Pedalar é bom para o ambiente, para o bolso, exercita os músculos e... gera problemas interessantes de matemática. Numa das cidades com mais mobilidade alternativa do mundo, um grupo de matemáticos está a tentar tornar mais e$ciente o sistema de aluguer por hora de bicicletas. Assim torna-se mais simples ir de um lado para o outro na musical cidade de Viena, capital da Áustria.publishersversionpublishe

Chalub, Fabio Augusto da Costa Carvalho

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Repositório da Universidade Nova de Lisboa

17NA LINHA DE FRENTEFABIO CHALUB  Universidade  Nova de Lisboachalub@fct.unl.ptNA LINHA DE FRENTE Matemática em duas rodasMATEMÁTICA EM DUAS RODASPedalar é bom para o ambiente, para o bolso, exercita os músculos e... gera problemas interessantes de matemática. Numa das cidades com mais mobilidade alternativa do mundo, um grupo de matemáticos está a tentar tornar mais e$ciente o sistema de aluguer por hora de bicicle-tas. Assim torna-se mais simples ir de um lado para o outro na musical cidade de Viena, capital da Áustria.-metria nas rotas. Desta forma, é necessário haver um sis-tema de transporte das bicicletas das estações cheias para as estações vazias. Para isto, há um serviço de carrinhas que circula durante todo o dia, carregando as bicicletas Ora, se há um serviço a ser feito, há um matemático a pensar em como este pode ser otimizado. E sendo Viena não só uma cidade amiga das duas rodas, mas também natural que um grupo de cinco investigadores do Institu-te of Computer Graphics and Algorithms da Universida-de Técnica de Viena se debruçasse sobre o problema [1].-mente, a quantidade de bicicletas que deve estar dispo-nível em cada ponto. Ao contrário do que pode parecer à primeira vista, o ideal não é tê-lo cheio, pois ele serve também para devoluções. Ao não haver espaço para dei-xar a bicicleta, é necessário procurar outro – pagando o tempo necessário para isto. O valor ideal é fornecido pela própria administração da Citybike. A ocupação das di-versas estações de serviço num certo momento é um dos grafo, onde cada ponto de apoio v é um nodo, ao qual associamos uma capacidade máxima Cv , um valor corrente Figura 1. Um posto de serviço da Citybike Wien, temporariamente cheio. (Fonte: Wikimedia Commons).om mais de uma centena de postos e 2500 bicicle-tas de aluguer, a Citybike Wien é uma das maiores e mais antigas empresas de serviços de transporte alter-nativo do mundo. Com um simples registo e com o for-necimento do número do cartão bancário ou de crédito, é possível a qualquer um utilizar uma bicicleta gratuita-mente por uma hora, com um preço crescente no tempo a partir da segunda hora. Estas podem ser recolhidas e devolvidas em qualquer um das centenas de postos de Fazer o serviço funcionar, no entanto, exige algum es-forço dos responsáveis. As deslocações tendem a ser da periferia para o centro na parte da manhã e na direção 18 GAZETA DE MATEMÁTICA  175mais interessado em ter o número correto de veículos disponíveis aos utentes do que em minimizar os custos do rebalanceamento.No entanto, não é possível fazer aquilo a que se chama busca exaustiva, ou seja, olhar todas as possibilidades para escolher a mais adequada. O espaço de soluções a ser in--mo de procura. Inicialmente, desenvolve-se um algoritmo e depois trata-se de melhorar esta solução introduzindo No primeiro caso, utiliza-se o algoritmo glutão (gre-edy): numa carrinha inicialmente vazia, vamos primeiro para as estações cheias, onde as bicicletas devem ser re-colhidas. De cada estação segue-se para aquela que ma-ximiza a quantidade a ser recolhida em relação ao tempo para lá chegar. Repete-se o processo até chegarmos à ca-pacidade máxima do transporte e a seguir é iniciado o processo de entregas. De cada estação vai-se àquela onde a razão entre bicicletas entregues e tempo gasto é maxi-mizado, até a carrinha estar esvaziada. Este algoritmo de-mas que poderia bem servir como ponto de partida para a segunda fase. No entanto, optou-se por usar um algorit-mo (conhecido como PILOT) distinto para gerar uma solu-ção melhor do que a do caso anterior (ainda que também Para a segunda fase, na qual a solução inicialmente obtida é sucessivamente melhorada, usa-se o que é co-nhecido como Variable Neighborhood Descent, que procu-ra soluções melhores, próximas da que já