Castellani, Gastone

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Elettromagnetismo – Elettrodinamica Introduzione  La trattazione finora svolta dei campi elettrici e dei campi magnetici non ha messo in evidenza alcuna reazione fra i due. Questo è dovuto al fatto che i campi finora considerati non mostrano dipendenze dal tempo: si tratta cioè di campi “statici” (elettrostatico e magnetostatico). I risultati ottenuti possono essere riassunti nelle seguenti equazioni.  1) ∫ =⋅ 0rdErr  Il lavoro del campo elettrico su un qualunque percorso chiuso è nullo. Ciò significa che il campo elettrico statico è conservativo e quindi ammette un potenziale.  2) ∫ =⋅0intεqdSnErr  Teorema di Gauss; il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è proporzionale alla carica netta contenuta all’interno della superficie. Questo teorema dipende da due proprietà del campo elettrico statico: a) le cariche sono le sorgenti di Er; b) il campo Er dovuto a una carica puntiforme decresce con il quadrato della distanza.  3) ∫ =⋅ 0dSnBrr  Il flusso dell’induzione magnetica attraverso qualunque superficie chiusa è nullo. Questo è dovuto al fatto che, non essendo possibile individuare sorgenti positive e negative per Br, le linee di forza dell’induzione magnetica sono chiuse.  A queste equazioni occorre aggiungerne una quarta nota come Teorema di Ampere  4) ∫ =⋅ irdB 0µrr  Il lavoro dell’induzione magnetica su un percorso chiuso è proporzionale alle correnti che attraversano la superficie delimitata dalla sua curva (chiusa) su cui si calcola il lavoro. Questo significa a) che il campo Brnon è conservativo (e quindi non esiste un potenziale magnetico), e b) che le sorgenti di Brsono le correnti che circolano nei circuiti.  Queste quattro equazioni riassumono dunque le proprietà di EreBr: come si vede, le prime due esprimono proprietà di Er, le seconde due proprietà di Br. In alcuna di queste equazioni compaiono insieme EreBr( EreBr sono “disaccoppiati”). Quando si considerano campi dipendenti dal tempo, occorre modificare le equazioni 1) e 4) (mentre restano valide le equazioni 2) e 3)): queste modifiche risultano in equazioni in cui compaiono sia Erche Br, legando così le proprietà dei due campi.   Corrente di spostamento  Fu J.C. Maxwell  a realizzare che il passaggio di corrente in un circuito non è l’unico modo per ottenere un campo Br. Consideriamo infatti una superficie chiusa contenente una carica netta intq  . In base al principio di conservazione della carica, se intq  varia, una pari quantità deve avere attraversato la superficie che la circonda, in entrata o in uscita a seconda che intq aumenti o diminuisca. Poiché una carica che entri o esca dà luogo, grazie al suo movimento, a una corrente, potremo concludere che una variazione di intq corrisponde all’esistenza di una corrente i. Con riferimento alla Fig ED1, in cui la corrente i esce dalla superficie chiusa e quindi corrisponde a una diminuzione di intq , potremo quindi scrivere  dtdqi int−=      Fig Ed1. Poiché la carica si conserva, se intq diminuisce, delle cariche devono uscire dalla superficie muovendosi nel verso delle frecce, dando luogo, complessivamente, a una corrente i.   Ora però, per il teorema di Gauss,   ( )EdSnEqSCrrrΦ⋅= ∫00intεε avendo indicato con ( )ESCrΦ  il flusso di Erattraverso la superficie chiusa (SC) che contiene intq .         intqPertanto  ( )∫ ⋅−=Φ−=Φ−=−=dSnEdtddtEdEdtddtdqiSCSCvrrr000int)()(εεε  Quindi, la variazione per unità di tempo del flusso di campo elettromagnetico (moltiplicato per la costante ε0) ha le stessa proprietà di una corrente, come tale può generare un campo Br. Questa conclusione richiede ovviamente che il flusso di Er vari nel tempo, il che può avvenire in modo più naturale se Er dipende dal tempo, oltre che dalla posizione rr:  ( )trEE ,rrr= .  Partendo da considerazioni di questo tipo, Maxwell modificò il Teorema di Ampere nel modo seguente:  4’) ∫ ∫  ⋅+=⋅ dSnEdtdirdBrrrr00 εµ   e diede il nome di “corrente di spostamento” al termine ∫ ⋅ dSnEdtd rr0ε , termine che si annulla se Er non dipende dal tempo. Più precisamente, nell’equazione 4’) il flusso di Er viene calcolato attraverso una qualunque superficie aperta che abbia come contorno il percorso chiuso su cui si calcola il lavoro di Br (Fig ED2)     Fig ED2. Il flusso di Er va calcolato lungo una qualsiasi superficie che abbia come contorno la curva su cui si calcola il lavoro di Br.  La modifica introdotta da Maxwell dà luogo a un legame fra Bre Er, aggiungendo alle sorgenti di Bri ampi elettrici dipendenti dal tempo.  