En este trabajo estudiamos la estabilidad estructural topológica para una familia de semigrupos no lineales Th(·) sobre espacios de Banach Xh dependiendo de un parámetro h.In this work we study the topological structural stability for a family of nonlinear semigroups Th(·) on Banach spaces Xh which dependent on a parameter h

Aragão Costa, Eder Ritis

Figueroa López, Rodiak Nicolai

Langa Rosado, José Antonio

Lozada Cruz, Germán

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

SELECCIONES MATEMATICASUniversidad Nacional de Trujillohttp://revistas.unitru.edu.pe/index.php/SSMMVol. 03(01): 43-46 (2016)ISSN: 2411-1783 (version electronica )ESTABILIDAD ESTRUCTURAL TOPOLOGICA SOBRE ESPACIOSPROYECTADOSTOPOLOGICAL STRUCTURAL STABILITY ON PROJECTED SPACESRODIAK FIGUEROA, GERMAN LOZADA, JOSE LANGA , AND EDER ARAG~AOReceived, Jan. 15, 2016 Accepted, Apr. 20, 2016.ResumenEn este trabajo estudiamos la estabilidad estructural topologica para una familia de semigrupos nolineales Th() sobre espacios de Banach Xh dependiendo de un parametro h.Palabras clave. Estabilidad, espacios proyectados, espacios de Banach.AbstractIn this work we study the topological structural stability for a family of nonlinear semigroups Th()on Banach spaces Xh which dependent on a parameter h.Keywords. Stability projected spaces, Banach spaces.|||||||||||||||||||||||1. Introduccion . En la teora de sistemas dinamicos, un sistema es topologicamente estruc-turalmente estable si las propiedades topologicas del sistema dinamico permanecen iguales despuesde una perturbacion peque~na de la transformacion que dene la dinamica, es decir, el compor-tamiento cualitativo de las trayectorias no es afectado por perturbaciones peque~nas. Por ejemplo,los puntos jos y orbitas periodicas (pero no sus periodos).En el ambito de un semigrupo dinamicamente gradiente no lineal dentro de un espacio de Ba-nach jo, que posee un atractor global, si existe un numero nito de puntos de equilibrio hiperbolicodentro del atractor global, entonces todas las soluciones globales dentro del atractor tienden a unpunto de equilibrio cuando el tiempo tiende a +1 o  1, este hecho tambien previene la exis-tencia de estructuras homoclinas entre estos puntos de equilibrio ( [6, Teorema 1.5]). De manerageneral, esto tambien ocurre cuando cambiamos los puntos de equilibrio por conjuntos invariantesaislados ( [6, Teorema 2.13]). Si estas propiedades permanecen inalteradas bajo perturbaciones,decimos que son topologicamente estructuralmente estables. Esto signica que la dinamica dentrodel atractor global es robusta debido a las propiedades del semigrupo denido sobre el espacio deBanach jo. Una de estas propiedades, es la colectividad asintotica compacta, la cual nos dice quela sucesion de semigrupos que aparece debido a la perturbacion del semigrupo inicial tiene unasubsucesion convergente a un elemento en el espacio de Banach jo cuando el tiempo tiende a +1para elementos acotados del espacio.Este comportamiento de la estabilidad estructural topologica fue extendido para los semigruposgradientes, gracias al [1, Teorema 1.1]. En dicho artculo, prueban que los semigrupos gradientes ydinamicamente gradientes son equivalentes en un espacio de Banach jo.En este trabajo, vamos a probar que la estabilidad estructural topologica de los semigruposgradientes, T0(t) : X0 ! X0, con respecto