Hudetz, Antal

Monos, Emil

Hudetz Antal

Monos Emil

University of Szeged

- 311 -Semmelweis Orvostudományi Egyetem Kísérleti Kutató Intézet Az érfal nemlineáris viszkoelasztikus tulajdonságainak model lezése Hudetz Antai és Monos Emil Bevezetés Az erek mechanikai modellezésének fontosságát számos in- . dok támasztja alá (4). P l . : 1.) A vérkeringés dinamikáját kellő hűséggel tükröző' matematikai modell felállításához az ereket -mint rendszerelemeket - is modelleznünk kell . 2 . ) Az érfal mecha-nikai jellemzó'inek kóros megváltozásait vizsgálva közelebb jutha-tunk a különböző' érbetegségek, így az arteriosclerosis pathomecha-nizmusának tisztázásához. 3 . ) Érprotézisek tervezésekor fontos a mechanikai jellemzó'k egzakt megadása, hogy a lokális haemodina-mikai viszonyoknak megfelelő' anyagi minó'ségü póteret lehessen ké-szíteni. A nagyerek fala - hasonlóan a legtöbb biológiai szövethez -viszkoelasztikus, azaz idő'- és frekvenciafüggő' mechanikai viselke-dést mutat. Az érfal ezenkívül viszkoelasztikus tulajdonságaira néz-ve anizotróp és nemlineáris, amit figyelembe kell vennünk a felál l í-tandó mechanikai modellben. Mechanikai modellen a falfeszültségek és a deformációmennyiségek kapcsolatát kifejező' összefüggéseket, az un. alapegyenleteket értjük, melyek a viszkoelasztikus tulajdonságo-kat jellemző' anyagi paramétereket, függvényeket, vagy modulusokat tartalmazzák. Sok esetben az alkalmazásokhoz elegendő', ha a visz-koelasztikus jellemzó'ket az érfal egy előzetesen deformált állapotá-ban kis deformációkra meg tudjuk adni. Ezen kisdeformációs anyagi jellemzó'k az un. inkrementális modulusok (1). E modulusok az érfal nagy deformációira is érvényes nemlineáris modellből lényegében munkaponti Iinearizálással nyerhetők. A periodikus terhelés, vagy de-formáció esetén mutatott viszkoelasztikus tulajdonságok vizsgálatakor célszerű mind a nemlineáris, mind az inkrementális alapegyenleteket a frekvenciatartományba transzformálni. Az időfüggő modulusok és a-nyagí függvények szerepét ekkor a frekvenciafüggő komplex modulu-sok és anyagi függvények veszik át. - 312 -Korábban megmutattuk (3), hogy bizonyos feltételek teljesü-lése esetén (homogén, hangeresen ortotróp, inkompresszíbilis érfal , állandó érhossz) a nagyerek viszkoelasztikus tulajdonságainak model-lezésére a viszonylag egyszerű Stafford-féle polinomiólis alapegyen-letek alkalmazhatók. Jelen dolgozatban a nemlineáris viszkoelaszti-kus elmélet komplex modulusait tárgyaljuk általános esetben, és a Stafford-féle közelítésekben mind nemlineáris nagy deformációk, mind inkrementái is deformációk esetére. Nemlineáris alapegyenletek és modulusok Tegyük fel,, hogy az érfal homogén, inkompresszíbilis, henge-resen ortotróp (1,4) és hossza állandó. Fiziológiás tipusu terhelés ha-tására (belsó' nyomás, axiális húzás) csak normál feszültségek lépnek fel (T : radiális, T^: tangenciális, T^: radiális) a hengerszimmetrikus érfalban. Az érfal viszkoelasztikus funkcionál-alapegyenletei ekkor formálisan a következők: T e ( t ) - T r ( t ) = r [ £ ( f ) ] , T z ( o - / ( o = ¿ [ t e n ] , 7 1 / ahol £ a Langrange-féle tangenciális vagy radiális nyulásmérték, ^ és & pedig két nemlineáris funkcionál, melyek a ( - o o , t ) interval-lumon vannak értelmezve, és t a megfigyelés időpontja. Az / l / a-lapegyenleteket végtelen integról-polinomiális alakban is felírhatjuk (3): T(t) = [ $ ^ í ( t -s 1 ) ds 1 4 - | j ' ( }> 2 ( s 1 , s 2 ) £ ( t -s 1 ) £ ( t -s 2 ) ds 1 ds 2 + 0 0 + . . . / 2 / ahol T(t) az / l / baloldalán