Sachs, Horst

Sachs Horst

University of Szeged

3 0 9 Einfacher Beweis des Frobeniusschen Fundamentalsalzes der Gruppentheorie für den Fall eines quadratfreien Exponenten Von HORST SACHS in Halle/Saale (Deutschland) Professor L. Red ei zum 60. Gebuitstag geividmet Der Satz von FROBENIUS besagt in seiner ursprünglichen Fassung: Es seien © eine endliche Gruppe der Ordnung g, n ein Teiler von g. Dann gilt: Die Anzahl N der Elemente X von ©, welche der Gleichung X'"= 1 geniigen, ist durch n teilbar. Die bekannten Beweise sind, verglichen mit der einfachen Aussage des Satzes, recht kompliziert und wenig befriedigend. Es ist daher wohl der Mühe wert, nach neuen Beweismotiven zu suchen.1) Im Folgenden wird mittels elementar-kombinatorischer Methoden ein schwächerer Satz bewiesen, welcher immerhin im Falle eines quadratfreien Exponenten n dasselbe aussagt wie der Satz von FROBENIUS. * S a t z . Es seien © eine endliche Gruppe der Ordnung g, 11 ein Teiler von g, p ein Primteiler von n. Dann gilt: Die Anzahl N der Elemente X von @, welche der Gleichung (1) = 1 geniigen, ist durch p teilbar. Folgerung. Ist n quadratfrei, so gilt: N ist durch n teilbar. B e w e i s . Die Gleichung n (2) F * = 1 habe in © genau die r Lösungen F i , . , . , Yr (es ist r 1 , weil Y= 1 eine I ) Man vergleiche auch H, ZASSENHAUS, Lehrbuch der Gruppentheorie. I ( L e i p z i g -Berlin, 1937 (Nachdruck 1948)), Seite 26: „Der folgende Satz [von F R O B E N I U S ] ist noch nicht In befriedigender Weise in einen größeren Zusammenhang gefügt." 3 1 0 1-1. S a c h s : F r o b e n i u s s c h e r r u i u l a m e n l a l s a l z Lösung von (2) ist). Die Gesamtheit der Lösungen X von (1) stimmt übereiiT mit der Gesamtheit derjenigen X von welche einer der Gleichungen X"- - Y0 ( P = l ,...,/•) genügen. Es durchlaufe Ai ( / = 1 , ...,g) die sämtlichen Elemente der Gruppe ©. Wir betrachten die Gesamtheit der geordneten (p—l)-tupel A . . . / , . , = M ' i ' • • ^'p-1)> wo die Indizes unabhängig voneinander die Werte 1 ,...,g durchlaufen; ihre Anzahl ist g1'-1. Zu jedem solchen (p—l)-tupel sind durch die Bedin-gungen AilAi2...Aij)__lAip=Ye(Q=\,...,r) genau r verschiedene (von 7 V und o abhängende) Elemente Aip bestimmt. Wir betrachten nun die Menge Sic der so entstandenen geordneten /Mupel {A^,..., Ai]t}; sie sind paarweise verschieden, ihre Anzahl ist M = r-gp~1. In sind alle geordneten p-tupcl {Aj,,..., A^} und nur solche mit der Eigenschaft Ah...Aßp=Y9 (?=1,...,/) enthalten. Die Anzahl N ist offenbar gleich der Anzahl derjenigen /»-tupel von die lauter gleiche Elemente enthalten; diese bilden eine Untermenge Sft von 9TC. Wir haben plr-g*-1 = M = N+ (M—N); können wir nun zeigen, daß p\M—N, so folgt p\N, und das ist gerade die zu beweisende Behauptung. M—N ist die Anzahl der /?-tupel von SOi — 91, also die Anzahl der-jenigen /7-tupel von 9K; welche mindestens zwei verschiedene Elemente ent-halten. Durch zyklische Umordnung der Elemente eines /?-tupels von —9i n entstehen wieder /7-tupel von 9J£—dt, denn aus Ai,... Aip = Y mit yv = 1 n folgt AipA-h ... Aiv A -- Aip YA^ = Z mit Zl'= \ usw.; auf diese Weise ge-winnen wir aus einem /?-tupel von Wt—9i genau p offenbar paarweise verschiedene /»-tupel von —91. Die Menge —91 zerfällt so in (element-fremde) Klassen zyklisch-äquivalenter /7-tupel, deren jede genau p /?-tupel enthält. Folglich ist M—N durch p teilbar. Das war -zu zeigen. (Eingegangen am 14. April 1960) 

Einfacher Beweis des Frobeniusschen Fundamentalsalzes der Gruppentheorie für den Fall eines quadratfreien Exponenten : Professor L. Red ei zum 60. Gebuitstag geividmet

http://acta.bibl.u-szeged.hu/29484/1/math_021_fasc_003_004_309-310.pdf

Einfacher Beweis des Frobeniusschen Fundamentalsalzes der Gruppentheorie für den Fall eines quadratfreien Exponenten : Professor L. Red ei zum 60. Gebuitstag geividmet

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

University of Szeged