a una coleccion nita S0 = f1;0; : : : ;p;0g de conjuntosinvariantes aislados sobre un espacio de Banach X0 ( [7, Teorema 5.26]), tambien es valido para elespacio de Banach Xh (de dimension nita o innita), para h 2 (0; 1]. Note que el semigrupo nolineal Th(t) : Xh ! Xh y el espacio de Banach Xh estan variando con respecto a cada h 2 (0; 1].IBILCE-UNESP (rodiak@ibilce.unesp.br).IBILCE-UNESP (german@ibilce.unesp.br).EDAN-US (langa@us.es).ICMC-USP, S~ao Carlos (ritis@icmc.usp.br).4344 Figueroa, Lozada, Langa and Arag~ao.- Selecciones Matematicas. 03(01): 43-46 (2016)2. Preliminares. Sea X un espacio metrico con distancia d : X X ! R:Definicion 1. Decimos que una familia fT (t) : t  0g de aplicaciones continuas del espacioX en s mismo es un semigrupo no lineal en X, o simplemente semigrupo si no hay riesgo deconfusion, cuando se cumplen las tres propiedades siguientes:(i) T (0) = I la aplicacion identidad del espacio X:(ii) T (t + s) = T (t)T (s); cualquiera que sea la pareja de numeros reales no negativos t y s(propiedad de semigrupo).(iii) La aplicacion [0;1)X 3 (t; x)! T (t)x 2 X es continua.Definicion 2. Decimos que un subconjunto A  X es invariante respecto del semigrupofT (t) : t  0g; o simplemente invariante, cuando para todo t  0 se tiene T (t)A = A:Proposicion 1. Un subconjunto A  X es invariante por T () si y solo si A es una union deorbitas globales de T () :Definicion 3. Dados A y B; subconjuntos no vacos de X; se dene la semidistancia deHausdor desde A hasta B comodist(A;B) := supa2Anfb2Bd(a; b) = supa2Ad(a;B);donde d(a;B) := nfb2Bd(a; b) es la distancia usual entre un punto y un conjunto, mientras que ladistancia simetrica de Hausdor entre A y B es denida pordH(A;B) := dist(A;B) + dist(B;A):Definicion 4. Se dice que un subconjunto A de X atrae a un subconjunto B de X, o que elsubconjunto B es atrado por el subconjunto A; por medio del semigrupo T () cuandolmt!1 dist(T (t)B;A) = 0:Definicion 5. Decimos que un subconjunto A de X es un atractor global para el semigrupofT (t) : t > 0g, si es un conjunto compacto, invariante por T () y atrae a todos los subconjuntosacotados de X por la accion de T ().Definicion 6. Sea fT (t) : t > 0g un semigrupo no lineal en un espacio metrico X y S :=f1;2;    ;ng una familia nita de conjuntos invariantes aislados.Diremos que fT (t) : t > 0g es un semigrupo gradiente generalizado respecto de la familiaS , cuando existe una funcion V : X ! R satisfaciendo las cuatro propiedades siguientes:(i) V : X ! R es una funcion continua.(ii) V : X ! R es no creciente a lo largo de soluciones, es decir, para todo x 2 X la funcionreal [0;1) 3 t! V (T (t)x) 2 R es no creciente.(iii) Si para algun x 2 X se tiene que V (T (t)x) = V (x) para todo t > 0, entonces x 2  paraalgun  2 S :(iv) V : X ! R es constante sobre cada subconjunto invariante aislado perteneciente a S; osea, para cada  2 S existe un numero real L = L() tal que V (x) = L cualquiera quesea x 2 :Una funcion V : X ! R que cumple estas cuatro propiedades se llama una funcion deLyapunov generalizada para T () asociada a la familia S.En el caso especial en que S = E := fz1 ; z2 ;    ; zng, el conjunto de puntos estacionarios deT (), se dice simplemente que T () es un semigrupo gradiente y la funcion V : X ! R asociada,una funcion de Lyapunov.Definicion 7. Sean fT (t) : t > 0g un semigrupo no lineal en un espacio metrico X y  unconjunto invariante por el. Se dene:(a) El conjunto inestable de  comoWu() := fx 2 X : existe  : R! X solucion global con (0) = xtal que lmt! 1 dist((t);) = 0g:(b) El conjunto estable de  comoW s() := fx 2 X : lmt!1 dist(T (t)x;) = 0g:Figueroa, Lozada, Langa and Arag~ao.