Quantum walks: background geometry and gauge invariance

Abstract

Ciertos tipos de problemas no pueden resolverse usando los actuales ordenadores clásicos. Una forma de encontrar una solución, es mediante el uso de ordenadores cuánticos. Sin embargo, construir un ordenador cuántico es realmente complicado actualmente, debido a las limitaciones tecnológicas. Mientras tanto, los simuladores cuánticos han sido capaces de resolver algunos de estos problemas, ya que los simuladores cuánticos son más accesibles experimentalmente. Las llamadas caminatas cuánticas, en su versión discreta, son una herramienta muy útil para simular ciertos sistemas físicos. En el límite al continuo, se puede obtener una serie de ecuaciones diferenciales, particularmente, la ecuación de Dirac entre ellas. En la presente tesis, se seguirán estudiando las propiedades de las caminatas cuánticas, como posibles simuladores cuánticos. Podemos resumir los resultados en: i) Se introduce un modelo de caminata cuántica, en el que se simula, en el continuo, la dinámica de fermiones en una teoría de branas. Eso abre la posibilidad de estudiar diferentes modelos de teorías de Kaluza-Klein; ii) Se discute la invariancia gauge en caminatas cuánticas, acopladas a campos electromagnéticos, donde se exhiben similitudes y diferencias con modelos previos. Este modelo presenta conexiones con la invariancia gauge realizada en "lattice gauge theories"; iii) Se introducen caminatas cuánticas sobre redes no rectangulares, como la red triangular o hexagonal, con el propósito de simular la ecuación de Dirac en el límite al continuo. Estos modelos se pueden extender, por medio de operadores locales unitarios, que permiten reproducir la dinámica de fermiones en espacio tiempo curvo.There are many problems that cannot be solved using current \textit{classical} computers. One manner to approach a solution of these systems is by using \textit{quantum} computers. However, building a quantum computer is really challenging from the experimental side. Quantum simulators have been capable to solve some of these problems, as they are realizable experimentally. Discrete Time Quantum Walks (DTQWs) have been proved to be an useful tool to quantum simulate physical systems. In the continuous limit, a family of differential equations can be achieved, in particular, the Dirac equation can be recovered. In this thesis we study QWs as possible schemes for quantum simulation. Specifically, we can summarize our results in: i) We introduce a QW-based model in which a brane theory can be simulated in the continuum, opening the possibility to study more general theories with extra dimensions; ii) Electromagnetic gauge invariance in QWs is discussed, presenting some similarities and differences to previous models. This QW model also makes a connection to gauge invariance in lattice gauge theories (LGT); iii) We introduce QWs over non-rectangular lattices, such a triangular or honeycomb structures, for the purpose of simulating the Dirac equation in the continuum. We also extent these models, by introducing local coin operators, that allow us to reproduce the dynamics of quantum particles under a curved space time