Bálint, József

Hungarian

Bálint József

University of Szeged

A DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG TULAJDONSÁGAI (5. osztály) Témakör: A háromszög. Oktatási cél: A háromszög és a derékszögű háromszög fogalmának kialakítása: olda-lak nagysági viszonya, a szögek összege. Nevelési cél: Ismeretek önálló megszerzésére való ösztönzés tanulói tevékenységek szervezésén és irányításán keresztül. Szemléltető eszközök: Hurkapálcikák, négy-zetlapok, téglalapok, rajzok. A tanítás menete: • Az eszközök ellenőrzése: téglalap, négyzet, derékszögű vonalzó, olló. (Téglalap átellenes csúcsainál levő szögei pirosra, illetve kékre színezve!) Mivel új ismeret szerzése az óra súlyponti feladata, a számonkérés az aktuális ismétlés funkcióját tölti be. A síkidomok kö-zül a négyzetről és a téglalapról tanultak már a gyerekek. A rájuk vonatkozó ismeretekből mindig csak problémánként idézzük fel azt, aminek a tudatba való hozása bizonyos mér-tékű irányítást adhat az új probléma, illetve feladat megoldásához. I. probléma: A legkevesebb oldalszámú sokszög (három-szög) körülhatárolása. 1. A probléma előkészítése a feladatig. Kö-zöljük, hogy a téglalap és a négyzet teljesen körül van kerítve (táblai rajzon most is érzé-keltetem), — tehát belsejéből kijutni nem le-het. Hogy ezt az erős körülkerítést jobban lássuk, rakjuk körül a négyzetet is és a tégla-lapot is hurkapálcikákkal. A táblára nehéz volna hurkapálcikákat felrakni, ezért a táb-lán ezt vastag krétavonallal jelöljük. Miután körülkerítettem, megkérdeztem: Mi helyett rajzoltuk körül a négyzetet és a téglalapot? Mit jelentenek a most meghúzott vonalak? Hány hurkapálcikára van szükség a négyzet és a téglalap körülkerítéséhez? Mi különbség van a négyzetet és a téglalapot körülhatároló pálcikák között? Tehát a téglalap körülkerítéséhez is és a négyzet körülkerítéséhez is négy-négy darab hurkapálcika szükséges. Mind a két esetben egy hosszú hurkapálcikát négy darabra kel-lene törni, hogy körülkeríthessük a két ido-mot. Azt is látjuk, hogy a négyzetnél egyenlő darabokra kell törni a hosszú hurkapálcát, a téglalapnál pedig két egyenlő kisebb darabot, és két egyenlő nagyobb darabot kell letör-nünk a körülkerítéshez. 2. A feladat megjelölése: Most az lesz a feladatotok, hogy az óra elején kapott hurka-pálcika segítségével négynél kevesebb hurka-pálcika darabbal kerítsetek körül egy részt az asztalotokon. Tehát mi lesz a feladat? Hány darab hurkapálcikával próbálkozhatunk tehát? — Mindenki érti tehát a feladatot. Még azt kell tudnotok, hogy a hurkapálcikadarabok-nak nem kell egyenlőknek lenni. — Valaki elismétli a feladatot. 3. A tanulók próbálkozásai következnek ezután, amit a tanár figyelemmel kísér, hogy esetleg félreértések esetén egyéni, vagy egész osztálynak szóló kiegészítő útmutatást adjon. 4. Á tanulók munkájának befejezése után a tapasztaltak számbavétele, értékelése, illetve elemzése következik, amit a következő kérdé-sek alkalmazásával végezhetünk el: — Kinek, hány hurkapálcika darabbal si-került körülkeríteni egy részt az asztalon? (A 3-tól különbözőket javítjuk.) — Hány hurkapálcika darabbal oldható meg a feladat? — Minek felel meg ez a három hurkapál-cika darab? — Hány oldala van tehát az ú j idomnak? (Itt közöljük, hogy a most megismert sík-idomnak a neve: háromszög.) — Nézzük az oldalak találkozását is! — Hány csúcsa van tehát a háromszögnek? — Minden csúcsnál (mutatom) mit talá-. lünk? — Hány