Cupini, Giovanni

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Almae Matris Studiorum Campus

Analisi Matematica T1 (prof.G.Cupini)(CdL Ingegneria Edile – Polo Ravenna)REGISTRO DELLE LEZIONI22 SETTEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Insiemi e operazioni tra insiemi. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Proprietà dei numeri razionali  e  reali.  Assioma  di  Dedekind.  La  radice  quadrata  di  2  non  è  razionale  (con dimostrazione). Insiemi limitati superiormente o inferiormente, insiemi limitati. Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi. Esempi.23 SETTEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Estremo superiore e inferiore. Definizione, proprietà ed  esercizi.29 SETTEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Esercizi  su estremo superiore ed inferiore.  Principio d'induzione e applicazioni  (tra cui la disuguaglianza di Bernoulli, con dimostrazione).30 SETTEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Definizione di funzione. Immagine, controimmagine, grafico. Esempi.6 OTTOBRE 20093 ore: 9.30-12.30Funzioni monotone e strettamente monotone. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive, suriettive,  biunivoche. Funzione inversa. Funzioni potenze: definizioni,  grafici  e proprietà. Applicazioni allo studio delle disequazioni irrazionali.7 OTTOBRE 20092 ore: 9.30-11.30Somma, prodotto, quoziente di funzioni. Rette del piano come grafici di funzioni. Funzioni esponenziali  e  logaritmiche:  definizioni  grafici  e  proprietà.  Applicazioni  allo  studio delle disequazioni  esponenziali  e  logaritmiche  e alla  ricerca  del  dominio di  funzioni.  Funzione valore assoluto.13 OTTOBRE 20093 ore: 9.30-12.30Esercizi  sulla  ricerca  del  dominio.  Trasformazioni  elementari  dei  grafici  di  funzione (traslazioni,  dilatazioni,  simmetrie).  Funzioni  trigonometriche:  seno,  coseno,  tangente, arcoseno.14 OTTOBRE 20092 ore: 9.30-11.30Funzioni arcocoseno e arcotangente. Funzioni pari e dispari: definizione ed esempi. Funzioni limitate:  definizione,  caratterizzazioni  ed  esempi.  Esercizio  sulle  disequazioni trigonometriche.20 OTTOBRE 20093 ore: 9.30-12.30Esercizi  sulle  disequazioni.  Definizioni  di:  intorno,  intorno  destro  e  sinistro,  punto  di accumulazione,  punto di accumulazione destro e sinistro, insieme derivato.  Definizione di limite  finito  di  una  funzione  per  x  tendente  a  c,  con  c  numero  reale.  Operazioni  sui limiti.finiti.21 OTTOBRE 20092 ore: 9.30-11.30Definizione di limite infinito di una funzione per x tendente a c, con c numero reale. Limiti da destra e da sinistra. Esistenza del limite equivalente all'esistenza dei limiti da destra e da sinistra.  L'aritmetica  di  infinito  e  operazioni  sui  limiti  (eventualmente  infiniti).  Forme indeterminate.  Definizione  di  continuità  di  una  funzione.  Continuità  delle  funzioni elementari.  La  composizione  di  funzioni  continue  è  una  funzione  continua.  Teorema  di unicità del limite. Funzione infinitesima se e solo se il suo valore assoluto è una funzione infinitesima  (con  dimostrazione).  Teorema  dei  carabinieri.  Funzione  infinitesima  per funzione limitata è funzione infinitesima (con dimostrazione).27 OTTOBRE 20093 ore: 9.30-12.30Definizione  di  limite  quando x  tende  a  infinito.  Forme  indeterminate.  Limiti  notevoli.  Il limite  di  sen(x)/x  per  x che tende a 0 vale  1 (con dimostrazione).  Confronto tra infiniti. Principio di sostituzione degli infiniti (con dimostrazione). Esercizi sul calcolo dei limiti.28 OTTOBRE 20092 ore: 9.30-11.30Confronto tra infinitesimi. Principio di sostituzione degli infinitesimi. Esercizi sul calcolo dei limiti e sullo studio della continuità.3 NOVEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Teorema del confronto con esercizi. La funzione inversa di una funzione continua è continua. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli  zeri,  con applicazione. Esercizi sui limiti. Il fattoriale.4 NOVEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Punti di massimo e di minimo assoluto. Valori di massimo e di minimo assoluto. Teorema di Weierstress. Esempi e controesempi. Teorema di esistenza dei valori intermedi. Esercizi sul principio d'induzione e sulle trasformazioni elementari di grafici.10 NOVEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Classificazione  dei  punti  di  discontinuità  (di  I  e  II  specie  e  di  discontinuità  eliminabile). Esempi.  Definizione  di  rapporto  incrementale  e  suo  significato  geometrico.  Rapporto incrementale.  Definizione  di  derivata  e  suo  significato  geometrico.  