- Selecciones Matematicas. 03(01): 43-46 (2016) 45Denotemos por N0, N00 subconjuntos innitos de N = f1; 2; 3;    g. Sean fXhgh2[0;1] una familiade espacios de Banach y fPhgh2(0;1] una sucesion de operadores lineales acotados Ph : X0 ! Xh,Ph 2 L (X0; Xh), h 2 (0; 1], con la siguiente propiedad:(2.1) kPhu0kXh h!0 ! ku0kX0 ; 8u0 2 X0:Usualmente, en las aplicaciones las Xh son de dimension nita; pero en la teora formal estahipotesis no es necesaria.Definicion 8. Decimos que una sucesion fuhgh2(0;1], con uh 2 Xh para todo h 2 (0; 1] esP convergente hacia u0 2 X0 si kuh   Phu0kXh h!0 ! 0. Denotemos uh P ! u0 para decir que lasucesion fuhgh2(0;1] P converge para u0 cuando h ! 0. De manera similar la P convergenciade sucesiones es denida: Una sucesion fuhngn2N de uhn 2 Xhn com hn n!1 ! 0, P converge au0 2 X0 sikuhn   Phnu0kXhnn!1 ! 0:Definicion 9. Se dice que una sucesion fAhgh2(0;1] de operadores Ah : Xh ! Yh PQ convergentehacia el operador A0 : X0 ! Y0 cuando h! 0, si Ahuh Q ! A0u0 siempre que uh P ! u0. Escribi-mos AhPQ ! A0 cuando h! 0 para denotar que Ah PQ convergente hacia A0.Definicion 10. Sea fTh(t) : t > 0gh2[0;1] una familia de semigrupos no lineares en Xh, parah 2 (0; 1]. Se dice que Th() PP ! T0() uniformemente en compactos de R+X0 si para cada  > 0y para todo subconjunto compacto D0 de X0 se tiene quelmh!0supt2[0; ]supu02D0kTh(t)uh   PhT0(t)u0kXh = 0siempre quelmh!0supu02D0kuh   Phu0kXh = 0:Definicion 11. Una familia de semigrupos fTh(t) : t > 0gh2[0;1] en el espacio de Banach Xh,para todo h 2 [0; 1], esP Colectivamente Asintoticamente Compacta si, para cada sucesionfhkgk2N en (0; 1] con hk k!1 ! 0, cada sucesion acotada fxkgk2N en Xhk y cada sucesion ftkgk2Nde numeros reales positivos con tkk!1 ! 1, la sucesion fThk(tk)xkgk2N tiene una subsucesionP convergente hacia un elemento en X0.3. Resultado Principal. En esta seccion presentamos el resultado principal de este trabajo.Teorema 1. Sea fTh(t) : t > 0gh2[0;1] una familia P colectivamente asintoticamente com-pacta de semigrupos no lineales en un espacio de Banach Xh, para todo h 2 [0; 1] y Th(t) PP ! T0(t),para todo t 2 K, con K subconjunto compacto de R. Supongamos que, se verican las siguienteshipotesis:(a) Para cada h 2 [0; 1], el semigrupo fTh(t) : t > 0g posee atractor global Ah con suph2[0;1] supxh2Ah kxhkXh <1.(b) Existe un natural p tal que para cada h 2 [0; 1], el semigrupo fTh(t) : t > 0g posee unafamilia disjunta de conjuntos invariantes aisladosSh := f1;h;2;h; : : : ;p;hg  Ahque se comportan P continuamente en h = 0; es decir, que para cada i = 1; 2; : : : ; p setienedistXh(i;h; Phi;0) + distXh(Phi;0;i;h)! 0 cuando h! 0;(c) El semigrupo fT0(t) : t > 0g es de tipo gradiente generalizado respecto de la familiaS0 = f1;0;2;0; : : : ;p;0g:(d) La familia de variedades inestables locales de i;h se comporta P continuamente en h =0, es decir, existe  tal quedistXh(Wu (i;h); PhWu (i;0)) + distXh(PhWu (i;0);Wu (i;h))h!0 ! 0:46 Figueroa, Lozada, Langa and Arag~ao.- Selecciones Matematicas. 