La resolución de problemas de elasticidad lineal anisótropa, utilizando el formalismo de
Stroh, se basa en el conocimiento de los autovalores y autovectores de la matriz de
elasticidad fundamental N. En el presente trabajo se presenta el conjunto completo de
expresiones explícitas de dichos autovalores y autovectores para materiales
transversalmente isótropos. Puesto que el comportamiento de las láminas unidireccionales
de materiales compuestos fibrosos es típicamente transversalmente isótropo, los resultados
obtenidos permiten el análisis de problemas con este tipo de materiales. Se presentan
aplicaciones para uniones adhesivas entre metales y materiales compuestos.Ministerio de Ciencia y Tecnología PROFIT 2001Ministerio de Ciencia y Tecnología Proy. EUREKA Σ!1882Ministerio de Ciencia y Tecnología Proy. No. 2000-111

Barroso Caro, Alberto

Mantic, Vladislav

París Carballo, Federico

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

MATERIALES COMPUESTOS 03 819Expresiones explícitas de los autovectores ortonormalizadospara materiales transversalmente isótropos en el formalismo deStroh. Aplicación al análisis de singularidades en unionesadhesivasA. Barroso, V. Mantič y F. ParísEscuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla, EspañaRESUMENLa resolución de problemas de elasticidad lineal anisótropa, utilizando el formalismo deStroh, se basa en el conocimiento de los autovalores y autovectores de la matriz deelasticidad fundamental N. En el presente trabajo se presenta el conjunto completo deexpresiones explícitas de dichos autovalores y autovectores para materialestransversalmente isótropos. Puesto que el comportamiento de las láminas unidireccionalesde materiales compuestos fibrosos es típicamente transversalmente isótropo, los resultadosobtenidos permiten el análisis de problemas con este tipo de materiales. Se presentanaplicaciones para uniones adhesivas entre metales y materiales compuestos.1. INTRODUCCIÓNPara abordar el diseño y análisis de estructuras construidas con materiales compuestos(fibra larga y continua) se asume con frecuencia, en el marco de la teoría de la elasticidadlineal, un comportamiento transversalmente isótropo u ortótropo para los mismos. En elpresente estudio se va a considerar un comportamiento transversalmente isótropo para lasláminas unidireccionales de fibra.El objetivo final del presente estudio es analizar la estructura del campo de tensionessingulares que típicamente aparece en uniones adhesivas entre materiales compuestos ymetales, donde la estructura de apilado de los materiales compuestos da lugar a laaparición de puntos críticos - esquinas multimateriales - donde confluyen materiales dedistinta naturaleza. El formalismo de Stroh (Stroh, 1958, 1962), herramienta fundamentalpara el análisis de problemas de elasticidad anisótropa, se basa en el problema deautovalores de la matriz de elasticidad fundamental N (real, 6x6) del material bajo análisis,Ting (1996). Por eso, el primer objetivo del presente trabajo es deducir las expresionesexplícitas de los autovectores y autovalores, para materiales transversalmente isótropos,incluyendo todos los casos posibles de degeneración matemática. El conjunto completo deMATERIALES COMPUESTOS 03820expresiones explícitas de los autovectores normalizados se presenta en este trabajo porprimera vez para materiales transversalmente isótropos. Tanuma (1996) obtuvoexpresiones explícitas