szöge van a háromszögnek? Tehát eljutottunk a háromszög fogalmá-hoz. Nem törekedtünk kötötten megfogalma-zott definícióra, de a lényeges jegyeket meg-állapítottuk, s most összegezésképpen ezeket újra számba vehetjük azzal a kiegészítéssel, hogy az oldalaknak nem kéli szükségképpen egyenlőknek lenniök. Az ú j fogalom elmélyítése céljából az ú j idomot összevethetjük a korábban tanult ido-mokkal: a' négyzettel és téglalappal. H a az újonnan tanult, megismert idomot három-, szögnek nevezzük, minek nevezhetjük a tégla-lapot és a négyzetet? Gondoljunk arra, hogy hány szöge van a háromszögnek és hány szöge van a négyzetnek és a téglalapnak. Követke-zésképpen megállapíthatjuk, hogy az idomo-kat aszerint nevezhetjük, hogy hány szögük van. A feladatmegoldás lezárásaként a tanulók végül azt a feladatot kapják, hogy mindenki figyelje meg a saját háromszögének formáját, alakját, mert felszólításra fel kell majd ne-kik rajzolni a táblára. Az egymás után kö-vetkező felrajzolások után mindig azt kér-dezzük, hogy van-e olyan háromszöge vala-kinek, amelyik nem hasonlít, vagy eltér a fel-raj zolttól. Az eredményekből azt a követ-51 keztetést vonjuk le, hogy szinte annyiféle há-romszög van a padokon, ahány tanuló van az osztályban. Ez természetes is, hiszen nem kötöttük meg, hogy mekkorák és milyenek legyenek a szögek és oldalak. Ebből már sejthető- a csoportosítás szüksé-gessége, de nem utalunk rá, hanem egysze-rűen azt jelentjük be, hogy érdekes eredmé-nyekhez juthatunk akkor is, ha nem hurka-pálcikákkal alkotott háromszögeket vizsgá-lunk tovább, hanem más módon, másféle-képpen. 11. probléma: A derékszögű háromszög származtatása tég-lalapból, és ennek vizsgálata. . • 1. A feladat megjelölése és elvégzése. A tanulók azt a feladatot kapják, hogy az otthon elkészített téglalapjukon húzzák meg a „piros" csúcsokat összekötő átlót, majd az átló mentén vágják ketté a téglalapot. 2. Az így nyert háromszög vizsgálata a kö-vetkező kérdések alapján történhet, miközben megemlíthetjük azt is, hogy most a három-szögnek elsősorban a szögei érdekelnek ben-nünket. — Hogyan nevezhetjük az így nyert sík-idomokat? — Milyen típusú szögei vannak? — Melyik a legnagyobb szöge? Az ilyen típusú háromszögeket, derékszögű háromszögeknek nevezzük. A fontos megállapítás rögzítése céljából fel-írjuk a táblára a megismert síkidom nevét, és felrajzoljuk általános alakban. (1. ábra.) útmutatása szerint, amelynek az a célja, hogy ne speciális helyzetben kerüljön rögzítésre az új síkidom. Az elkészült ábrán jelöljük a be-fogókat és az átfogót. Ezek az elnevezések különösebb értelmezést nem igényelnek. Gyakorlásképpen azonban megkerestetjük a befogókat és az átfogókat a derékszögű vo-nalzójukon és a kapott derékszögű három-szögeken is. Ugyancsak gyakorlás célját szol-gálja az a munka is, hogy az előbbi feladat-ban kirakott háromszöget alakítsák át szintén derékszögű háromszöggé. 52 III. probléma: Annak igazolása, hogy a kapott két három-szög egybevágó, és hogy a háromszögek szö-geinek összege 180". 1. A tanulók azt a feladatot kapják, hogy a kapott két háromszöget helyezzék egymás-ra. Az egymásra helyezés módját a tanár elő-mutatja. Megállapítjuk, hogy a két háromszög fedi egymást, tehát egybevágó. — Itt a fel-adat elvégzése és a megállapítás megfogalma-zása alig választható szét, mert a kettő együtt kölcsönösen nyilvánvalóvá teszi egymást á fogalmak ismert volta folytán. 2. Abból az előbbi két tényből, hogy a két háromszöget téglalapból vágtuk ki és hogy az így nyert két derékszögű háromszög egybe-vágó, következik az, hogy a derékszögű há-romszög szögeinek összege 180°, illetve két derékszög. A törvényszerűség beláttatása érdekében a következő elemző kérdéseket alkalmazhatjuk: — Milyen szögei voltak az eredeti tégla-lapnak? — Hány derékszöge volt? — A szétvágás során hová kerültek ezek a szögek? És hogyan? Tehát a két háromszöghöz kerültek, és így az egyik is és a másik is összegszerűen két-két derékszöget tartalmaz. De ebből az is követ-kezik, hogy két hegyesszög összegéből adódik a másik derékszög. Ezt az összefüggést még kétféleképpen is igazolhatjuk: a) A négy hegyesszög a két „piros" derék-szög szétvágásából adódott. Mivel a hegyes-szögek is fedik egymást, nyilvánvaló, hogy a hegyesszögek összege is egyenlő a két három-szögben. Vagyis a két (piros) derékszöget egyenlően osztottuk meg a két háromszög kö-zött. Egyik-egyik háromszögben tehát a he-gyesszögek összege: 90°. b) Külön is megvizsgáljuk az egyik három-szöget a tétel szemléletes értelmezése végett. Mégpedig úgy, hogy a két hegyesszöget a de-rékszöggel fedésbe hozzuk azáltal, hogy rá-hajtjuk. Ezzel megoldottuk a tervezett feladatokat. Az a dolgunk lehet még, hogy a tanultak megerősítése céljából többé-kevésbé önálló gyakorlatot végzünk. IV. probléma: Gyakorlatok: 1. Szétvágatjuk a négyzetet is két derék-szögű háromszögre. Az így kapott két derék-szögű háromszögről először a korábbi meg-állapításokat ismételtetjük el, majd azt a fel-adatot adjuk, hogy állapítsák meg, milyen különbségek találhatók a téglalapból és a négyzetből nyert derékszögű háromszögek kö-zött. 2. Próbáljanak meg olyan háromszöget ösz-szeállítaniK amelynek két derékszöge van. Rö-vid kísérlet után megkérdezzük, hogy lehet-séges-e ez, vagy miért nem lehetséges? Indok-lásképpen arra kell emlékezniök a tanulóknak, hogy egy egyenesre, bocsátott két merőleges egymással párhuzamos, tehát nem alkothatnak szöget. Továbbá, hogy a háromszögeknek há-rom szögük van, és derékszögű háromszög ese-tén a szögek összege 180°, ami nem engedi meg, hogy két derékszög egy háromszögben szerepeljen. V. probléma: A házi feladat előkészítése és megjelölése. Az egyik derékszögű háromszög átfogóján | kijelölünk egy pontot és összekötjük a derék-szög csúcsával. (2. ábra.) Milyen szögfajtákat találunk az így ka-pott két háromszögben? A derékszögű háromszöget tehát szét tud-juk vágni nem derékszögű háromszögekre! A tulajdonképpeni feladat: A legutóbb ka-pott két háromszöget és a derékszögű három-szögeket is szét lehet vágni két-két derék-szögű háromszögre egy egyenes mentén. Ott-hon ezt a vonalat húzzátok be a háromszö-gekbe. Megjegyzés: Az óra felépítése olyan, hogy a tanulók az átlagosnál nagyobb önálló szerepet kapnak. Ez szükségessé tesz olyan feladatok beiktatá-sát, amelyre esetleg egyáltalán nem kerülhet sor, de szükség esetén jól illeszkedik az órába. Ilyen lenne az alább közölt versenyfeladat. Ezután pedig ismertetek olyan feladatot; amelynek problémamegoldásai a következő órákon is szerepelhetnek. Hogy mégis itt köz-, löm már, ennek célja az, hogy rámutassak, miként próbáljuk a szaktárgyi érdeklődését ébren tartani és erősíteni egy témán belül. 1. Versenyfeladat. a) Megállok az osztállyal szemben és hely-ben elfordulok, amíg újra velük szembe nem kerülök. Kérdés: Hány fokkal fordultam el? b) Körülkerülöm az asztalt. Kérdés: Most hány fokkal fordultam el? c) A derékszögű háromszög mentén megyek körbe. Kérdés: Most mennyi az elfordulás? Felvázolom a táblára az utamat. (3. ábra.) elindulás helye / t 3. ábra A gyerekek segítenek a hegyesszögek beírá-sánál. A beírás becslés és kiegészítés alapján történik. Kérdés: Hány fokot kell elfordulni egy-egy csúcsnál? Ha a válasz a beírt fokok mennyiségének, illetve összegének megnevezé-sével történik, adódik a probléma: Az előbb már láttuk, hogy 360°-ot kell elfordulni, a legutóbbi pedig csak 180°-ot mutat. Hogyan lehet ez? 2. A másik természetű feladat ismertetése előtt méréseket kell végezni az oldalak nagy-sági viszonyainak észrevétetésére. Mérési fel-adat: Egy-egy számmal jelezzük a legkisebb, a közepes, a legnagyobb oldalt (I—II—III). Ezt a három számot ráírják a háromszög meg-felelő oldalára. Kérdés: Szabály-e, hogy az átfogó a legnagyobb? Tudná-e r valaki bizo-nyítani a téglalap átlójának felhasználásával? Ha nem tudják, megelégszünk a sok azonos mérési eredmény valószínűségerejű következ-tetésével. A tulajdonképpeni kérdés pedig így szól: Rajzoljátok meg egy derékszögű háromszöget fekvő helyzetben. Jelöljük meg a csúcsokat 1—2—3 számokkal. Az átfogó közepén pedig vegyünk fel egy pontot. Jelöljük N-nel. — (4. ábra.) 53 Az 1—2—3 és az N-nel jelölt helyeken la-kások vannak. A számokkal jelöltben laknak az unokák, az N-nel jelöltben pedig lakik a nagymama. Az N-ből a háromszög kerületén vezetnek az utak az unokákhoz. De van egy út, amely az N-ből a derékszögnél levő l-es számú lakáshoz vezet. Egy alkalommal a nagymama meg akarja látogatni unokáit, de úgy, hogy az utolsónál meg is alszik. Kérdé-sek: Hány lehetősége van nagymamának? — A nagymama mennél kevesebbet szeretne gya-logolni. Melyik* lehetőséget válassza? — A fel-adatot mérésekkel és bizonyításokkal is meg-oldhatjuk. Ki-ki azt választja, amelyiket akar-ja. E két fő kérdés megoldása egész sor mellék-problémát, de nem mellékes problémát vet fel, és ezeken keresztül matematikus gondolko-dásra nevel. Pl. észre kell venni, hogy 1 N + N 2 hossza = átló hossza, pedig nem esnek egye-nesbe. Vagy: Ha nem az 1-el kezdi, akkor nem használhatja az N1 utat, mert a szom-szédokhoz egyenes (törés nélküli) út is vezet. Ha a feladatot azzal bővítjük, hogy a nagy-mama hazamegy, akkor az esetek könnyebben áttekinthetők: a) A nagymama vagy megteszi az egész kerületnyi u t a t = a + b + c . b) Vagy az egyik befogó kimarad és he-lyette még egyszer belép az átfogó. Ez esetben jól látszik, hogy a + b + c kisebb, mint a+c-J-c és ez is kisebb mint b + c + c. Tehát három különböző eset van, ugyan-akkor bármelyiből megy is haza, még fél-átlónyi utat kell megtenni. Azaz: az egyenlőt-lenségek ugyanúgy fennállnak. A két feladat megoldása azonos! Mint látható, ez a feladat több, önmagában is érdekes problémákat tartalmaz. Szinte biz-tos, hogy ha egyáltalán sor is kerül a feladat-ra, akkor is csak legfeljebb egy-két kérdésre jut idő. A derékszögű háromszögek témakö-rén belül azonban a már ismertetett céllal min-i dig beiktatható egy-egy további kérdés. Eset-/ leg otthonra is megjelölhető egyik-másik ven senyfeladatnak. Bálint József, I Eger, Tanárképző Főiskola' 

A derékszögű háromszög tulajdonságai : 5. osztály

http://acta.bibl.u-szeged.hu/26069/1/modszertani_009_001_051-054.pdf

A derékszögű háromszög tulajdonságai : 5. osztály

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

University of Szeged