Equazione  della  retta tangente a un punto del grafico. Differenziabilità. Legame tra derivazione e differenziabilità. Sviluppo di Taylor del primo ordine con resto in forma di Peano. Calcolo di derivate usando la definizione (funzione costante, potenza, esponenziale, seno). Legame tra il limite di f'(x) per x tendente a x_0 e il limite del rapporto incrementale di f in x_0. Classificazione dei punti di non derivabilità (punto angoloso, di cuspide, a tangenza verticale). Esempi.11 NOVEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Metodi per determinare la derivabilità in un punto (usando la definizione o  il limite di f'(x)). Legame tra continuità e derivabilità, in particolare che la derivabilità implica la continuità (con  dimostrazione).  Derivate  di  funzioni  elementari.  Derivata  di  una  somma,  di  una differenza, di un prodotto, di un rapporto e di una composizione di funzioni. Esercizi. 17 NOVEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Teorema di derivazione  di funzione inversa e  applicazione  al  calcolo  della  derivata  della funzione arcoseno. Definizione di punti di massimo/minimo relativo e di punto estremante relativo. Teorema della permanenza del segno. Teorema di Fermat (con dimostrazione) e suo significato geometrico. Teorema di Rolle e suo significato geometrico. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e suo significato geometrico. Legame esistente tra funzione costante e funzione  con  derivata  nulla  se  definite  in  un  intervallo  (con  dimostrazione).  Criterio  di monotonia. Esempi.18 NOVEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30 (prof. E.Zoli)Esercizi  su:  classificazione  dei  punti  di  discontinuità  e  di  non  derivabilità,  studio  della derivabilità, equazione della retta tangente al grafico.24 NOVEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Legame  tra  stretta  monotonìa  e  segno  delle  derivate  prime.  Esempi.  Derivate  di  ordine superiore.  Definizione  di  funzione  convessa e  concava  e  loro interpretazione  geometrica. Caratterizzazione  della  convessità  quando  la  funzione  è  derivabile  e  sua  interpretazione geometrica.  Caratterizzazione  della  convessità  quando la  funzione  è  derivabile  due volte. Esempi.   Asintoti  orizzontali,  verticali,  obliqui.  Introduzione  ai  grafici  di  funzioni: procedimento da seguire. Esercizio.25 NOVEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Esercizi sui grafici di funzione. 1 DICEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Lo  spazio  R^n.  Somma  di  vettori  di  R^n:  definizione,  interpretazione  grafica,  proprietà. Moltiplicazione  per  scalari:  definizione,  interpretazione  grafica,  proprietà.  Definizione  di spazio  vettoriale.  Combinazioni  lineari  di  vettori.  Vettori  linearmente  indipendenti. Sottospazio  vettoriale  generato  da  m  vettori.  Applicazioni  al  caso  di  R,  R^2  e  R^3. Definizione  di  base  di  uno  spazio  vettoriale.   Definizione  di  dimensione  di  uno  spazio vettoriale. I vettori e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), costituiscono una base di R^3 (con dimostrazione) e si chiama base canonica. Prodotto scalare: definizione e proprietà. Norma di un vettore. Definizione di matrice.2 DICEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Somma di  matrici.  Moltiplicazione  di  una  matrice  per  un  numero  reale.  Lo spazio  delle matrici mxn è uno spazio vettoriale di dimensione mxn. Esempio di una sua base. Prodotto righe  per  colonne.  Il  prodotto  righe  per  colonne  non  è  commutativo.  Matrici  quadrate. Matrice  identità.  Matrici  invertibili.  Determinante  di  una  matrice  quadrata.  Teorema  d Laplace (per il calcolo del determinante di una matrice secondo una riga/colonna).  Regola di Sarrus  (per  il  calcolo  di  determinanti  di  matrici  3x3).  Caratterizzazione  delle  matrici invertibili.  Sistemi lineari  di  n equazioni  ed n incognite  e loro rappresentazione in forma matriciale. Teorema di Cramer.9 DICEMBRE 20092 ore: 9.30-11.30Esercizi sul teorema di Cramer. n vettori di R^n costituiscono una base se e solo se la matrice avente tali vettori ha determinante non nullo. Proprietà dei determinanti. Esercizi. Numeri complessi:  definizione.  Parte reale e  immaginaria,  norma. Somma e  prodotto di numeri complessi.15 DICEMBRE 20093 ore: 9.30-12.30Coniugato  di  un  numero  complesso.  Proprietà  del  coniugato  e  della  norma  di  numeri complessi.  Piano di  Gauss.  Argomento  e  argomento  principale  di  un numero  complesso. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi e proprietà.  Potenza n-esima di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. Esercizi.16 DICEMBRE 2009 (prof. E.Zoli)2 ore: 9.30-11.30Equazione di primo grado coi complessi. Esercizi sulla rappresentazione dei complessi nel piano e sulle radici n-esime di un numero complesso.Esercizi di algebra lineare: calcolo di determinanti, risoluzione di un sistema con il metodo di Cramer,  esercizio  parametrico  per  illustrare  che  i  sitemi  possono  essere  determinati, indeterminati o impossibili.(Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori)

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