Pada makalah ini dikembangkan pengertian Second Order Cone (SOC) dan sifat-sifat kendala Second Order Cone Programming dengan Norma 1.



Kata kunci: Second Order Cone (SOC), Second Order Cone Programming

Caturiyati, -

Ch. Rini, Indrati

Lina, Aryati

Indonesian

Lumbung Pustaka UNY  (UNY Repository)

PROSIDING                         ISBN : 978-979-16353-8-7    Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” Kontribusi Pendidikan Matematika dan  Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa" pada tanggal   10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY A-13 SECOND ORDER CONE (SOC) DAN SIFAT-SIFAT KENDALA  SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1 Caturiyati1, Ch. Rini Indrati2, Lina Aryati2 1Mahasiswa Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM dan dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY  2Dosen Jurusan Matematika FMIPA UGM wcaturiyati@yahoo.com, rinii@ugm.ac.id, lina@ugm.ac.id  Abstrak  Pada makalah ini dikembangkan pengertian Second Order Cone (SOC) dan sifat sifat kendala Second Order Cone Programming dengan Norma 1.  Kata kunci: Second Order Cone (SOC), Second Order Cone Programming    PENDAHULUAN   Cone order dua (second order cone/SOC) [9] didefinisikan sebagai 𝐿𝑚 =  𝐱 =  𝑥1, … , 𝑥𝑚  ∈ ℝ𝑚  𝑥𝑚 ≥  𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑚−12  , 𝑚 ≥ 2, dan program cone order dua (Second-order cone programming/SOCP) adalah masalah conic:  meminimumkan  𝒄𝑇𝒙 𝑨𝒙 − 𝒃 ≥𝐾 𝟎 ,  dengan cone 𝐾 merupakan hasil kali langsung (direct product) dari beberapa cone order dua: 𝐾 = 𝐿𝑚1 × 𝐿𝑚2 × … × 𝐿𝑚𝑘  dan ≥𝐾 menyatakan urutan conic, yaitu 𝒂 ≥𝐾 𝒃 ⟺ 𝒂 − 𝒃 ≥𝐾 𝟎 ⟺ 𝒂 − 𝒃 ∈ 𝐾. Pada masalah program cone order dua, suatu fungsi linear diminimumkan atas irisan himpunan afine dan hasil kali langsung beberapa cone order dua. SOCP merupakan masalah konveks nonlinear dengan program linear dan program kuadratik (konveks) sebagai kasus khusus [2,5,8]. Dalam beberapa tahun terakhir, masalah SOCP mendapat perhatian para peneliti karena jangkauan aplikasinya yang luas [1,2]. Masalah optimisasi cone order dua secara teori dapat diselesaikan secara efisien menggunakan metode titik interior.  Dalam perkembangan penelitian di bidang optimisasi terdapat pergeseran-pergeseran struktur. Kwak [7] mengajukan metode principal component analysis (PCA) berdasarkan teknik optimisasi yang dikerjakan dengan norma 𝐿1. Metode tersebut merupakan pengembangan dari PCA konvensional berdasarkan norma 𝐿2 . Metode PCA yang dikerjakan Kahl lebih sederhana dan mudah diimplementasikan. Perkembangan penelitian optimisasi akhir-akhir ini mempunyai kecenderungan menggantikan norma 𝐿2 dengan norma 𝐿1  [10].  PROSIDING                                                                                          ISBN : 978-979-16353-8-7              ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November  2012                                                                                                MA-114 Sementara itu Kahl [6] menyajikan kerangka kerja baru untuk menyelesaikan struktur geometri dan masalah gerakan berdasar pada norma 𝐿∞ daripada menggunakan fungsi cost norma 𝐿2. Kerangka kerja ini menghasilkan  komputasi estimasi global yang efisien, dalam arti solusinya invarian terhadap