Ausrichtung von thermischen und photovoltaischen Flachkollektore

Förster, Karl

Online Publikationen der Universität Stuttgart

Solaraufgang vs. Sonnenaufgang
Fu¨r K.Ch.T.
K.Fo¨rster
2.12.2011
Zusammenfassung
Der Bericht baut den in [1] entwickelten Gedankengang aus: aufbauend auf der Definition des
Sonnenaufgangs in Abha¨ngigkeit von Ort und Jahreszeit wird der entsprechende Vorgang fu¨r einen
Solarkollektor gegebener Neigung und Orientierung berechnet.
1 Sonnenaufgang und Sonnenho¨he
Wie die Skizze verdeutlicht, wird die Erde von der Sonne unter einem
Winkel η gegen die A¨quatorialebene angestrahlt; η schwankt auf der
Nordhalbkugel zwischen η =  zur Wintersonnenwende (22.Dezember =
Beginn des meteorologischen Jahres: Kalendertag d = 0) und η = − zur
Sommersonnenwende. Der Zahlenwert dieser sog. ”Schiefe der Ekliptik”
ist  = 23.50.
Die La¨ngen von Tag und Nacht sind also abha¨ngig von der Jahreszeit
(definiert durch den Tagza¨hler d) und der geographischen Breite ϕ (= 00
am A¨quator, 900 am Nordpol).
Zur Berechnung von η betrachten wir die Verha¨ltnisse in einem erdfesten Koordinatensystem: die x, y-
Ebene ist die Bahnebene der Sonne um die Erde: sie befindet sich fu¨r d = 0 am Ort x = −∞, y = z = 0,
sodaß ihre Strahlen die Richtungskosinusse ~St = [1, 0, 0] haben.
Die Erdachse ist unter dem Winkel  gegen die z-Achse geneigt und hat
damit die Richtungskosinusse ~EA = [sin , 0, 0].
Am Tag d (rot gezeichnete Teile der Skizze) ist die Sonne um den Winkel
δ = 2pi365d weitergeru¨ckt; ihre Strahlen haben jetzt die Richtungskosinusse
~St = [cos δ, sin δ, 0], und damit bestimmt sich nach den Rechenregeln der
Vektoralgebra der Winkel zwischen ~EA und ~St zu
cos(pi4 + η) = sin  · cos δ + 0 · sin δ + 0 · 0 ; sin η = sin  cos δ.
Mit dem nun fu¨r den d. Tag bekannten (und wa¨hrend dieses Tages in guter Na¨herung als konstant zu
betrachtenden) Winkel η berechnen wir jetzt in einem erdfesten Koordinatensystem mit der z-Achse in
Erdachsrichtung die Sonnenho¨he σ: diese ist das Negative (Blickrichtung entgegen der Strahlrichtung!)
des Komplementwinkels zum Winkel zwischen dem Lot (mit den Rich-
tungskosinussen ~Lot = [cosϕ, 0, sinϕ]) und der Sonnenstrahlrichtung am
Beobachtungsort zur Tageszeit t (rote Teile der unteren Skizze).
Zur Zeit t(in Stunden gemessen) ist die Sonne seit Mitternacht um den
Winkel τ = 2pi24 t weitergeru¨ckt und die Strahlen haben jetzt die Rich-
tungskosinusse ~St = [cos η cos τ, cos η sin τ, sin η]. Damit bestimmt sich
der Winkel pi4+σ zwischen ~Lot und ~St wegen cos(
pi
4+σ) = sin(−σ) zu
sin(σ) = −(cosϕ cos η cos τ + sinϕ sin η)
; σ(τ ; δ, ϕ) = arcsin (cosϕ cos η cos τ + sinϕ sin η) .
Bisher haben wir uns stillschweigend auf die Ortszeit tlok bezogen. Auf die jeweilige Zeitzone (hier die
mitteleuropa¨ische) bezogen muß die Abweichung des lokalen La¨ngengrads λlok von λMEZ beru¨cksichtigt
werden: es ist wegen λMEZ = 15 entsprechend der Zeitzonenla¨nge von 1 Stunde: tMEZ = tlok+1−λlok/15.
Zur Berechnung der Sonnenauf- bzw. -untergangszeit, die durch σ = 0 ; t = 12pi arccos(− tanϕ tan η)
charakterisiert ist, geht man aus Symmetriegru¨nden am besten auf den arcsin u¨ber und erha¨lt
tA = 6− 12pi arcsin(tanφ tan η) , tU = 18 + 12pi arcsin(tanφ tan η).
1
Jahresgang der Sonnenauf- und -untergangszeiten
fu¨r die (no¨rdliche) Breite ϕ = 47.00.
2 Der Solaraufgang
Der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs ist dadurch gekennzeichnet, daß die Sonnenho¨he σ null ist, die Son-
nenstrahlen also streifend u¨ber eine horizontale Ebene am geographischen Ort ϕ, λ laufen; ab dann wird
diese Ebene bestrahlt.
Wir definieren nun analog dazu den neuen Begriff Solaraufgang als den Zeitpunkt, an dem die Son-
