In this paper we give the notion of difference sequence space ()pΔl and study some topological properties of this space. Some Characterization of tensor product are given. ()(),1,pqpqΔ⊗Δ<<∞ll



Key Words : difference sequence, tensor product



Tulisan ini membahas pengertian suatu ruang barisan selisih ()pΔl dan dikaji beberapa sifat topologis ruang ini. Selanjutnya, disajikan beberapa permasalahan produk tensor ()(),1,pqpqΔ⊗Δ<<∞ll

Kata Kunci : barisan selisih, produk tenso

Muslim, Ansori

Indonesian

Lumbung Pustaka UNY  (UNY Repository)

Ruang Barisan Selisih  ( ) ,1p pΔ < < ∞l  dan Beberapa Permasalahan Karakterisasi Produk Tensor ( ) ( )p qΔ ⊗ Δl l   Muslim Ansori  Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Lampung Jln. Soemantri Brodjonegoro No. 1 Bandar Lampung 35145 E-mail: ansomath@yahoo.com ABSTRACT In this paper we give the notion of difference sequence space ( )p Δl  and study some topological properties of this space. Some Characterization of tensor product  are given. ( ) ( ) ,1 ,p q p qΔ ⊗ Δ < < ∞l lKey Words : difference sequence, tensor product  ABSTRAK Tulisan ini membahas pengertian suatu ruang barisan selisih ( )p Δl  dan dikaji beberapa sifat topologis ruang ini. Selanjutnya, disajikan beberapa permasalahan produk tensor  ( ) ( ) ,1 ,p q p qΔ ⊗ Δ < < ∞l l Kata Kunci : barisan selisih, produk tensor   1. Pendahuluan Kajian tentang ruang barisan selisih telah banyak dilakukan antara lain oleh Kizmaz [1], yang mendefinisikan ruang barisan selisih ( )∞ Δl , ( )c Δ  dan ( )0c Δ  sebagai berikut: ( ) { } { }{ }/ :k kX x x CΔ = = ⊂ℜ Δ ∈ X , dengan 0, ,X c c∞= l  berturut-turut merupakan barisan terbatas, barisan konvergen dan barisan konvergen ke nol dengan norm pada X , dengan { }supk kXx x=  dan { } { }1k k kx x x x +Δ = Δ = −  untuk semua k N∈ . Ruang di atas merupakan ruang Banach  terhadap norm  ( ) { }1 supk kXx xΔ = + Δx .Perumuman ruang-ruang tersebut dikerjakan oleh Tripathy dan Esi [4]. Tulisan ini akan memodifikasi pengertian tersebut di atas dengan mengganti ruang ruang 0, ,X c c∞= l  dengan ruang ,1p p< < ∞l , yaitu Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008                                                                            1-33 Ruang Barisan Selisih  ( ) ,1p pΔ < < ∞l  dan Beberapa Permasalahan ..... { }{ }1/ : pp k kkx x C x∞== = ⊂ℜ < ∞∑l  dengan norm . ,  11pppkkx x∞=⎛ ⎞= < ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∑l . Selanjutnya, disajikan beberapa permasalahan produk tensor .  ( ) ( ) ,1 ,p q p qΔ ⊗ Δ < < ∞l l 2. Pembahasan Diberikan ruang barisan selisih ( )p Δl  dengan ( ) { } { }{ }/ :p k kx x C xΔ = = ⊂ ℜ Δ ∈l l p , dan 1k k kx x x +Δ = − .  Proposisi 2.1 Ruang barisan  dengan norm ( )p Δl . , 111ppkkx x x∞=⎛ ⎞= + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠∑  merupakan ruang linear bernorma. Bukti: Di ambil sebarang skalar α  dan β  dan { } { } ( ),k k px x y y= = ∈ Δl . Maka berlaku  { } { } { }k k k kx y x y x yα β α β α β+ = + = +  ( )11 11ppk kkx y x yα β α β∞=⎛ ⎞= + + Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠∑  ( ) ( )11 1 1 11ppk k k kkx y x y x yα β α β α β∞ + +=⎛ ⎞= + + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∑  ( ) ( )11 1 1 11ppk k k kkx y x x y yα β α α β β∞ + +=⎛ ⎞= + + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑  ( ) ( )( ) 11 1 1 11ppk k k kkx y x x y yα β α α β β∞ + +=⎛ ⎞≤ + + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑  menggunakan ketidaksamaan Minkowski   1-34 ( ) ( )1 11 1 1 11 1p pp pk k k kk kx y x x y yα β α α β β∞ ∞+ += =⎛ ⎞ ⎛≤ + + − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ⎞⎟⎠  ( ) ( )1 11 1 11 1p pp pk k k kk kx x x y y yα α α β β β∞ ∞+ += =⎛ ⎞ ⎛= + − + + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ 1 ⎞⎟⎠  ( ) ( )1 11 1 11 1p pp pk k k kk kx x x y y yα α β β∞ ∞+ += =⎛ ⎞ ⎛≤ + − + + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ 1 ⎞⎟⎠  ( ) ( )1 11 1 1 11 1p pp pk k k kk kx x x y y yα β∞ ∞+ += =⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜≤ + − + + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎠ ⎠  1 11 11 1p pp pk kk kx x y yα β∞ ∞= =⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜≤ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎠ ⎠  x yα β= + . Oleh karena itu, ( )p Δl  merupakan ruang linear. Selanjutnya, jika { }0,0,...x θ= =  maka 0θ = . Sebaliknya, jika 0x = , maka 1110ppkkx x x∞=⎛ ⎞= + Δ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 1 0x⇒ =  dan 0kxΔ =  untuk setiap . k N∈Misal , yaitu 1k = 1 1 20 0x x xΔ = ⇒ − = . Karena 1 0x =  maka . Proses ini diteruskan untuk 2 0x =2,3,...k = sehingga diperoleh 0, 1, 2,...kx k= =  atau ( )kx x θ= = . Untuk 1α β= = , jelas berlaku 1 11 11 1p pp pk kk kx y x x y y x∞ ∞= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ≤ + Δ + + Δ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ y  untuk setiap . ( ), px y∈ ΔlTerakhir, untuk sebarang skalar α  dan ( )px∈ Δl  berlaku  ( )111ppkkx x xα α α∞=⎛ ⎞= + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠∑  11 11ppk kkx x xα α α∞ +=⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑  11 11ppk kkx x xα α ∞ +=⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑  Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008                                                                            1-35 Ruang Barisan Selisih  ( ) ,1p pΔ < < ∞l  dan Beberapa Permasalahan ..... 11 11ppk kkx x x xα α∞ +=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ . Oleh karena itu, ( )( , .p Δl )  merupakan ruang linear bernorma.■  Teorema 2.2 ( )( , .p Δl )  merupakan ruang Banach. Bukti : Di ambil sebarang barisan Cauchy { } ( )n px ⊂ Δl  dengan { } ( )1n nk pkx x ∞== ∈l Δ   untuk setiap . Maka untuk sebarang bilangan real n N∈ 0ε > , terdapat bilangan bulat positip  sehingga untuk setiap bilangan bulat positip  berlaku 0n 0,m n n≥n mx x ε− < . Oleh karena itu,   ( )11 11ppn m n m n mk kkx x x x x x∞=⎛− = − + Δ −⎜⎝ ⎠∑ ⎞⎟                                                       ( ) ( )11 1 1 11ppn m n m n mk k k kkx x x x x x∞+ +=⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑                                     ( ) ( )11 1 1 11ppn m n n m mk k k kkx x x x x x∞+ +=⎛ ⎞= − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑                            (2.2a)  ( ) ( )( ) 11 1 1 11ppn m n m n mk k k kkx x x x x x∞+ +=⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑   ( ) ( )1 11 1 1 11 1p pp pn m n m n mk k k kk kx x x x x x ε∞ ∞ + += =⎛ ⎞ ⎛= − + − + − <⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ⎞⎟⎠  sehingga ( )n mk kx x ε− <  untuk setiap bilangan bulat positip  dan 0,m n n≥ 1, 2,...k = . Oleh karena itu { }nkx  merupakan barisan Cauchy di . Karena / Cℜ / Cℜ  lengkap, maka terdapat /kx C∈ℜ  sehingga ( )nk kx x ε− <                                                        (2.2b) untuk setiap  dan . 0n n≥ 1, 2,...k = 1-36 Berdasarkan (2.2a) diperoleh { }nkxΔ  merupakan barisan Cauchy di  untuk . Oleh karena itu terdapat / Cℜ1, 2,...k = /kx CΔ ∈ℜ  sehingga  ( )12nk k kx xε+Δ − Δ < .                                                  (2.2c) Berdasarkan (2.2a), (2.2b) dan (2.2c) diperoleh ( )11 113ppn nk kkx x x x ε∞=⎛ ⎞− + Δ − Δ <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ . untuk setiap  dan . 0n n≥ 1, 2,...k =Namakan ( )kx x= , berakibat lim 3n m nm x x x x ε→ − = − < . Terbukti ( )( ), .p Δl  merupakan ruang Banach.■  Sebagai motivasi untuk menyuguhkan permasalahan produk tensor , terlebih dahulu dibahas produk tensor ( ) ( )p qΔ × Δl l,1 ,p q p q× < <l l ∞ . Diberikan ruang barisan ,p ql l ,1 ,p q< < ∞ . Produk tensor p q×l l  dari pl  dan  didefinisikan sebagai penutup dari ruang linear yang dibangun oleh  ql{ }: ,p qx y x y⊗ ∈ ∈l l  dengan  ( )1 1 1 12 1 2 2 1 2 2. , ,Tx x y xx y x y x y y x y x y⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⊗ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠KK KM M2yM O Diberikan matriks takhingga . Ruang matriks Lebesgue ( )ija ( )q N N×l ,  didefinisikan sebagai berikut: ( ) ( )1 1:qq ij iji jN N a a∞ ∞= =⎧× = < ∞⎨⎩ ⎭∑∑l ⎫⎬q. Kaitan antara produk tensor  dan ruang matriks Lebesgue p ×l l ( )r N N×l  disajikan dalam Lemma berikut.  Lemma 2.3  (i)⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv)  dengan (i)  ( ),r maks p q=(ii)  untuk setiap ( )r p quv u v≤ [ ], 0,u v∈ 1  Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008                                                                            1-37 Ruang Barisan Selisih  ( ) ,1p pΔ < < ∞l  dan Beberapa Permasalahan ..... (iii) x y x y⊗ ≤  untuk setiap ,p qx y∈ ∈l l  (iv)  ( )p q r N N⊗ ⊂ ×l l lBukti:(i)⇒ (ii):(i)  untuk setiap ⇒ 1r p r qu v− − ≤ [ ], 0,1u v∈  yang berakibat (ii). (ii) (iii) :untuk sebarang  ⇒( ) ( )1 20 , , T px x x≠ = ∈ ΔK l  dan ( ) (1 20 , , T qy y y )≠ = ∈K l Δ  berlaku 11piixx∞=⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑  dan 1 1qjjyy∞=⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑ . Karena  1 1rri ji jx yx yx y x yq∞ ∞= =⎛ ⎞⊗ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑  1 1pjii jyxx y∞ ∞= =⎛ ⎞⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∑1 11qpjii jyxx y∞ ∞= =⎛ ⎞⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ .■  (iii) (iv) Di ambil sebarang ⇒ px y q⊗ ∈ ×l l  dengan ,px y q∈ ∈l l . Oleh karena itu, terdapat matriks (  dengan )ija ( ) ( )ij i jx y a x y⊗ = =  dan karena x y x y⊗ ≤  untuk setiap , maka ,px y∈ ∈l ql 1 1 1 1r rij i ji j i ja x∞ ∞ ∞ ∞= = = ==∑∑ ∑∑ y  1 1rri ji jx y∞ ∞= =≤ ∑∑  1 1rr ri ji jx y x y∞ ∞= == =∑ ∑ r < ∞■  3. Simpulan Dan Saran Berdasarkan uraian di atas dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut: 1. Ruang barisan ( )( ), .p Δl  dengan norm 111ppkkx x x∞=⎛= + Δ⎜⎝ ⎠∑ ⎞⎟ merupakan ruang linear bernorma yang lengkap. 2. Berdasarkan Lemma 2.3 dan Kesimpulan 1, Permasalahan baru berkaitan dengan sifat-sifat produk tensor ( ) ( )p qΔ × Δl l  dengan definisi norm tertentu.  1-38 3. Aplikasi ruang-ruang tersebut pada teori operator matriks takhingga dari ruang barisan selisih  ke ruang barisan selisih ( )p Δl ( )q Δl .  4. Daftar Pustaka  [1] Kizmaz,H. (1981), On Certain Sequence Spaces, Canad. Math. Bull.,24,169-176. [2] Kamthan,P.K and Gupta,M. (1981), Sequence Spaces and Series, Marcel Dekker Inc. New York. [3] Maddox, I.J, (1970), Elements of Functional Analysis, Cambridge Univ. Press. [4] Tripathy, B.C and Esi H. (2006), A new type of Difference Sequence Spaces, Intl. Journal of Science and Tech., 1, 1, 11-14.    Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008                                                                            1-39 

Ruang Barisan Selisih lp(Δ), 1< p < ∞ dan Beberapa Permasalahan Karakterisasi Produk Tensor lp(Δ) lq(Δ)

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Lumbung Pustaka UNY (UNY Repository)