuladode la regla BNF citada:1. ‖p‖M =I (p).2. ‖¬ϕ‖M =W\‖ϕ‖M .3. ‖ϕ → ψ‖M = ‖¬ϕ‖M ∪‖ψ‖M .4. ‖[X ]ϕ‖M = R(X)∩‖ϕ‖M .Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España83Nótese que, de acuerdo con las definiciones, siM ,w |= [X ]ϕ , entonces el conjunto de (lo quepodríamos llamar) los ’estados-ϕ’ contiene el conjunto de estados relevantes para el contexto X , esdecir, R(X)⊆ ‖ϕ‖M y, en consecuencia, R(X)∩‖ϕ‖M = R(X).Para contar con una lógica plena debemos definir un cálculo lógico, que por comodidad rep-resentamos mediante `, de manera que ` ϕ indica que la fórmula ϕ es demostrable en el cálculo, ypara el conjunto de fórmulas Γ, Γ ` ϕ expresa que ϕ se demuestra en el cálculo a partir de Γ. Estecálculo consta de los siguientes axiomas y reglas:1. Todos los axiomas y reglas del cálculo proposicional clásico (ya sea tipo Hilbert, Lukasiewicz,Gentzen, etc.).2. [X ]ϕ → [Y ][X ]ϕ .3. 〈X〉ϕ → [Y ]〈X〉ϕ .4. [U ]ϕ → ϕ .5. [X ](ϕ → ψ)→ ([X ]ϕ → [X ]ψ).6. Regla de necesitación: de ` ϕ se infiere ` [X ]ϕ .SeaM la clase de los modelos contextuales. Respecto de esta clase, el cálculo es correcto ycompleto2, es decir, para Θ⊂ L y ϕ ∈ L, se verifica que:Θ ` ϕ syss Θ |= ϕ.3 Clases específicas de contextos3.1 Contextos no nulosSurgen algunas cuestiones con vistas a las posibles aplicaciones de estas lógicas en ámbitos episte-mológicos. Una de ellas es: ¿qué representa el contexto X en un modelo sin estados relevantes parael mismo? SeaM = (W,R,I ) tal que para un X ∈ C se tiene que R(X) = /0. En este caso tendremosque en el contexto X vale cualquier fórmula:M ,w |= [X ]ϕ .La consideración de que, en general, si una fórmula vale en un contexto, entonces dicha fór-mula es posible en tal contexto, precisa que estemos hablando de contextos no vacíos. Un modelotal que R(X) = /0 no satisface [X ]ϕ → 〈X〉ϕ , al satisfacer al antecedente pero no al consecuente. Asípues, sea la clase de modelosMP = {M ∈M :M = (W,R,I )&∀X ∈ C ,R(X) 6= /0}. Respecto de2En (Aucher et al. 2009) se presenta la prueba de corrección y completud del cálculo que definen, el cual es básica-mente coincidente con el aquí presentado.Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España84esta clase, al ser una subclase de la clase de los modelos de contexto, el cálculo es también correcto ycompleto.3.2 Contextos finitosSea la clase de contextos finitos (no vacíos)MPF = {M ∈M :M = (W,R,I )& |W | ≤ ω0 & ∀X ∈ C ,R(X) 6= /0}Entonces, dado un parámetro modal X , se puede hallar una fórmula ψX tal que su valor semán-tico es R(X), es decir ‖ψX‖M = R(X). Así, por ejemplo, para el contexto globalU , la fórmula podríaser p∨¬p, de tal manera que para el modeloM = (W,R,I ),‖p∨¬p‖M = R(U) =W .La correspondiente cláusula definitoria de la relación de satisfacción puede ahora adaptarse aesta circunstancia:• Para X ∈ C ,M ,w |= [X ]ϕ syss para todo w′ ∈ R(X),M ,w′ |= ϕ syssM |= ψX → ϕ .Un nuevo cálculo es definible en relación a esta clase de modelos. Se trata de una simplifi-cación del anterior y consta de los siguientes axiomas y reglas:1. Todos los axiomas y reglas del cálculo proposicional clásico (ya sea tipo Hilbert, Lukasiewicz,Gentzen, etc.).2. [U ]ϕ → ϕ .3. Regla de necesitación: de ` ϕ se infiere ` [U ]ϕ .Hemos de tener en cuenta que [X ]ϕ → 〈X〉ϕ vale en cada modelo, dado que en éstos, pordefinición, se verifica que R(X) 6= /0. Esta circunstancia es expresable en el siguiente esquema proposi-cional válido:(ψX → ϕ)→ (ψX → ψX ∧ϕ).La regla de necesitación respecto de cualquier parámetro X es derivada. En efecto, se puedeobtener la siguiente derivación:1. ` ϕ Premisa.2. ` ϕ → (ψX → ϕ) Axioma proposicional (para cualquier contexto X).3. ` ψX → ϕ Modus ponens, 1,2.Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España854. ` [X ]ϕ Definición-equivalencia 3.Los axiomas 2, 3 y 5 del cálculo anterior, corresponden a los siguientes esquemas proposi-cionales, respectivamente:2’. (ψX → ϕ)→ (ψY → (ψX → ϕ)).3’. ψX ∧ϕ → (ψY → ψX ∧ϕ).5’. (ψX → (ϕ → ψ))→ ((ψX → ϕ)→ (ψX → ψ)).Como hemos visto, la clase de los modelos finitos es una subclase de los modelos de contexto,es decirMPF ⊆M. Por otra parte, el cálculo es una adaptación del cálculo estudiado anteriormente.En consecuencia, el nuevo cálculo es correcto y completo respecto deMPF , es decir:Θ ` syss Θ |= ϕ.4 Observaciones finalesPara trabajar con lenguajes epistémicos otra manera de definir modelos contextuales tiene en cuentala(s) correpondiente(s) relación(es) de accesibilidad3. En estos casos el lenguaje contiene un operadorde conocimiento K, de manera que dada la fórmula ϕ , Kϕ expresa que ϕ es conocida.Ahora un modelo contextual M = (W,R,RK,I ), donde W 6= /0,R : C ×W 7−→W -siendoR(W,w) el conjunto de estados (mundos) relevante al mundo w en el contexto X-, RK es la relaciónde accesibilidad e I la función interpretación. La noción de satisfacción se define a partir de lascláusulas siguientes:1. M,X ,w |= p syss ∀w′ ∈ R(X ,w),w′ ∈I (p).2. M,X ,w |= Kϕ syss ∀w′ ∈W tal que (w,w′) ∈ R(X ,w), se verifica M,X ,w |= ϕ .Estas lógicas de contexto, especialmente cuando se toman modelos finitos sin contexto nulo,son aplicables en estudios de Epistemología Formal. El modelo AGM propone las operaciones deexpansión, contracción y revisión, pero el sujeto epistémico es tomado como omnisciente, lo que loaleja de una representación más acorde con las capacidades de los agentes reales.Sin embargo, si se considera que una teoría se establece como resultado de una práctica cien-tífica en un contexto, la lógica subyacente debería tomarse como una lógica contextual ampliada para3En (Rebuschi and Lihoreau 2009) se plantean modelos teniendo en cuenta un conjunto de agentes, por ello conrelaciones de accesibilidad para cada agente; la semántica no coincide exactamente con la esbozada en nuestro trabajo.Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España86comprender ciertas operaciones epistémicas. Refiriéndonos a las más básicas estudiadas, a partir deun lenguaje L y un modelo de contextos no nulosM = (W,R,I ), se podría definir una operación deampliación inferencial de una teoría Θ de la siguiente manera:Θ+ϕ = {ψ ∈ L :Θ∪ϕ ↪→X ψ} ,siempre que “↪→X”, relación de ’consecuencia lógica en un contexto X’, sea reflexiva y transitiva4 yψ sea el resultado de una deducción, o bien de una inducción, de una abducción o de una preducción.AgradecimientosEste trabajo se ha realizado en el marco de ejecución de los proyectos Interpretaciones Alternativasde Lógicas no Clásicas (referencia HUM5844 de la Consejería de Economía, Innovación y Cienciade la Junta de Andalucía), y Conciencia, Lógica y Computación (referencia FFI2011-29609-C02-01,del Ministerio de Ciencia e Innovación).REFERENCIASAlchourrón, C., Gärdenfors, P., & Makinson, D. (1985). On the logic of theory change: partial meetcontraction and revision functions. Journal of Symbolic Logic, 50(2), 510–530.Aliseda, A. (2006). Abductive Reasoning. Logical Investigations into Discovery and Explanation.Springer. Volume 330 of Synthese Library Series.Aucher, G., Grossi, D., Herzig, A., & Lorini, E. (2009). LORI 2009, chapter Dynamic Context Logic,(pp. 15–26). Springer, LNAI 5834.Gabbay, D. & Woods, J. (2006). A Practical Logic of Cognitive Systems, vol. 2: The Reach of Abduc-tion: Insight and Trial. Elsevier.Grossi, D., Meyer, J. J. C., & Dignum, F. (2008). The many faces of counts-as: A formal analysis ofconstitutive rules. Journal of Applied Logic, 6, 192–217.Hintikka, J. (1998). What is abduction? the fundamental problem of contemporary epistemology.Transactions of the Charles S. Peirce Society, 34(3), 503–533.Rebuschi, M. & Lihoreau, F. (2009). Contextual epistemic logic.Rivadulla, A. (2010). Complementary strategies in scientific discovery: Abduction and preduction. InPietarinen, A. V., Bergman, M., Paavola, S., & Rydenfelt, H. (Eds.), Ideas in Action: Proceedingsof the Applying Peirce Conference, (pp. 264–276).van Benthem, J. (2011). Logical Dynamics of Information and Interaction. Cambridge UniversityPress.4Son los requisitos mínimos necesarios para que una relación entre conjuntos de fórmulas y fórmulas sea consideradauna relación de consecuencia lógica, ya sea en perspectiva sintáctica o semántica; es decir, para que estemos ante unalógica. Por otra parte, la Lógica debe ocuparse de estudiar los flujos de información (véase (van Benthem 2011)).Proceedings of the VII Conference of the Spanish Society for Logic, Methodology and Philosophy of Science Actas del VII Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia en España87

Tratamiento multimodal de contextos

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