de la matriz de impedancia de superficie para estos materiales,obteniendo en algunos casos, como resultados intermedios, expresiones de los autovectoresde dichos materiales, aunque no para todos los casos posibles y además no se presentan"normalizados", propiedad importante en la estructura del formalismo.2. EL FORMALISMO DE STROHLa solución general en términos de desplazamientos, ui, y de la función de tensiones, ϕi,para problemas de elasticidad lineal anisótropa, bajo un estado de deformación planageneralizada (DPG en adelante) ( ),( 21 xxuu ii = , i=1,2,3), se puede expresar, para N simpleo semisimple, como:{ }∑=++=313 )()(ααααααα zfzf aau ,  { }∑=++=313 )()(ααααααα zfzf bbφ ,                   (1)donde 21 xpxz αα += , siendo pα los autovalores complejos de N. Las tensiones se obtienende 2,1 ii ϕσ −= , 1,2 ii ϕσ = . El vector [ ]TTT baξ ,= , con ( )Taaa 321 ,,=a  y ( )Tbbb 321 ,,=b , es unautovector de N, quedando el problema de autovalores: )6,...,1( == αααα ξNξ p . Para unaexplicación detallada del formalismo de Stroh y particularidades de expresiones análogaspara N no-semisimple, véase Ting (1996).3. MATERIALES TRANSVERSALMENTE ISÓTROPOS Y SISTEMAS DECOORDENADAS EN EL FORMALISMO DE STROHEn el presente trabajo, el sistema de referencia (xi, i=1,2,3) se fija a los ejes que definen elestado de DPG. Un material con comportamiento elástico transversalmente isótropo tieneun plano en el que todas las direcciones contenidas en él tienen las mismas propiedadeselásticas, o lo que es lo mismo, un plano de comportamiento isótropo. Definamos unsistema de coordenadas solidario al material ( ixˆ , i=1, 2, 3), con el eje 3xˆ  perpendicular aeste plano. En materiales compuestos fibrosos, con comportamiento transversalmenteisótropo, 3xˆ  coincide con la dirección de lafibra y es un eje de simetría elástica derotación. El tensor de constantes elásticas ijksCˆ(i,j,k,s=1,2,3) expresado en notación contraidaijCˆ  (i,j=1,...,6), en los ejes del material ixˆtoma la forma (2) (en la nomenclatura deTanuma, 1996). Las 5 constantes elásticas que−=)(000000000000000000000000ˆ21 NALLCFFFANFNACij    (2)MATERIALES COMPUESTOS 03 821definen el comportamiento elástico de un material transversalmente isótropo (A, N, C, F yL) deben cumplir las siguientes condiciones, que aseguran que la energía de deformaciónes definida positiva: 0)(,0 21 >−> NAL , 0>++ NCA  y 22)( FCNA >+ . Las matrices[ ]321 ,, aaaA =  y [ ]321 ,, bbbB =  y los autovalores pα para un material transversalmenteisótropo con una orientación genérica definida por los ángulos φ y θ respecto al sistema decoordenadas ix , ver Figura 1a, se pueden evaluar partiendo de las matrices A y B, y losautovalores del mismo material, asociados a una orientación φ y θ=0, ver Figura 1b y 1a,debido al hecho de que A y B se comportan como tensores de orden 1 girando alrededordel eje 3x , Ting (1982).a)Posición final deleje x3 respectodel sistema dedeformación planageneralizada xi^x2x1x3*x3 =θθθφb) x2*x1*x3*=φx2^Fig. 1 - Sistemas de referencia a) con φ  y b)θ genéricos y con θ =0Definiendo por simplicidad a estas matrices como A* y B*, las relaciones se expresan:*33 )()0,()(),( AΩAΩA θφθθφ == , *33 )()0,()(),( BΩBΩB θφθθφ == ,             (3)4. EXPRESIONES ORTONORMALIZADAS DE A Y BCentrando, por las razones anteriormente expuestas, el estudio en materiales conorientación 0=θ , los tres autovalores del material, en función del ángulo φ y lasconstantes elásticas del material, quedan:21221 sin2cos −+= φφ NALip ,                                              (4)( )[ ] 2121)())2((2sincos 222222  −+−+−−+=ALFACLFACFLFACip φφ ,       (5)( )[ ] 2121)())2((2sincos 222223  −+−−−−+=ALFACLFACFLFACip φφ .       (6)Siguiendo la clasificación de Ting (1999) de la matriz N, y en función de los valoresconcretos de φ y A, N, C, F y L, los siguientes casos son posibles (Tanuma 1996):1. N es no-semisimple si y sólo si:1.a) φ=0 o φ=±π, (7)MATERIALES COMPUESTOS 038221.b) 02 =−− LFAC ,   1.b.1) ACNAL ≠−2 ,   1.b.2.) ACNAL =−2 . (8)2. Con φ≠0, π y 02 ≠−− LFAC , N es semisimple si y sólo si:02)2(2 22=+−−−−− CLNALFLFACNALAL .                                (9)3. En cualquier otro caso, N es simple.En lo que sigue, a* y b* definen las componentes de A*=A(φ,0) y B*=B(φ,0). Sólo esnecesario aplicar el giro recogido en las relaciones (3) a las matrices A* y B*, para obtenerA(φ,θ) y B(φ,θ).Caso 1.a. (φ=0 o φ=±π). Se cumple: ipppp ==== 321  con dos autovectores linealmenteindependientes asociados. Para este caso particular, las expresiones de a* y b* quedan:=iL2100*1a ,  ±=01*2 ika ,  −+−=01)(23*3iNANAkma ,                             (10)=iLiL200*1b ,  −±−=01)(*2iNAkb ,  −± −=012*3 iNAkb ,                         (11)El signo ± depende del valor de cosφ=±1 y se define 0)(421>−+=NAANAk .Caso 1.b.1 ( 02 =−− LFAC  y ACNAL ≠−2 ). Los autovalores (22-24) son:21221 sin2cos −+= φφ NALip ,  212232 sincos  +== φφACipp .                  (12)Para este caso sólo existe un autovector linealmente independiente asociado a 32 pp = . Losautovectores una vez normalizados son:−=φφφsincoscos11*1 pka ,  =0122*2 pka ,  ∆−∆++= φφφφsincos4cos4)(sin2 222222222*3AppApLFpka                 (13)[ ]−−−−=1)1(2cot1)(cos221111*1φφφtgpppNAkb ,  +−−=2122212*211cot1)(pppNApkφb ,          (14)MATERIALES COMPUESTOS 03 823 +∆+− +−+−+−=)2(2)1(sincot)(2sincos)(2sincossin)()(2221222221222222122222*3AppApLFpAppLFpApLFNAkφφφφφφφb ,                          (15)Lpik2sin11 φ= ,  ALLFpik +=22 2,  2222 sincos ApLA −+=∆ φφ .                    (16)Caso 1.b.2 ( 02 =−− LFAC  y ACNAL =−2 ). En este caso, 1p  se hace igual a 32 pp = ,ver (4)-(6), de manera que aparece un autovalor triple con dos autovectores linealmenteindependientes asociados. Este caso es como el Caso 1a, con la diferencia de que en estecaso el autovalor triple no es la unidad imaginaria i.2122321 sin2cos −+==== φφ NALipppp ,                                 (17)−=φφφsincoscos1*1 pka ,  [ ]−−−−=1)1(2cot1)(cos221*1φφφtgpppNAkb ,                     (18)=012*2 pkka ,   +−−=222*211cot1)(pppNAkpkφb ,                                 (19)−Ψ− ++Ψ=φφφsin2cos211cos 22*3 pppka , +++ −+− −−+− −=AppLNApNAALNANAALpNApNAk4sin)1()(sin2cos4sin)(cos2cos4sin)(cos22222*3φφφφφφφφb ,            (20)φφcos2sin2ApLNANAk −+= ,Lpik2sin11 φ= , NANAALik +−= )(sincos22 φφ , φφcos4)(sin)3(22ApNALNA−−=Ψ    (21)Casos 2.1 y 3.1 (Casos simple y semisimple con 0=+ LF ). Para los casos simple( 1321 pppp ≠≠≠ ) y semisimple ( 321 ppp ≠= ), se tiene respectivamente:212221 sin2cos −+== φφ NALipp ,  21223 sincos  += φφALip .                   (22)21221 sin2cos −+= φφ NALip ,21222 sincos  += φφLCip ,21223 sincos  += φφALip     (23)MATERIALES COMPUESTOS 03824Y para ambos casos, utilizando (22) ó (23), según corresponda:−−=φφφtgpk 121*1 11sincosa ,  −+−−=φφφφφsincos2)21(cos1sincos)(121212121*1ppppNAkb ,               (24)−=φφcos0sin2*2 ka ,  −−=φφφcossinsin222*2LpLLpkb ,                                          (25)=φφφcossincos323*3 pka ,   −−− −−=1cos2cot12)(cos212332123*3pppNApkφφφb ,         (26)Lpik2cos11 φ= ,  22 21Lpk = ,  Lpik33 2sinφ= .                            (27)Casos 2.2 y 3.2 (Casos simple y semisimple con 0≠+ LF ). Los autovalores son los de(4)-(6), con 21 pp =  para el caso semisimple. Los vectores *αa  y *αb  se pueden obtener deTing (1996) o Tanuma (1996) y tras la normalización, se obtiene, con Lpik2cos11 φ= :−−=φφφtgpk 121*1 11sincosa ,  −+−−=φφφφφsincos2)21(cos1sincos)(121212121*1ppppNAkb ,              (28)y para i=2,3, con:( ) 21)2(sin2}sin2)(cos){(cos2 422222 −+−+++= LFFLpLpApALpk iiiii φφφφ ,       (29)−+−+−+−++++−=φφφφφφφφφφφφ22223222*sincos)(coscossincos)(sin)(sin)(cossinsincos)(LpALFpLFLpALFkiiiiia ,                  (30)[ ]−−++−−−++−−−−+−−=)cossin(cossincos))((sinsincos})({)cossin(sinsincos))((22222222222*iiiiiiiiiApAFLppLFNAALpFLNLFAFApAFLppLFNAkφφφφφφφφφφφφφb .        (31)Una vez evaluados A* y B* para todos los casos posibles en un material transversalmenteisótropo, sólo queda aplicar la ley de giro alrededor de 3x , usando (3), para obtener lasexpresiones finales de A=A(φ,θ) y B=B(φ,θ) para cualquier orientación genérica delmaterial respecto a los ejes que definen el estado de DPG.MATERIALES COMPUESTOS 03 8255. APLICACIÓN: ANÁLISIS DE SINGULARIDADES EN UNIONES ADHESIVASEn uniones adhesivas entre materiales compuestos y de éstos con metales, uniones quetípicamente aparecen en la industria aeronáutica, existen numerosos ejemplos de esquinasmultimateriales con materiales transversalmente isótropo (las láminas unidireccionales delos laminados). Se presenta el análisis del estado singular de tensiones que se induce eneste tipo de esquinas, utilizando los resultados previamente obtenidos.El campo de desplazamientos y tensiones se puede obtener de (1), sin más que calcular aαy bα y los órdenes de singularidad en tensiones. Para la obtención de los órdenes desingularidad en tensiones δ-1 ( )(),( 1 θθσ δ ijij frr −≈ +→ 0r ) en el entorno de esquinasmultimateriales anisótropas, se va a hacer uso de una herramienta de cálculo, desarrolladapor los autores del presente trabajo, Barroso et al. (2002) que necesita del conocimiento deaα y bα, que se van a tomar del presente estudio. Consideremos (Figura 2) una unión asolape simple entre un metal y un material compuesto. El compuesto tiene tres láminas deorientaciones (0º,45º,90º) y se une al metal mediante una capa de adhesivo. Los círculosindican las esquinas multimateriales.90o dirección de la fibrax3x1x2Adherente metálicoMaterialCompuesto        Adherente metálicoMaterial Compuesto90o45o0oAdhesivoFig. 2 - Unión adhesiva entre un metal y un material compuestoLas constantes elásticas del compuesto (un AS4/8552) con la fibra en la dirección 1, se hanconsiderado transversalmente isótropas: E11=141 GPa, E22=E33=E=9.58 GPa, ν12=ν13=0.3,ν23=ν=0.32, G12=G13=5 GPa, G23=E/2(1+ν)=3.629 GPa. Para el metal (aluminio) E=68.6GPa y ν=0.3, y el adhesivo E=3 GPa y ν=0.3. Desde el punto de vista del tratamientomatemático del problema, existe una gran diferencia entre considerar las láminastransversalmente isótropas u ortótropas (con una G23 ligeramente diferente a la del casotransversalmente isótropo), puesto que en el primer caso, la lámina orientada a 0º (según ladirección x3) sería un caso degenerado (caso 1.a, con φ=0) mientras que en el segundo seríaun caso simple (caso 3.1). En la Figura 3 se presentan los órdenes de singularidad entensiones de una esquina tri-material del esquema de la Figura 2.MATERIALES COMPUESTOS 0382600.