transformasi proyektif pada sistem koordinat dunia dan similaritas transformasi dalam bidang image, karena metrik jarak image dari error reproyektif juga invarian terhadap transformasi yang dimaksud. Dengan kata lain tidak memerlukan normalisasi koordinat image. Selain itu berbagai masalah  struktur dan gerakan, seperti triangulasi, resection kamera dan estimasi homografi dapat dinyatakan ulang sebagai masalah optimisasi quasi konveks yang dapat diselesaikan menggunakan program cone order dua (SOCP).  Becker [3] membangun suatu kerangka kerja untuk menyelesaikan berbagai masalah cone konveks dengan pendekatan sebagai berikut: pertama, menentukan formulasi conic dari masalah; kedua, menentukan dualnya; ketiga, aplikasi smoothing; keempat, menyelesaikan menggunakan suatu metode optimal order satu. Kegunaan pendekatan ini adalah fleksibilitasnya. Suatu estimator yang dipandang efektif secara teori dan praktek adalah selector Dantzig [4], yang ide prosedur sederhananya: mendapatkan estimasi yang konsisten dari data observasi dan mempunyai norma 𝑙1 yang minimum. Selector Dantzig adalah solusi program konveks meminimumkan  𝒙 1, dengan kendala  𝑨∗ 𝒚 − 𝑨𝒙  ∞ ≤ 𝛿, dengan 𝛿 skalar dan diasumsikan kolom matriks 𝐴 dinormalisasikan.     Berdasarkan referensi yang diuraikan tersebut dan terutama berdasarkan paper Lobo, et. al. [8] yang menguraikan masalah program cone order dua maka pada paper ini akan dibahas masalah SOCP dengan mengubah fungsi kendala menjadi fungsi norma 1 dengan domain ℝ+𝒏 .  PEMBAHASAN 1. Second Order Cone Sebelum membicarakan second order conic programming (SOCP), akan dibicarakan terlebih dahulu mengenai SOC sebagai berikut. Untuk itu akan dibicarakan dulu beberapa hal terkait SOC. Ben Tal dan Nemirovski mengatakan suatu cone 𝐾 =  𝒂 ∈ ℝ𝑚  𝒂 ≻ 𝟎 , dengan 𝒂 ≻ 𝒃 ⟺ 𝒂 − 𝒃 ≻ 𝟎 dan ≻ suatu urutan parsial, adalah suatu pointed convex cone yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1. 𝐾 tak kosong dan tertutup terhadap penjumlahan, 𝒂, 𝒂′ ∈ 𝐾 ⟹ 𝒂 + 𝒂′ ∈ 𝐾 2. 𝐾 himpunan conic, 𝒂 ∈ 𝐾, 𝜆 ≥ 0 ⟹ 𝜆𝒂 ∈ 𝐾 3. 𝐾 pointed,  𝒂 ∈ 𝐾 dan −𝒂 ∈ 𝐾 ⟹ 𝒂 = 𝟎.  Dengan urutan parsial pada himpunan 𝐾 di ℝ𝑚  terdapat tiga macam cone berikut: 1. Ortan nonnegatif, ℝ+𝑚 =  𝒙 =  𝑥1, … , 𝑥𝑚  𝑇 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑚  2. Cone order dua  𝐶𝑚 =  𝒙 =  𝑥1, … , 𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚  𝑇 ∈ ℝ𝑚  𝑥𝑚 ≥   𝑥𝑖2𝑚−1𝑖=1  . 3. Cone semidefinit positif, 𝑆+𝑚 , cone dalam ruang 𝑆𝑚  yaitu ruang matriks berukuran 𝑚 × 𝑚 dan memuat semua matriks semidefinit positif 𝑨 berukuran 𝑚 × 𝑚.   PROSIDING                                                                                          ISBN : 978-979-16353-8-7              ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November  2012                                                                                                MA-115 2. Second Order Cone Programming   Diberikan definisi program conic berikut dari Ben Tal dan Nemirovski. Misalkan 𝐾 suatu cone di ℝ𝑚  (convex, pointed, closed, dan dengan interior tak kosong). Diberikan 𝒇 ∈ ℝ𝑛 , matriks kendala 𝑨 berukuran 𝑚 × 𝑛, dan vektor ruas kanan 𝒃 ∈ ℝ𝑚 , masalah optimisasi berikut disebut dengan program conic,                 meminimumkan 𝒇𝑇𝒙, dengan kendala 𝑨𝒙 − 𝒃 ≥𝐾 𝟎 dengan ≥𝐾 urutan parsial pada himpunan cone 𝐾. Jika 𝐾 adalah direct product beberapa SOC, maka masalah program conic di atas disebut dengan masalah second order cone programming (SOCP). Secara umum SOCP dimodelkan sebagai berikut (Lobo et al),                  meminimumkan 𝒇𝑇𝒙,                 dengan kendala  𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 2 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝑑𝑖  (𝑖 = 1, … , 𝑁)                                (1)             dengan 𝒙 ∈ ℝ𝑛  variabel keputusan, dan parameter 𝒇 ∈ ℝ𝑛 , 𝑨𝑖 ∈ ℝ(𝑛𝑖−1)×𝑛 , 𝒃𝑖 ∈ℝ𝑛𝑖−1, 𝒄𝑖 ∈ ℝ𝑛  dan 𝑑𝑖 ∈ ℝ . Kendala  𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝒅𝑖  disebut kendala SOC berdimensi 𝑛𝑖 . Berdasarkan definisi, SOC standar berdimensi 𝑚 didefinisikan sebagai,  𝐶𝑚 =   𝒖, 𝑡  𝒖 ∈ ℝ𝑚−1, 𝑡 ∈ ℝ,  𝒖 2 ≤ 𝑡 . Untuk 𝑚 = 1,  𝐶1 =  𝑡 𝑡 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑡 ,  dan secara geometris dapat digambarkan seperti Gambar 1 berikut.     Gambar 1. SOC 𝐶1 Untuk 𝑚 = 2,         𝐶2 =   𝑢, 𝑡  𝑢 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ,  𝑢 2 ≤ 𝑡               =   𝑢, 𝑡  𝑢 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ,  𝑢 ≤ 𝑡 =   𝑢, 𝑡  𝑢 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ, −𝑡 ≤ 𝑢 ≤ 𝑡 ,  dan secara geometris digambarkan seperti Gambar 2 berikut.          Gambar 2. SOC 𝐶2  Untuk 𝑚 = 3,   𝐶3 =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑡 ∈ ℝ,   𝑥, 𝑦  2 ≤ 𝑡                                =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 , 𝑡 ∈ ℝ,  𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑡 , dan secara geometris digambarkan seperti Gambar 3 berikut.       Gambar 3. SOC 𝐶3 t . 0 𝐶1 𝐶2 𝑡 = 𝑢 𝑡 = −𝑢 𝑢 𝑡 𝐶3 𝑥 𝑦 𝑧  PROSIDING                                                                                          ISBN : 978-979-16353-8-7              ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November  2012                                                                                                MA-116 Lemma 1. Himpunan titik-titik yang memenuhi kendala cone order dua adalah image invers dari cone order dua satuan terhadap pemetaan affine:   𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 2 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝒅𝑖 ⟺  𝑨𝑖𝒄𝑖𝑇 𝒙 +  𝒃𝑖𝑑𝑖 ∈ 𝐶3 dan konveks, i=1,2,...,N. Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan 𝑁 = 1, 𝑛𝑖 = 2 = 𝑛,  𝒃𝑖 = 𝒃,  𝑑𝑖 =𝑑 ∈ ℝ, maka parameter masalah SOCP berdimensi 2 adalah                  𝑨 =  𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 , 𝒃 =  𝑔1𝑔2 , 𝒄 =  ℎ1ℎ2 , 𝒙𝑇 =  𝑥1, 𝑥2 𝑇. Kendala masalah SOCP berdimensi 2:   𝑨𝒙 + 𝒃 2 ≤ 𝒄𝑇𝒙 + 𝑑            ⟺   𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22  𝑥1𝑥2 +  𝑔1𝑔2  2≤  ℎ1 ℎ2 𝑇  𝑥1𝑥2 + 𝑑            ⟺   𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2  2≤ ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑            ⟺   𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1 2 +  𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2 2 ≤ ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑            ⟺  𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑 ∈ 𝐶3 ⟺  𝑨𝒄𝑇 𝒙 +  𝒃𝑑 ∈ 𝐶3.   3. Second Order Cone (SOC) pada SOCP dengan Norma 1 Diberikan masalah SOCP (1). Apabila norma pada fungsi kendala masalah SOCP (1) diubah menjadi fungsi kendala bernorma 1, maka diperoleh masalah SOCP:                    meminimumkan 𝒇𝑇𝒙,                  dengan kendala  𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 1 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝑑𝑖  (𝑖 = 1, … , 𝑁)                                (2) dengan 𝒙 ∈ ℝ𝑛  adalah variabel keputusan, dan parameter 𝒇 ∈ ℝ𝑛 , 𝑨𝑖 ∈ ℝ(𝑛𝑖−1)×𝑛 , 𝒃𝑖 ∈ℝ𝑛𝑖−1, 𝒄𝑖 ∈ ℝ𝑛  dan 𝑑𝑖 ∈ ℝ. Sebelum membahas masalah SOCP (2), perlu didefinisikan pengertian SOC norma 1 sebagai berikut: 𝐶𝑚∗ =   𝒖, 𝑡  𝒖 ∈ ℝ𝑚−1, 𝑡 ∈ ℝ,  𝒖 1 ≤ 𝑡 .  Namun dengan pengubahan tersebut terdapat perbedaan antara SOC standar (norma 2) dengan SOC norma 1 sebagai berikut:  Untuk 𝑚 = 1,  𝐶1∗ =  𝑡 𝑡 ∈ ℝ,  0 1 ≤ 𝑡 =  𝑡 𝑡 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑡 = 𝐶1. Untuk 𝑚 = 2,  𝐶2∗ =   𝑢, 𝑡  𝑢 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ,  𝑢 1 ≤ 𝑡                                 =   𝑢, 𝑡  𝑢 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ,  𝑢 ≤ 𝑡 = 𝐶2. Untuk 𝑚 = 3,   𝐶3∗ =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑡 ∈ ℝ,   𝑥, 𝑦  1 ≤ 𝑡                                 =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 , 𝑡 ∈ ℝ,  𝑥 +  𝑦 ≤ 𝑡 ≠ 𝐶3.  Contoh 1. Merupakan suatu counter example.  Ambil 𝑥 = 12, 𝑦 = 34, 𝑡 = 1, 𝑥, 𝑦, 𝑡 ∈ ℝ. Akan ditunjukkan 𝐶3∗ ≠ 𝐶3. Untuk  𝑥, 𝑦, 𝑡 ∈ 𝐶3, berlaku                  𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑡 ⟺   12 2+  34 2=   14 +  916 =  1316< 1.                          (3) Sementara itu untuk  𝑥, 𝑦, 𝑡 ∈ 𝐶3∗ berlaku  12 +  34 = 54> 1.                                         (4) Dari (3) dan (4) terbukti 𝐶3∗ ≠ 𝐶3.    Lemma 2. Jika 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 adalah SOC norma  .  2  dan 𝐶1∗, 𝐶2∗, 𝐶3∗ adalah SOC norma  .  1, maka berlaku 𝐶1∗ = 𝐶1, 𝐶2∗ = 𝐶2, tetapi 𝐶3∗ ≠ 𝐶3.  Bukti: Jelas 𝐶1∗ = 𝐶1 dan 𝐶2∗ = 𝐶2, sedangkan untuk 𝐶3∗ menurut definisinya      𝐶3∗ =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑡 ∈ ℝ,   𝑥, 𝑦  1 ≤ 𝑡    PROSIDING                                                                                          ISBN : 978-979-16353-8-7              ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November  2012                                                                                                MA-117           =   𝑥, 𝑦, 𝑡   𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 , 𝑡 ∈ ℝ,  𝑥 +  𝑦 ≤ 𝑡 ≠ 𝐶3.  Terbukti 𝐶1∗ = 𝐶1, 𝐶2∗ = 𝐶2, tetapi 𝐶3∗ ≠ 𝐶3.    Secara geometris perbedaan antara 𝐶3∗  dan 𝐶3 terlihat seperti Gambat 4 berikut:             Gambar 4. SOC 𝐶3∗  Lemma 3. Diberikan 𝑥, 𝑦, 𝑡 ∈ ℝ berlaku  𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑡 ⇎  𝑥 +  𝑦 ≤ 𝑡.  Bukti: (dengan counter example) pada Contoh 1.   Berikut ini akan ditunjukkan hubungan kendala SOCP standar dengan kendala SOCP norma 1 dan hubungannya dengan pemetaan affine. Lemma 4. Untuk kendala SOCP (1) dan kendala SOCP (2) terhadap pemetaan affine berlaku hubungan sebagai berikut:  (i)  𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 1 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝑑𝑖 ⟺  𝑨𝑖𝒄𝑖𝑇 𝒙 +  𝒃𝑖𝑑𝑖 ∈ 𝐶3∗  (ii)  𝑨𝑖𝒙 + 𝒃𝑖 2 ≤ 𝒄𝑖𝑇𝒙 + 𝑑𝑖 ⇎  𝑨𝑖𝒄𝑖𝑇 𝒙 +  𝒃𝑖𝑑𝑖 ∈ 𝐶3∗.  Bukti: Tanpa mengurangi keumuman diasumsikan 𝑁 = 1, 𝑛𝑖 = 2 = 𝑛, 𝒃𝑖 = 𝒃, 𝑑𝑖 = 𝑑 ∈ℝ, maka parameter masalah SOCP berdimensi 2 adalah  𝑨 =  𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 , 𝒃 =  𝑔1𝑔2 , 𝒄 =  ℎ1ℎ2 , 𝒙𝑇 =  𝑥1, 𝑥2 𝑇. (i) Diperoleh   𝑨𝒙 + 𝒃 1 ≤ 𝒄𝑇𝒙 + 𝑑 ⟺  𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1 +  𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2 ≤ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑 ⟺  𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑 ∈ 𝐶3∗ ⟺  𝑨𝒄𝑇 𝒙 +  𝒃𝑑 ∈ 𝐶3∗.  (ii) Didapatkan   𝑨𝒙 + 𝒃 2 ≤ 𝒄𝑇𝒙 + 𝑑 ⟺   𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1 2 +  𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2 2                      ≤ ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑              ⟺  𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑔1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑔2ℎ1𝑥1 + ℎ2𝑥2 + 𝑑 ∈ 𝐶3 ⟺  𝑨𝒄𝑇 𝒙 +  𝒃𝑑 ∈ 𝐶3.         Sementara telah diketahui 𝐶3 ≠ 𝐶3∗ , sehingga kendala SOCP (1) tidak ekuivalen dengan pemetaan affine di 𝐶3∗.  KESIMPULAN a. 𝐶1∗ = 𝐶1, 𝐶2∗ = 𝐶2, tetapi 𝐶3∗ ≠ 𝐶3.  𝐶3∗ 𝑥 𝑦 𝑧  PROSIDING                                                                                          ISBN : 978-979-16353-8-7              ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November  2012                                                                                                MA-118 b. Kendala SOCP (1) tidak ekuivalen dengan pemetaan affine di 𝐶3∗. c. Masalah SOCP (2) memerlukan sejumlah teori tambahan agar teori-teori pada SOCP (1) berlaku pada SOCP (2).  DAFTAR PUSTAKA Alizadeh, F. and Goldfarb, D., Second-order Cone programming, Math. Program, 95, 3-51, 2003. Andersen, E.D., Roos, C., and Terlaky, T., Notes on duality in second order and 𝑝-order Cone optimization, A Journal of Mathematical Programming and Operation Research, Volume 51, Issue 4, pages 627-643, 2002. Becker, S., Candes, E.J. and Grant, M., Templates for convex Cone problems with applications to sparse signal recovery, Mathematical Programming Computation, Vol 3, Number 3, 165-218, 2011. Ben Tal, A. and Nemirovski, A., Lectures on Modern Convex Optimization : Analysis, Algorithms, and Engineering applications, MPS SIAM series on Application, Philadelphia, 2001.Candes, E.J. and Tao, T., The Dantzig selector: statistical estimation when p is much larger than n, Annals of Statistics, pages 2313-2351, 2005. Cao, Q., Yu, Z., and Wang, A., A Boxed Optimization Reformulation for the Convex Second Order Cone Programming, AMO-Advanced Modeling and Optimization, Volume 12, Number 1, 2010. Kahl, F. And Hartley, R., Multiple View Geometry Under the 𝐿∞ -norm, IEEE Transactions Analysis Machine Intelligence, Volume: 30, Issue: 9, pages 1603-1617, 2008. Kwak, N., Principal Component Analysis based on 𝐿1 -norm Maximization, IEEE Transactions Analysis Machine Intelligence, Volume: 30, Issue: 9, pages 1672-1680, 2008. Lobo, M.S., Vandenberghe, L., Boyd, S., and Lebret, H., Applications of second-order Cone programming, Linear Algebra and its Applications 284, 193-228, 1998. Schmidt, M., Least squares optimization with 𝐿1-norm regularization, 2005. Diunduh dari http://www.di.ens.fr/~mschmidt/Software/lasso.pdf tanggal 20 Mei 2012 

SECOND ORDER CONE (SOC) DAN SIFAT-SIFAT KENDALA SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Lumbung Pustaka UNY (UNY Repository)