szereplő feszültségkülönbségek egyikét jelenti. A (J> feszültségrelaxációs függvények a viszkoelasztikus anya-gi tulajdonságokat jellemzik. A relaxációs függvények egy oldalas Fourier transzformáltját a következőképpen definiáljuk: - 313 -Oo OO f n ( u ) y 00 2 , . . . /<JÜ n ) = J . . . J<j> / S 2 ' * * • 'S N )E XP S1 + + u j + . . . + c ü s ) ds,ds0 . . .ds 2 2 n n 1 2 n / 3 / Ha az €• (t) deformáció időben periódikus, akkor N db o j . . . , c o ^ harmonikusra bontható, azaz: N N , + k=l k=l S (t)-t /2/-be helyettesítve, / 3 / felhasználásával az alapegyenlet a következő alakban irható: N N T(t) = Z H E 1 ( c o f < ) £ | < ( t ) + I I ] E 2 ( co k , c u ) £ k ( t ) £ t ( t ) + k=l k=l ahol Fn ( to j*(JÜ2' • • • / u > n ) ~ ' co^ u> 2 . . . u>n ^ (UJ^/a> 2 , . . . , IO^) / V / 5 / az n-ed rendű komplex modulus. (/5,/-ben az u j - k nem azonosak a /4/-beli harmonikusok frekvenciájával!) Periódikus gerjesztés esetén tehát a komplex modulusok teremtenek közvetlen kapcsolatot feszült-ség és deformáció között. A /2/-ben szereplő többváltozós relaxációs függvények kikü-szöbölésére Stafford (6) három egyszerűsítést vezetett be. A relaxációs függvényeket 1.) lineáris kombinációval, 2 . ) nemlineáris szuperpozícióval, vagy 3. ) szorzatalakban állította elő uj egyváltozós relaxációs függvényekből /3/. E feltevések bevezetésével / 5 / a következő alakokat ölt i : E ( U J , , c o , / • • • / O J ) - — n 1 Z n n E * " ( W l ) + EE ( u j J + . . . + E b ( i o ) n I n 2 n n S S E (uu i /uu 0 , . . . , a> ) = E (u;. + UJ +. . .+UJ ) n I 2 n n I Z n / 6 / E ( u j , / U J 0 , • . . , UJ ) — -n i z n E H u j ) E ^ ( o o J . . . E H t o ) n l n Z n n 1/n - 314 -ahol E ( c o ) = i 00 f ( 0 0 ) n ' n E S ( c o ) = i GO f (GU ) n > n < ( - ) = [ » « f Y" ( « " ) ] " / 7 / uj egyváltozós komplex modulusok. Az L , S, P betűk a linearitás (L), szuperpozíció (S) és szorzat (P) közelítésekre utalnak. / 6 / be-helyettesítésével / 4 / a következőképpen alakul: N N T ( 0 = C E , ( u ) k ) e k ( t ) + Y Z E j í w k ) 6 k ( t ) d t ( t ) + . . . k=l k , t= l N N T(t) = H ] E ^ « o k ) £ k ( t ) + C Z e ^ + u ^ M £ t ( t ) + . . . / 8 / k=l k / = l N N 1/2 T(0 = Z Z E , ^ ) £ k ( 0 + I Z E ^ i o ^ E ^ ) £ k ( t ) £ t ( t ) + . . . k—1 k,t~*l A Stafford-féle közelítések felhasználósával tehát a nemline-áris alapegyenletek egyváltozós komplex modulusokkal is fel írhatók. Egyetlen harmonikus esetén mindhárom / 8 / egyenlet azonos alakra egyszerűsödik: T(t) = E . (go ) 6 (t) + E ( u j ) £ (t) + E_(o j ) £ ( t ) 3 + . . . . / 9 / Ha a deformáció kicsi, azaz £ (t) 1, akkor a /2/ , /4/ , / 8 / és / 9 / egyenletekben az £. -ban elsőnél magasabb rendű tagok elhanyagolhatóak, és igy a klasszikus lineáris elmélet megfelelő' egyen-leteit kapjuk. - 315 -Inkrementális alapegyenletek és modulusok Tekintsük a következő £ kezdeti- és A £ (t) ¡nkremen-o tális megnyúlásból összetett deformáció történetet: £ (t) = £ h ( t - a ) + A £ (t) , o ahol A . £ (t) « 1 és £ (t) = 0, ha t á 0. h(t) az egységug-rás függvény. £ (t)-t /2/-be helyettesítve, £ (t)-ben csak az elsőrendű tagokat megtartva és a —» - c*=> esetén / 2 / így a lakul : t ¿ ( t - s ) d s , inc AwT(t) = ahol 0 A i ( t ) = t(t) - cj3 ( o o ) £ 4> ^ - . . . , I o Z o o o < h , J S ) = ^ + 2 6 + <J> + . . . . ' inc I o z o 1 o Itt . (s) az un. inkrementális relaxációs függvény, vagy modulus. N harmonikusból álló periódikus gerjesztés esetén Fourier transzformá-cióval kapjuk, hogy k=l ahol E. (u_> ) = i uo f . ( to ) inc 1 inc = i