03(01): 43-46 (2016)(e) Existe un 0 > 0 tal que, para todo h 2 [0; 1] y j = 1;    ; p; j;h es el invariante maximalpara el semigrupo Th() dentro de O0(Phj;0). Ademas, 0 es tal que los 0-entorno dePhj;0 son disjuntos.Entonces,1. la familia de atractores fAhgh2(0;1] es P semicontinua superior en h = 0 siempre que(a) sea valido;2. la familia de atractores fAhgh2(0;1] es P semicontinua inferior en h = 0 siempre que(a), (b), (c) y (d) sean validos; y3. existe un h0 2 (0; 1] tal que para todo h 2 [0; h0] el semigrupo fTh(t) : t > 0g contenidoen Xh es de tipo gradiente generalizado respecto de la familia Sh = f1;h;2;h; : : : ;p;hgsiempre que (a), (b), (c) y (e) sean validos. Consecuentemente,Ah =p[i=1Wu(i;h); 8h 2 [0; h0]:La demostracion de este resultado con todos sus detalles se encuentra en [2] ( Teorema 8).Referencias[1] Arag~ao-Costa, E.R.; Caraballo, T.; Carvalho, A.N.; Langa, J.A. Stability of gradient semigroups under per-turbations. Nonlinearity, v. 24, n. 7, p. 2099{2117, 2011.[2] Arag~ao-Costa, E.R.; Figueroa-Lopez, R.N.; Langa, J.A.; Lozada-Cruz, G. Topological structural stability ofpartial dierential equations on projected spaces. Journal of Dynamics and Dierential Equations,accepted 2016.[3] Arrieta, J.M.; Carvalho, A.N.; Lozada-Cruz, G. J. Dynamics in dumbbell domains I: continuity of the set ofequilibria. Journal of Dierential Equations, New York, v. 231, n. 2, p. 551{597, 2006.[4] Arrieta, J. M.; Carvalho, A. N.; Lozada-Cruz, G. J. Dynamics in dumbbell domains II: the limiting problem.Journal of Dierential Equations, New York, v. 247, n. 1, p. 174{202, 2009a.[5] Arrieta, J. M.; Carvalho, A. N.; Lozada-Cruz, G. J. Dynamics in dumbbell domains III: continuity of attractors.Journal of Dierential Equations, New York, v. 247, n. 1, p. 225{259, 2009b.[6] Carvalho, A. N.; Langa, J. A. An extension of the concept of gradient semigroup wich is stable under pertur-bations. Journal of Dierential Equations, New York, v. 246, n. 7, p. 2646{2668, 2009.[7] Carvalho, A. N.; Langa, J. A.; Robinson, J. C. Attractors for innite-dimensional non-autonomousdynamical systems, Applied Mathematical Sciences 182, Springer, New York, 2013.[8] Carvalho, A. N., Piskarev, S. A general approximations scheme for attractors of abstract parabolic problems.Numerical Functional Analysis and Optimization, New York, v. 27, n. 7/8, p. 785{829, 2006.[9] Vainikko, G. Approximative methods for nonlinear equations (two approaches to the convergence problem).Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, Oxford, v. 2, n. 6, p. 647{687, 1978.[10] Vainikko, G. Discretely compact sequences. USSR Computational Mathematics and MathematicalPhysics, v. 14, n. 3, p. 32{43, 1974.[11] Vainikko, G. Funktionalanalysis der diskretisierungsmethoden. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlagsge-sellschaft, 1976.[12] Vainikko, G. Multidimensional weakly singular integral equations. Berlin: Springer-Verlag, 1993.[13] Vainikko, G. Regular convergence of operators and approximate solution of equations. Itogi Nauki i Tehniki:Seriya Matematicheskii Analiz, Moscow, v. 16, p. 5{53, 1979.

Selecciones Matemáticas

Topological structural stability on projected spaces

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/11441/74638/1/Estabilidad%20estructural%20topologica%20sobre%20espacios%20proyectados.pdf

Topological structural stability on projected spaces

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla