Se presenta la clasificación de las hipersuperficies isoparamétricas
del espacio hiperbólico complejo CHn, siguiendo el trabajo realizado en J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López, Isoparametric
hypersurfaces in complex hyperbolic spaces, Adv. Math. 314 (2017),
756-805.Xunta de GaliciaPrograma de Formación del Profesorado UniversitarioFundación Barrié de la Maz

Carriazo Rubio, Alfonso (Coordinador)

Fuente Benito, Daniel de la (Coordinador)

Márquez García, María del Carmen (Coordinador)

Romero Sarabia, Alfonso (Coordinador)

Sanmartín López, Víctor

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XI Encuentro Andaluz de GeometríaIMUS (Universidad de Sevilla), 15 de mayo de 2015, págs. 4146Hipersuperﬁcies isoparamétricas en el espacio hi-perbólico complejo CHnVíctor Sanmartín LópezResumen. Se presenta la clasiﬁcación de las hipersuperﬁcies isoparamétricasdel espacio hiperbólico complejo CHn, siguiendo el trabajo realizado en [2].1. IntroducciónDesde sus comienzos, el desarrollo de la geometría de Riemann ha estadoligado al estudio de la geometría de subvariedades. En nuestro caso, hemos cen-trado nuestra atención en un tipo concreto de las mismas, las hipersuperﬁciesisoparamétricas. Estos objetos matemáticos han sido estudiados por prestigiososmatemáticos tales como Segre, Cartan o Levi-Civita. Para consultar los avancesprotagonizados por cada uno de ellos puede consultarse [3]. Ya con sus trabajospudo adivinarse que estas hipersuperﬁcies conectaban diferentes campos dentrode las matemáticas, pues aparece no solo involucrada la geometría de Riemann,sino que de manera natural surgen también conexiones con la topología algebrai-ca, la geometría algebraica, la teoría de grupos de Lie o la teoría de ecuacionesdiferenciales.Con todo, el origen de las hipersuperﬁcies isoparamétricas surge en el senode la óptica geométrica, cuando el matemático italiano Carlo Somigliana seencontraba estudiando un problema de ondas, que pasamos a exponer muybrevemente a continuación. Si bien allí se aborda tal problema utilizando tresvariables espaciales, esto es, R3, aquí lo presentaremos generalizándolo a unavariedad riemanniana M¯ . Se comienza considerando una onda, que se deﬁnecomo una aplicación diferenciable ϕ : M¯ × R → R, (x, t) → ϕ(x, t), solución dela ecuación de onda∆ϕ =∂2ϕ∂t2,donde ∆ denota el operador de Laplace-Beltrami respecto de x, t ∈ R representala variable temporal y x ∈ M¯ representa la variable espacial que, como hemosVíctor Sanmartín López, victor.sanmartin@usc.esDepartamento de Geometría y Topología, Universidade de Santiago de Compostela.El autor ha sido ﬁnanciado por los proyectos EM2014/009, GRC2013-045, el programade Formación del Profesorado Universitario (FPU) y la Fundación Barrié de la Maza.42 Víctor Sanmartín-Lópezdicho, en el problema inicial vivía en R3.Se deﬁnen como frente de onda cada uno de los conjuntos formados por pun-tos en el mismo estado de fase en el instante de tiempo t0 ∈ R. Expresado enotros términos, si para cada t0 ∈ R deﬁnimos la aplicación ft0 : M¯ → R median-te ft0(x) = ϕ(x, t0), los frentes de onda en el instante t0 son precisamente losconjuntos de nivel de la función ft0 . En este punto, se imponen dos condicionessobre ϕ. En primer lugar, supondremos la onda estacionaria, es decir, asumire-mos que los frentes de onda no dependen del tiempo. Esto se traduce en que ellaplaciano de f , ∆f , es constante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Laotra condición consiste en imponer que la norma del gradiente, ||∇f ||, sea cons-tante a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Ello puede interpretarse, de unmodo informal, como exigir que los conjuntos de nivel sean equidistantes entresi, donde aquí al hablar de distancia nos referimos a longitudes de geodésicasortogonales a la hipersuperﬁcie.Como conclusión podemos extraer que las ondas estacionarias con frentesde onda equidistantes permiten determinar una función diferenciable f veriﬁ-cando que tanto ||∇f || como ∆f son constantes a lo largo de sus conjuntos denivel. Pues bien, una función diferenciable no constante f : M¯ → R se dice iso-paramétrica precisamente cuando su laplaciano y la norma de su gradiente sonconstantes a lo largo de los conjuntos de nivel de f . Asimismo, una colecciónde conjuntos de nivel de una función isoparamétrica f , {f−1(c)}c∈R, se dice unafamilia isoparamétrica de hipersuperﬁcies. Por otra parte, una hipersuperﬁcie sedice isoparamétrica si ella y sus hipersuperﬁcies equidistantes tienen curvaturamedia constante. El siguiente teorema expresa de forma precisa la relación entrefunción isoparamétrica e hipersuperﬁcie isoparamétrica.Teorema 1.1. Sea M¯ una variedad riemanniana. Sea f : M¯ → R una funciónisoparamétrica y c ∈ R un valor regular de f . En estas condiciones, M = f−1(c)es una hipersuperﬁcie isoparamétrica de M¯ . Recíprocamente, si M es una hi-persuperﬁcie isoparamétrica de M¯ , entonces, para cada p ∈M , podemos escogerun entorno abierto U de p en M tal que U es un conjunto de nivel regular deuna función isoparamétrica f : V → R, para algún abierto V en M¯ .Uno de los problemas centrales de la geometría de Riemann es precisamenteel de la clasiﬁcación de las hipersuperﬁcies isoparamétricas de una variedadriemanniana. Sin ir más lejos, por ejemplo, en el caso euclídeo fue Segre elque, tras las clasiﬁcaciones de Somigliana y Levi-Civita en R3, completó laclasiﬁcación en Rn, demostrando que cada hipersuperﬁcie isoparamétrica tendríauna o dos curvaturas principales y sería una parte abierta de un hiperplanoRn−1 de Rn, o de una esfera Sn−1, o, por último, de un cilindro generalizadoSk × Rn−k−1, donde k ∈ {1, . . . , n− 1}.Otro ejemplo notable es el del caso hiperbólico real, RHn, resuelto por Car-tan, que probó que aquí las hipersuperﬁcies isoparamétricas eran partes abiertasHipersuperﬁcies isoparamétricas 43o de una horosfera, o de una esfera geodésica, o de un hiperespacio hiperbólicototalmente geodésico RHn−1 de RHn, o de una de sus hipersuperﬁcies equi-distantes, o de un tubo alrededor de un subespacio hiperbólico real RHk, conk ∈ {1, . . . , n− 2}.Para ﬁnalizar esta primera sección, y dado que hemos estado hablando detubos alrededor de subvariedades, explicamos brevemente este concepto, queserá de gran importancia en posteriores secciones. Dada una subvariedad decodimensión mayor que uno M ⊂ M¯ , denominamos el tubo Mr de radio ralrededor deM a los puntos de M¯ que se encuentran todos a la misma distanciar de M . Matemáticamente, Mr = {exp(rξ) | ξ ∈ ν1M}, donde ν1M denota elﬁbrado normal unitario de M . La subvariedad de partida recibe el nombre desubvariedad focal.2. Hipersuperﬁcies isoparamétricas en el espaciohiperbólico complejo CHnEn las siguientes líneas construiremos, omitiendo algunos detalles, el espaciohiperbólico complejo CHn, deteniéndonos posteriormente en los aspectos de suestructura necesarios para la comprensión de los ejemplos de hipersuperﬁciesisoparamétricas involucrados en el Teorema Principal.Comenzamos deﬁniendo sobre el espacio vectorial complejo Cn+1 la métrica〈z, w〉 = Re(−z0w¯0 +∑nk=1 zkw¯k), donde z, w ∈ Cn+1. Se deﬁne el espacio anti-De Sitter de radio r como H2n+11 (r) = {z ∈ Cn+1 | 〈z, z〉 = −r2}. Se trata deuna variedad lorentziana de curvatura negativa constante. Por ello, puede enten-derse como el análogo Lorentziano del espacio hiperbólico real. Sobre el espaciode anti-De Sitter puede deﬁnirse una relación de equivalencia que identiﬁqueaquellos puntos que diﬁeren en un elemento de la circunferencia unitaria, S1.Pasando al cociente, obtenemos la aplicación de Hopf pi : H2n+11 → CHn, aso-ciada al espacio hiperbólico complejo n-dimensional. La terna (H2n+11 , pi,CHn)constituye un S1-ﬁbrado principal, lo cual permite identiﬁcar el subespacio deltangente al espacio de anti-De Sitter ortogonal a la ﬁbra con el tangente al espa-cio hiperbólico complejo, pudiendo de esta manera deﬁnir una métrica en CHn,la que convierte a pi en una sumersión semi-riemanniana, así como introduciruna estructura compleja J para el espacio hiperbólico complejo. Además, estepuede ser descrito como el espacio simétrico CHn = SU(1,n)S(U(1)×U(n)) .En este punto, y de cara a una mejor comprensión de los ejemplos queaparecen en la clasiﬁcación, identiﬁcaremos CHn con un grupo de Lie. Paraello, consideramos el álgebra de Lie g = su(1, n) de la componente conexa dela identidad del grupo de isometrías del espacio hiperbólico complejo, G =SU(1, n).44 Víctor Sanmartín-LópezEn este sentido, si ﬁjamos o ∈ CHn, podemos considerar el subgrupo deisotropía de o, K ⊂ G. Ahora bien, en este caso g se descompone de maneranatural como suma directa de espacios vectoriales g = k⊕p, donde k es el álgebrade Lie de K (pensada como espacio vectorial) y p su complemento ortogonal eng con respecto a la forma de Killing B de g, que resulta ser deﬁnida positiva enp y deﬁnida negativa en k; luego con un cambio de signo obtenemos un productointerior para g, producto interior respecto al cual la anterior descomposición esortogonal. En este punto, escogemos a ⊂ p un subespacio abeliano maximal, queresulta ser 1-dimensional. Por ello, los operadores del conjunto {ad(H) | H ∈ a}conmutan. Además, son autoadjuntos respecto al producto interior inducidopor la forma de Killing. Luego todos ellos diagonalizan simultáneamente. Comoconsecuencia, g puede descomponerse como suma directa de estos autoespacioscomunes gλ = {X ∈ g = su(1, n) | ad(H)X = λ(H)X, ∀H ∈ a}, con λ ∈ a∗.En este caso particular obtenemos la descomposición g = g−2α ⊕ g−α ⊕ g0 ⊕gα ⊕ g2α, cuyos elementos están sujetos a la relación [gγ , gβ ] ⊂ gγ+β . Además,puede comprobarse que gα es un espacio vectorial complejo (n−1)- dimensional,isomorfo por tanto a Cn−1. En este punto, podemos deﬁnir un álgebra de Lienilpotente n = gα ⊕ g2α, que es de hecho isomorfa al álgebra de Heisenbergde dimensión 2n − 1. Pues bien, el teorema de descomposición de Iwasawa [1,Proposición 6.43], aﬁrma que podemos escribir g como la suma directa g =k⊕a⊕n. Ahora bien, si uno se restringe a a⊕n, resulta que el subgrupo conexode G asociado a este álgebra de Lie, AN , actúa libre y transitivamente en elespacio hiperbólico complejo, lo cual permite deﬁnir un difeomorﬁsmo entreAN y CHn, pudiendo entonces entender este último como un grupo de Lie. Dehecho, un grupo de Lie resoluble con métrica invariante a la izquierda. Esto nospermite reescribir toda la geometría de CHn en términos de álgebras de Lie.3. Teorema PrincipalComenzamos esta sección enunciando el Teorema de Clasiﬁcación y, a con-tinuación, pasamos a explicar la construcción de los ejemplos involucrados en elmismo.Teorema Principal. SeaM una hipersuperﬁcie conexa real en el espacio hiper-bólico complejo CHn, n ≥ 2. Entonces, M es una hipersuperﬁcie isoparamétricasi y solo si M es congruente a una parte abierta de:(i) un tubo alrededor de un espacio hipérbolico complejo totalmente geodésicoCHk, k ∈ {0, . . . , n− 1},(ii) un tubo alrededor de un espacio hiperbólico real totalmente geodésico RHn,Hipersuperﬁcies isoparamétricas 45(iii) una horosfera,(iv) una hipersuperﬁcie de Lohnherr reglada minimal homogénea W 2n−1, oalguna de sus hipersuperﬁcies equidistantes,(v) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea W 2n−kϕ ,construida por Berndt-Brück, para k ∈ {2, . . . , n− 1}, ϕ ∈ (0, pi/2],(vi) un tubo alrededor de una subvariedad reglada minimal homogénea Ww,para algún subespacio propio w de gα ∼= Cn−1 tal que w⊥, el complementoortogonal de w en gα, tiene ángulo de Kähler no constante.Los ejemplos (i), (ii), (iii) del Teorema Principal se corresponden con losejemplos de la lista de Montiel, que son ejemplos de hipersuperﬁcies Hopf y portanto homogéneas. Nótese que, con la notación del Teorema, de manera natu-ral, podemos pensar en Ck+1 incluido en Cn+1 (respectivamente Rn+1 ⊂ Cn+1);luego también es natural pensar en CHk como subvariedad de CHn (respecti-vamente RHn ⊂ CHn). De esta manera, construyendo tubos alrededor de estasdos subvariedades obtenemos ejemplos de hipersuperﬁcies isoparamétricas. Asíquedan descritos los ejemplos (i) y (ii) del Teorema Principal. Las horosferas,(iii), se construyen haciendo actuar N , el subgrupo de Lie asociado al álgebrade Lie n de la descomposición de Iwasawa.Ahora, teniendo en cuenta las consideraciones de la sección anterior, pasamosa introducir un método para construir otros ejemplos de hipersuperﬁcies isopa-ramétricas en CHn. Escogemos para ello w ⊂ gα un subespacio real, pensandogα como espacio vectorial real de dimensión 2n−2. A continuación, construimosel álgebra de Lie sw = a⊕w⊕ g2α y pasamos a considerar el subgrupo conexoSw ⊂ G asociado al álgebra de Lie sw. En este punto, deﬁnimos Ww como laórbita de Sw a través del punto o ∈ CHn escogido para inducir la anterior des-composición de Iwasawa. Esta subvariedad Ww es una subvariedad homogéneaminimal. Pues bien, los tubos alrededor de esta subvariedad son ejemplos dehipersuperﬁcies isoparamétricas. Esta técnica sirve para construir los ejemplos(iv), (v) y (vi). La primera de estas tres familias, que está formada por hiper-superﬁcies homogéneas, (iv), se obtiene cuando tomamos w un hiperplano realen gα. Sin embargo, para distinguir las dos familias restantes de ejemplos, sehace necesario introducir la noción de ángulo de Kähler.Para ello, es crucial que la estructura compleja J de CHn, expresada en tér-minos de álgebras de Lie, constituye una estructura compleja hermitiana paragα. Por tanto, si ahora, tal y como se hace en el Teorema Principal, considera-mos w⊥ el complemento ortogonal de w en gα, es posible, para cada elementoξ ∈ w⊥\{0}, medir el ángulo entre Jξ y el subespacio w⊥. Pues bien, este ánguloentre 0 y pi/2 es lo que se conoce como ángulo de Kähler de ξ con respecto a w⊥.Por otra parte, diremos que w⊥ tiene ángulo de Kähler constante cuando todos46 Víctor Sanmartín-Lópezsus elementos no nulos tengan el mismo ángulo de Kähler. Ahora, atendiendo ala constancia o no del ángulo de Kähler en w⊥, podemos distinguir las familias(v) y (vi) de hipersuperﬁcies isoparamétricas. Cuando w⊥ tiene ángulo de Käh-ler constante, entonces obtenemos ejemplos de hipersuperﬁcies isoparamétricashomogéneas y por tanto, con curvaturas principales constantes. Por otro lado,cuando w⊥ tiene ángulo de Kähler no constante, obtenemos las únicas familiasde hipersuperﬁcies isoparamétricas no homogéneas y además, con curvaturasprincipales no constantes. De hecho, pese a que todas las subvariedades focalesde los ejemplos (iv), (v) y (vi) son homogéneas, solo en los casos (iv) y (v) sonhomogéneos los tubos alrededor de las mismas.4. Consecuencias del Teorema PrincipalDedicamos la presente sección a exponer algunas consecuencias del TeoremaPrincipal. En primer lugar, y atendiendo a que en el ámbito de las hipersuperﬁ-cies la propiedad de ser homogénea implica la propiedad de ser isoparamétrica,se obtiene como corolario de este resultado la clasiﬁcación de hipersuperﬁcieshomogéneas en espacios hiperbólicos complejos. Por contra, examinando la otraimplicación, es evidente que no es cierta, pues se han hallado ejemplos de hiper-superﬁcies isoparamétricas no homogéneas (vi). Sin embargo, se tiene:Corolario 4.1. Una hipersuperﬁcie isoparamétrica de CHn tiene curvaturasprincipales constantes si y solo si es una parte abierta de una hipersuperﬁciehomogénea de CHn.Para ﬁnalizar presentamos un caso curioso. Nótese que para CH2, se tieneque gα es isomorfo a la recta compleja C. Por tanto, en este caso 0 6= w ⊂ gαes siempre un hiperplano. Como consecuencia:Corolario 4.2. Una hipersuperﬁcie isoparamétrica CH2 es parte abierta de unahipersuperﬁcie homogénea.Referencias[1] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Second edition, Progressin Mathematics, 140, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.[2] J. C. Díaz-Ramos, M. Domínguez-Vázquez, V. Sanmartín-López, Isopara-metric hypersurfaces in complex hyperbolic spaces, Adv. Math. 314 (2017),756805.[3] G. Thorbergsson, A survey on isoparametric hypersurfaces and their ge-neralizations, Handbook of diﬀerential geometry, Vol. I, 963995, North-Holland, Amsterdam, 2000.

Hipersuperficies isoparamétricas en el espacio hiperbólico complejo CHn

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