Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mendeskripsikan sifat dan
struktur fungsi bervariasi terbatas yaitu dengan memaparkan dan menjelaskan
definisi, menganalisis dan membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku
dalam fungsi bervariasi terbatas pada interval ��,��.
Jika ��,�� adalah suatu interval, maka dapat diambil titik-titik
�
�
,�
�
,�
,…,�
�
∈ ��,�� dengan �
�
�
� �
�
� �
� ⋯ � �
�
� dan dibentuk
menjadi partisi pada ��,��. Selanjutnya himpunan titik-titik �
��
�
,�
�
,…,�
�
�
disebut sebagai partisi pada ��,��, dan himpunan dari semua partisi pada ��,��
disimbolkan dengan ���,��.
Diberikan fungsi �:��,�� ⟶ �, fungsi f dikatakan bervariasi terbatas
(bounded variation) pada ��,��, jika terdapat konstanta � � 0 dengan sifat untuk
setiap partisi
0 1
{ , ,..., }
n
P x x x = pada ��,�� berlaku ∑ |���
�
� ����!�
�|
�
�"�
# �.
Variasi fungsi f pada ��,�� yang terkait dengan partisi
0 1
{ , ,..., }
n
P x x x = pada ��,��
ditulis
%
&
��,�� , dengan
%
&
��,��
∑ |���
�
� ����!�
�|
�
�"�
. Selanjutnya total
variasi fungsi � pada ��,��, dituliskan
[ , ]
( ) sup ( , )
b b
a a
P a b
T f V f P
π ∈
= . Fungsi Bervariasi
Terbatas mempunyai sifat-sifat diantaranya adalah : (1) Himpunan semua Fungsi
Bervariasi Terbatas tertutup terhadap operasi perkalian skalar, operasi penjumlahan,
dan operasi perkalian. (2) Fungsi yang bervariasi terbatas pada interval ��,�� juga
bervariasi terbatas pada setiap subinterval ��,��. (3) Fungsi yang monoton pada
interval ��,��, bervariasi terbatas pada interval ��,��. (4) Fungsi yang monoton
bagian demi bagian pada interval ��,��, bervariasi terbatas pada interval ��,��. (5)
Jika fungsi f bervariasi terbatas pada ��,�� maka f terbatas pada ��,��. (6) Jika
fungsi f kontinu dan turunan f terbatas pada ��,�� maka f bervariasi terbatas pada
��,��.
Kata kunci : partisi, fungsi terbatas, bounded variation, dan total variasi
