Dalam artikel ini akan dibahas rank matriks atas ring yang merupakan generalisasi dari rank
matriks atas lapangan. Sudah diketahui, bahwa pada rank matriks atas lapangan salah satu cara mencari
rank menggunakan metode eliminasi Gauss dengan menggunakan operasi baris atau kolom elementer,
sehingga diperoleh basis dari ruang kolom atau ruang baris matriks tersebut. Dimensi dari ruang kolom
atau ruang baris matriks tersebut dikenal sebagai rank matriks atas lapangan.
Misalkan A ∈ Mmxn(R) dengan R ring komutatif dengan elemen satuan, maka akan diperoleh
submodul yang dibangun oleh kolom-kolom matriks A, dan juga diperoleh submodul yang dibangun oleh
baris-baris matriks A. Akan tetapi submodul-submodul tersebut belum tentu mempunyai basis. Dengan
demikian, tidak dapat didefinisikan rank matriks A tersebut sebagai dimensi dari submodul-submodul
tersebut. Sebagai akibatnya rank matriks atas ring tersebut tidak dapat dihitung menggunakan cara operasi
baris elementer atau operasi kolom elementer.
Mengingat rank matriks atas lapangan juga dapat dilihat dari nilai minor matriks A yang tidak
nol, dalam artikel ini akan dicoba didefinisikan rank matriks atas ring melalui pendekatan ideal yang
dibangun oleh minor-minor t × t dari matris A atas ring R matriks tersebut. Mengingat ring R juga dapat
membagi nol, maka dalam pendefinisian rank matriks atas R pendekatan dilakukan dengan menggunakan
pengenolnya yakni jika I adalah suatu ideal maka pengenol (Annihilator) dari I didefinisikan sebagai
himpunan AnnRI x R|r.x 0, x I. Dalam artikel ini diperoleh pendefinisian rank matriks atas ring R
sebagai berikut
rank (A) = max t|AnnRItA 0
dengan ItA didefinisikan sebagai ideal yang dibangun oleh semua minor-minor berukuran t × t dari matris
A. Selanjutnya ditunjukkan bahwa pendefinisian ini tidak bertentangan jika diaplikasikan pada matriks
atas lapangan.
Kata kunci : rank matriks atas lapangan, ideal, dan annihilato