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10 10 20 30 40 50 60 70 80 90φReReIm Rex2x1x3φφφ0ºφ 1−δ 0º 0 10º 0.0532816 ± 0.00222833 i 20º 0.00922223 ± 0.0075044 i 30º 0.0146046 ± 0.010804 i 40º 0.0213159 ± 0.00392423 i 50º 0.0470748, 0.0104001 60º 0.0661068, 0.0410502 70º 0.0817215, 0.00410502 80º 0.092199, 0.00224818 90º 0.0959142 Fig. 3 - Problema de esquina con material transversalmente isótropoSe puede apreciar en la Figura 3, que para φ=0º, no existe formalmente una esquina, por loque no se obtienen singularidades, después aparecen dos modos singulares hasta φ=5.5º,que se transforman en una pareja de valores complejos conjugados, hasta φ=40.5º.Finalmente aparecen de nuevo dos valores reales hasta la configuración cross-ply (0º-90º),donde se obtiene sólo un modo singular.6. CONCLUSIONESSe han obtenido expresiones explícitas para los autovectores de la matriz de elasticidadfundamental N para todos los casos de materiales transversalmente isótropos en el marcodel formalismo de Stroh, sin limitación en el valor de las constantes elásticas ni laorientación del material. En todos los casos, los resultados han sido ortogonalizados ynormalizados para cumplir las importantes relaciones de ortogonalidad de Stroh. Losresultados son directamente utilizables en la resolución de cualquier problema deelasticidad lineal anisótropa usando el formalismo de Stroh, donde la representación de lasvariables se realiza en los ejes definidos por el estado de deformación plana generalizada(Ting, 1996), lo que es típico en los problemas ingenieriles. Finalmente, como aplicaciónpráctica, los órdenes de singularidad de tensiones se han obtenido en el entorno de unaesquina con materiales transversalmente isótropos, en una unión adhesiva a solape simple.AGRADECIMIENTOSLos autores agradecen a K. Tanuma, el envío de copia de su trabajo. El estudio estáfinanciado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología (PROFIT 2001, Proy. EUREKAΣ!1882) y (Proy. No. 2000-1115). También se agradece la ayuda recibida por SACESA.REFERENCIASBARROSO, A., MANTIČ, V. Y PARÍS, F., (2002) Singularity analysis of anisotropicmultimaterial corners, Int. J. of Fracture, (aceptado para su publicación).STROH, A.N., (1958), Dislocations and cracks in anisotropic elasticity, Phil. Mag. 3, pp.625-646.MATERIALES COMPUESTOS 03 827STROH, A.N., (1962), Steady state problems in anisotropic elasticity, J. Math. Phys. 41,pp. 77-103.TANUMA, K., (1996), Surface-impedance tensors of transversely isotropic elasticmaterials, Q. J. Mech. Appl. Math. 49, pp. 29-48.TING, T.C.T., (1982), Effects of change of reference coordinates on the stress analyses ofanisotropic elastic materials, Int. J. Solids Structures 18, pp. 139-152.TING, T.C.T., (1996), Anisotropic Elasticity - Theory and Application, Oxford UniversityPress, New York.TING, T.C.T., (1999), A modified Lekhnitskii formalism à la Stroh for anisotropicelasticity and classifications of the 6×6 matrix N, Proc. R. Soc. Lond. A 455, pp.69-89.

Expresiones explícitas de los autovectores ortonormalizados para materiales transversalmente isótropos en el formalismo de Stroh. Aplicación al análisis de singularidades en uniones adhesivas

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