La legge di Faraday  Così come i campi elettrici variabili nel tempo generano campi di induzione magnetica, campi Br variabili nel tempo possono generare campi elettrici. M. Faraday si accorse che, in presenza di campi di induzione magnetica variabili nel tempo, nascono dei campi elettrici Er che, a differenza dei campi elettrostatici non sono più conservativi. L’equazione 1) che esprime la conservatività del campo elettrostatico viene di conseguenza generalizzata in:   1’) ( )∫∫⋅−=Φ−=⋅dSnBdtddtBdrdErrrrr  dove il flusso di Brè calcolato attraverso una qualunque superficie che abbia come contorno la linea su cui si calcola il lavoro di Er (analogamente a quanto mostrato nella Fig ED2). Anche in questo caso alle cariche, sorgenti del campo elettrostatico, occorre aggiungere una nuova classe di sorgenti di Er: i campi Br variabili nel tempo: ( )trBB ,rrr=   Le equazioni di Maxwell  Le proprietà di Ere Br, dopo le modifiche introdotte da Maxwell e Faraday sono dunque:  1’) ∫∫ ⋅−=⋅ dSnBdtdrdErrrr  2) ∫ =⋅0intεqdSnErr  3) ∫ =⋅ 0dSnBrr  4’) ∫ ∫  ⋅+=⋅ dSnEdtdirdBrrrr00 εµ   Queste equazioni, note come equazioni di Maxwell, riassumono le proprietà dei campi Ere Brsu una carica elettrica q. Come abbiamo visto, la presenza di Ere Br si manifesta come una forza agente su q che complessivamente vale:  ( )BEqF rrrv ×+= v   ed è la somma della forza elettrostatica e della forza di Lorentz. Le equazioni di Maxwell creano legami fortissimi fra EreBr. Supponiamo infatti che, per qualunque ragione, ad es. Er vari nel tempo (è quello che accade ad esempio, ogni volta che si accende o si spegne un circuito elettrico). Le variazioni di Erprovocheranno una variazione del suo flusso ( )ErΦ  e questo genererà un campo Br. Se questo Br, come spesso accade, dipende anche lui dal tempo, le variazioni del suo flusso ( )BvΦ  daranno luogo a un nuovo campo elettrico Er  (questa volta non conservativo, come si vede dalla 1’), dove il lavoro di Er su un percorso chiuso è nullo solo se non c’è variazione del flusso di Br), e così via.                Onde elettromagnetiche  Il meccanismo di produzione di campi elettrici e magnetici che abbiamo sommariamente descritto trova la sua manifestazione più importante nelle cosiddette “onde elettromagnetiche”. Una trattazione rigorosa richiede la soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto (cioè con q=0 e i=0), per cui ci limiteremo ad illustrare il fenomeno in via qualitativa. Come tutte le onde, anche le onde elettromagnetiche rappresentano la propagazione di una perturbazione: in questo caso la perturbazione è costituita dalle variazioni temporali di EreBr. Tali variazioni, inizialmente confinate in una zona limitata di spazio, si propagano progressivamente nello spazio circostante con una velocità di propagazione che può essere ricavata direttamente dalle equazioni di Maxwell e vale nel vuoto: smc /1031 800×≅=µε.  Il fatto che tali valori coincidano con la velocità della luce nel vuoto, dimostra la natura elettromagnetica della luce. Le onde elettromagnetiche sono onde trasversali: i campi Bred Er sono perpendicolari alla direzione di propagazione, oltre che perpendicolari l’uno all’altro. Chiameremo “superficie d’onda” l’insieme dei punti dello spazio in cui ad es. il campo Erha un valore prefissato. Se le superfici d’onda sono piani paralleli fra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione, si parla di “onda elettromagnetica piana”. Se le superfici d’onda sono superfici sferiche concentriche, si parla di “onda elettromagnetica sferica”. In quest’ultimo caso l’origine della perturbazione è un singolo punto dello spazio (Fig OM1)          Fig OM1 In un’onda elettromagnetica piana i punti in cui E ha lo stesso valore sono piani perpendicolari a v, in un’onda sferica sono superfici sferiche concentriche, mentre v ha in ogni punto direzione radiale.    In un’onda elettromagnetica piana i campi EreBrsono, in ogni punto dello spazio, proporzionali l’uno all’altro BcErr= . Se si immagina di visualizzare a un istante fissato la struttura dei campi EreBr, si ottiene la situazione mostrata in Fig OM2, in cui Er,Br e la direzione di propagazione costituiscono una terna destrorsa       Fig OM2. In un’onda piana Br, Er e la direzione di propagazione dell’onda sostituiscono una terna destrorsa. Inoltre EreBrsono proporzionali.  Il fatto che Er(e Br) sia perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda, vuol dire che la direzione di Er può essere una qualunque di quelle giacenti su un piano perpendicolare alla direzione di propagazione. In generale, la direzione di Er varia nel tempo (sempre perpendicolare alla direzione di propagazione) in modo irregolare. Un’onda si dice “polarizzata linearmente” se la direzione di Er non cambia nel tempo ( e quindi neppure quella di Br). Il campo Ercioè varia continuamente la propria intensità (cresce, diminuisce, si annulla, si inverte, etc.) ma il vettore rappresentativo mantiene sempre la stessa direzione. Un’onda si dice “polarizzata circolarmente” se la direzione di Er, al trascorrere del tempo ruota con velocità angolare costante attorno alla direzione di propagazione. Si può dimostrare che un’onda polarizzata circolarmente può essere descritta come la sovrapposizione di due onde polarizzate linearmente lungo due direzioni ortogonali.     

Dispense elettromagnetismo

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