c o f ^ M + 2 £ o f 2 ( - , c o ) + 3 £ ^ f ) + . . . ] az inkrementális komplex modulus. Megjegyezzük, hogy a relaxációs függvények itt csak az utolsó változójuk szerint vannak transzformál-va. Ha nincs kezdeti deformáció, azaz £ = 0, akkor o f . = f . és E. = i uu f , , tehát 1 inc 1 1 inc 1 1 - 316 -a polinomiális elmélet elsó' rendű közelítését kapjuk. Inkrementá-lis deformációk esetén, azaz amikor £ / 0, a magasabb rendű relaxációs függvényeket is figyelembe kell venni. A Stafford-féle feltételek bevezetésével az inkrementális komplex modulus következő' kifejezései nyerhető!«: E!" ( co ) = £ <f> ( « > ) + 2£2<j>_(~>) + . . . inc o Z o J + i cujf^uj)+ e0f2(w) +e2o f3(«o) +...] E ^ c ( c o ) = ?uu[f1(uo) + 2 £ o f 2 ( c o ) + 3 £ ^ f 3 ( u u ) + . . . ] , / l l / E L ( w ) = ^ [ f ^ w ) + 2 £ o f 2 / 2 ( o o ) : p 1 2 / 2 ( u , ) + Összefoglalás A fentiekben megmutattuk, hogy a polinomiális viszkoe-lasztikus alapegyenletek elvileg alkalmazhatók homogén, inkomp-resszibilis, hengeresen ortotróp erek mechanikai tulajdonságainak modellezésére. Nem vettük figyelembe az analízisben, hogy az érfal élő' szövet, az ezzel kapcsolatos problémákkal azonban másutt már foglalkoztunk (2,3). Bevezettük a többváltozós komplex modulusokat, melyek segitségével a nemlineáris viszkoelasztikus tulajdonságok tetszőle-ges periódikus gerjesztés esetén jellemezhetők. A kisdeformációs viszkoelasztikus viselkedés leírására az inkrementális relaxációs és komplex modulusokat definiáltuk. Az inkrementális modulusok explicite függenek a kezdeti deformációtól és a nemlineáris me-chanikai tulajdonságokat leiró magasabb rendű relaxációs függvények-től. - 317 -A Stafford-féle közelítések bevezetésével az alapegyenletek egyváltozós viszkoelasztikus anyag? függvényekkel írhatók fel mind nemlineáris, mind inkrementális esetben. Az egyváltozós relaxációs függvények kísérletileg egyszerűen meghatározhatók (3). Igy a relaxációs függvények / 3 / szerinti Fourier transzformóltjait előálllt-va a nagydeformációs és inkrementális komplex modulusok / 6 / é s / 7 / ¡11. / I I / összefüggések alapján kiszámíthatók. Vibrációs tesztek al-kalmazásával a komplex modulusok /4/ , /8/, /10/ szerint közvet-lenül is meghatározhatók (5). Az előbbi módszer kis (<< 1 Hz), az utóbbi nagyobb frekvenciákon lehet előnyös. I r o d a l o m (1) Hudetz A . : Kontinuummechanikai módszerek az érfal reológiai tulajdonságainak vizsgálatában. Mérés és Automatika, 25, 377-382, 1977. (2) Hudetz A . , Szutrély J . , Monos E . : Nagyartériák nemlineáris anizotrop rugalmassági tulajdonságainak modellezése. 7. Neumann Kollokvium, Szeged, 193-212, 1977. (3) Hudetz A . , Szutrély J . , Monos E. : Nemlineáris viszkoelasztikus érfal-modellek. IV. Orvostechnikai Konferencia, Bu-dapest, 232-233, 1977. (4) Monos E . : A nagyartériák biomechanikai tulajdonságai. A Bioló-gia Aktuális Problémái 9. 73-131, Medicina, Budapest, 1977. (5) Monos E . , Cox, R . H . , Peterson, L .H . : Fiziológiás dózisu argi-nin-vasopressln direkt hatása az artériafalra in vivo. Kísérletes Orvostudomány 29, 366-375, 1977. (6) Stafford, R . O . : On mathematical forms for the material functions in nonlinear viscoelasticity. J . Mech. Phys. Solids 17, 339-358, 1969. 

Az érfal nemlineáris viszkoelasztikus tulajdonságainak modellezése

http://acta.bibl.u-szeged.hu/45912/1/szamtech_orvost_koll_008_311-318.pdf

Az érfal nemlineáris viszkoelasztikus tulajdonságainak modellezése

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

University of Szeged