Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-2020[ES] Estudio de la estructura de los grupos de unidades en módulo m ∈ Z, m > 1 arbitrario, denotado como Um, y trabajando con la definición del anillo Zm, dando su definición y propiedades de los elementos de este anillo y del grupo Um. Por otro lado, veremos también el teorema de Euler, el teorema de Fermat y el teorema de Wilson, resultados que nos serán útiles para probar las propiedades de los conjuntos anteriormente descritos. Esto nos ayudará a la resolución de congruencias de una variable (mod m) tanto lineales como de grado superior, analizando, además, sistemas de congruencias de distintos módulos. Para ello se verán, además, la definición de raíz primitiva de un m que las admita, recalcando la forma de aquellos números enteros que los tienen; así como la definición de índice, que nos ayudará a la hora de afrontar congruencias de forma axn ≡ b (mod m). Usaremos también el teorema de Lagrange para ver cuantas soluciones posibles puede haber. Para analizar, se explicarán formas de ver si un elemento de Um es un resto cuadrático, centrándonos en especial en los módulos primos para definir el símbolo de Legendre, y partiendo del criterio de Euler[EN] Study of the structure of the group of units modulo m ∈ Z, m > 1 arbitrary, writing it as Um, and working with the definition of the ring Zm, explaining its definition and the properties of this ring and the Um group. On the other hand, we will see Euler's theorem, Fermat's theorem and Wilson's theorem too; and these tools will be useful in order to proof the properties of the sets previously described. This will help us for solving linear congruences or higher-degree polinomial congruences in one variable (mod m), and we will also explain how to see a solution to a system of simultaneous linear congruences with diferent moduli. In order to help with this goal, we will see the definition of primitive root of a valid m, describing the way these integer numbers are; and the definition of index, useful when we want to solve axn ≡ b (mod m) congruences. We will see the Lagrange's theorem to see the possible number of solutions a congruence has. Finally, we will explain diferent modes for see if an element of Um is a quadratic residue, placing an emphasis on prime integer moduli in order to define the Legendre symbol, and explaining also the Euler's criterio