nenstrahlen streifend u¨ber die Kollektorebene laufen; ab dann wird diese Kollektorebene bestrahlt: der
Kollektor erfu¨llt seinen Zweck.
Dieser Kollektor an dem durch ϕ, λ bestimmten geographischen Ort ist nun durch zwei weitere Variable
definiert: seine Elevation α gegen die Horizontalebene und den Schwenkwinkel β seiner Fußlinie gegen die
Ost-West-Richtung (positiv in Uhrzeigerrichtung).
Um die Solarho¨he σS zu berechnen, suchen wir jetzt denjenigen geographischen Ort ϕS , λS auf der
Erdkugel, in dem die Horizontalebene parallel zur Kollektorebene an unserem Ort ϕ, λ ist; man sieht
sofort, daß ϕS = ϕ− α und λS = λ− β sind.
Ein Zahlenbeispiel:
In Polling/Oberbayern mit ϕ = 47.00no¨rdl.Breite und λ = 11.120o¨stl.La¨nge stehe ein mit α = 340 gegen
die Horizontalebene hochgekippter Kollektor, seine Fußlinie sei nach Su¨dwesten orientiert: β = 450.
Daraus folgt ϕS = 170no¨rdl.Breite und λS = −33.880o¨stl.La¨nge = 33.880westl.La¨nge.
Auf dem Globus liegt dieser Referenzort westlich der Kanarischen Inseln, und die dortige Sonnenho¨he σ
ist genau gleich der Solarho¨he σS des Kollektors in Polling, diese kann also nach der o.a. Formel mit den
entsprechenden Parametern berechnet werden.
Zu beachten ist nur noch, daß die Kollektorebene nur dann bestrahlt wird, wenn in Polling Tag ist: σ ≥ 0!
Die Kurven fu¨r die Solarho¨he σS brechen also in dem Moment auf null herunter, in dem in Polling die
Sonne untergeht, auch wenn sie westlich der Kanaren noch am Himmel steht.
Bemerkung: Entsprechendes gilt, wenn die Fußlinie des Kollektors in Richtung Su¨dosten geschwenkt wird; dann erfolgt diese
Kappung der σS-Kurven am Morgen.
Die Abbildung zeigt das Rechenergebnis σ(ϕ, λ) und σS(ϕS , λS) fu¨r fu¨nf charakteristische Tage (von oben
nach unten): Sommersonnenwende, 15.April, A¨quinoktien, 15.Oktober, Wintersonnenwende.
Tagesgang der Sonnen- und Solarho¨he fu¨r ϕ = 47.00, λ = 11.120o¨L; α = 350, β = 450
Was die Nutzung solcher Berechnungen angeht, so ist es sinnvoller, statt der Solarho¨he den Prozentsatz
der auf eine zur Strahlrichtung senkrechten Fla¨che treffenden Leistung anzugeben, die die Kollektorfla¨che
trifft; dies ist einfach der Sinus der Solarho¨he: L/E = sinσS .
2
Die Abbildung zeigt dies fu¨r den gleichen Kollektor wie oben, und zwar fu¨r die Orientierungen Su¨dOst
(β = −450), Su¨d (β = 00) und Su¨dWest (β = 450); die Referenzorte liegen fu¨r die Su¨d-Orientierung
no¨rdlich des Tschad-Sees, fu¨r die Su¨dOst-Orientierung 400km o¨stlich des Horns von Afrika.
Tagesgang der Energienutzung fu¨r drei Orientierungsrichtungen
3 Jahresgang des Ertrags
Außer dem Tagesgang des Ertrags, L/E(t), interessiert auch der Jahresgang, L/E(d), insbesondere seine
Abha¨ngigkeit von den Auslegeparametern α und β.
Hierzu ist also L/E jeweils u¨ber einen Tag d zu integrieren, und zwar von tStart = max(tA, tAS) bis
tEnde = min(tU , tUS). Die beiden Abbildungen zeigen dies fu¨r zwei verschiedene geographische Orte ϕ, λ
und Kollektor-Orientierungen α sowie einer Auswahl verschiedener Neigungen β.
Jahresgang der Ertra¨ge L/E fu¨r den Ort Polling
3
Jahresgang der Ertra¨ge L/E fu¨r den Ort Fu¨rth
Literatur
[1] FO¨RSTER,T., Auswertung meteorologischer und heiztechnischer Daten mit dem Ziel optimaler
Sonnenenergienutzung. Bundeswettbewerb ”Jugend forscht” 30.April-4-Mai 1977 in Berlin, Pa-
tenschaft IBM Deutschland /Stuttgart, Fachbereich Physik.
Adresse des Autors:
Prof.Dr.-Ing.K.Fo¨rster, Georg-Ru¨ckert-Str.51, D-82398 Polling
eMail: karl.foerster@gmx.net
4


Solaraufgang vs. Sonnenaufgang

http://elib.uni-stuttgart.de/bitstream/11682/8825/1/solar0.pdf

Solaraufgang vs. Sonnenaufgang

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