foi obtida, até atingir um ótimo local (ou seja, tal que pequenas modi-produz-se uma perturbação maior, de forma a escapar deste ótimo local e a procurar algum outro, que seja pos-sivelmente ainda melhor. Assim se segue até se encontrar algo que seja satisfatório (mesmo que não seja, já que isto não é possível saber, o ótimo global – a melhor de todas as soluções).O algoritmo foi testado com os dados reais, numa rede que à época tinha 92 pontos, com bons resultados. No en-tanto, para uma rede tão pequena, os primeiros algorit-mos já forneciam uma resposta razoável e com instruções simples, e, de facto, próximo do que já era implementado de forma intuitiva pela Citybike Wien. As verdadeiras di-700 nodos) mostrando também quais os algoritmos mais pv e valor ideal qv. Cada arco que liga dois nodos u e v é associado ao tempo tu,v que uma carrinha demora a ir de um ponto ao outro. Há também um último nodo, repre-sentando o , onde as carrinhas passam a noite.As carrinhas têm de percorrer o grafo acima, carre-gando e descarregando bicicletas pelos diversos pontos de apoio de forma a rebalancear o sistema da melhor maneira possível e no mínimo tempo. Evidentemente, neste ínterim já há um novo desbalanceamento e o ser--rinhas não alterará as suas instruções até que o mesmo esteja completo. Sobre isto, dizemos que o processo de otimização é "estático". (A quantidade instantânea de bi-cicletas disponíveis pode ser consultada no http://www.citybikewien.at).Evidentemente, há várias restrições ao serviço. As carrinhas têm uma capacidade máxima e também mí--pósito, e as viagens começam e terminam vazias, pois as bicicletas não podem passar a noite nas carrinhas es-tacionadas (o depósito de carrinhas é aberto ao público e não há forma prática de prender as bicicletas nas car-rinhas). Algumas soluções podem ser particularmente curiosas, como uma carrinha deixar um certo número de bicicletas num ponto de apoio que logo a seguir será vi-sitado por outra carrinha, que as recolherá. Além de ha-ver certos inconvenientes práticos desta solução (como, por exemplo, um único atraso resultar num efeito em cascata), matematicamente é necessário impor que a cada momento o número de bicicletas disponíveis em cada posto seja um número maior ou igual a zero. Além disto, os estudos numéricos mostram que se considerar-mos que numa volta completa de rebalanceamento, cada estação será apenas carregada ou descarregada, a solução usam as estações como local de armazenamento tempo-rário de bicicletas. Dizemos que consideraremos apenas as soluções em que a disponibilidade de bicicletas em cada estação é uma função monótona do tempo.estação com o número ideal de bicicletas, isto frequente-mente não é possível. Portanto, o objetivo é o de minimi-zar esta diferença. Leva-se em conta, também, mas como centena de milésimo), o tempo necessário para o serviço, incluindo não só o tempo do transporte mas também o -nidos pelos serviços da empresa, que se mostrou muito 19NA LINHA DE FRENTE Matemática em duas rodasFigura  . Dois exemplos de solução gerada inicialmente. No primeiro caso (acima), a carrinha segue o percurso ditado pelo algoritmo glutão, recol-hendo sete bicicletas na primeira paragem, e deixando cinco, uma e um nas três paragens seguintes, antes de voltar ao depósito, menos de meia hora após iniciar o percurso. No segundo caso (abaixo), gerado pelo PILOT o funcionário da Citybike Wien recolhe sete, cinco, deixa quatro, volta a recolher oito e deixa cinco, cinco e uma, antes de voltar ao depósito em 28 minutos. Nos dois casos, a procura de soluções foi limitada àquelas em que a carrinha voltava ao depósito em, no máximo 30 minutos. Figuras gentilmente cedidas pelos autores do artigo [1] em particular G. Raidl.restrições a serem implementadas (número de carrinhas, por exemplo). Assim, os resultados do trabalho são, de certa forma, modestos, mas mostram como, em proble-mas ainda mais complexos do que aquele com que es-seus algoritmos de solução pode ser crítica.REFERÊNCIAS[1] Marian Rainer-Harbach, Petrina Papazek, Günther R. Raidl, Bin Hu, Christian Kloimüllner. "PILOT, GRASP, and VNS approaches for the static balancing of bicycle sharing systems", Journal of Global Optimization, publica-ção online: 02 abril 2014.ERRATUM1             	      

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