Nociones básicas de probabilidad: experimentos aleatorios, operaciones con sucesos, ejercicios

Arnal, A.

Castelló Benavent, Joaquín

Galindo, Carlos

Gregori, Pablo

Martínez, Vicente

Momparler Pechuán, Juan

Sanchis López, Manuel

Repositori Institucional de la Universitat Jaume I

MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAU2. Nociones ba´sicas de probabilidadDefinicio´nUn experimento aleatorio es un experimento o feno´meno que puede ser repetido bajo lasmismas condiciones iniciales y que al hacerlo presenta las siguientes caracter´ısticas:Antes de realizar cada prueba, el resultado no puede saberse con certeza.Se sabe el conjunto de resultados posibles.Al hacer series largas de pruebas se presenta cierta regularidad en la frecuencia de resul-tados obtenidos.EjemplosPara que te hagas una idea, te ponemos algunos ejemplos de experimentos aleatorios:Tirar dos dados varias veces (pongamos 5) y anotar la suma de los puntos que indican.Tirar una moneda varias veces (pongamos 7) y anotar el nu´mero de cruces obtenidas.En una empresa de bombillas seleccionar una de ellas y dejarla encendida 100 horas ano-tando si se funde o no.Registrar en un hospital el peso de los bebe´s que nacen.6MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAUDefinicio´nAl realizar un experimento aleatorio pueden obtenerse diferentes resultados. El conjunto detodos los resultados posibles se llama espacio muestral asociado al experimento. Este conjuntosuele representarse con la letra griega omega mayu´scula Ω.EjemplosVolviendo a los ejemplos anteriores, los espacios muestrales correspondientes son:Ω = {2, 3, . . . , 12}Ω = {CCCCCCC,CCCCCCX, . . . ,XXXXXXX}, donde C quiere decir que ha salidocara y X que ha salido cruz.Ω = {encendida, fundida}.Ω es el conjunto de los nu´meros reales positivos, podemos convenir que su medida estara´ enun intervalo real, por ejemplo Ω = [20, 99], donde los valores esta´n en cm.Definicio´nLos espacios muestrales pueden ser de dos tipos:Finitos. Es decir el nu´mero de elementos del espacio muestral se puede contar.Infinitos. El nu´mero de elementos del espacio muestral no se puede contar.Ca´lculo de Probabilidades 7MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAUObservacio´nEsta´ claro que en los ejemplos anteriores, so´lo es infinito el u´ltimo espacio muestral.Definicio´nConsideremos ahora un experimento aleatorio que denotamos E cuyo espacio muestral es Ω.Se llama suceso S de un experimento aleatorio E a un subconjunto de Ω. Es decir, hecho elexperimento E nos preguntamos si “algo”S relacionado con ese experimento ha podido ocurrir.Ese “algo”sera´ un posible suceso. Los sucesos los dividimos en diferentes tipos:Suceso simple o elemental. S tiene so´lo un elemento.Suceso compuesto. S tiene ma´s de un elemento.Suceso seguro. S = Ω. Estos sucesos siempre suceden.Suceso imposible. S = ∅. Estos sucesos no ocurren nunca.EjemploVamos a considerar el experimento aleatorio E que consiste en “tirar una moneda variasveces (pongamos 7) y anotar el nu´mero de cruces obtenidas”.Recordar que el espacio muestral el Ω = {CCCCCCC,CCCCCCX, . . . ,XXXXXXX}.Aparte de los casos S = Ω, suceso seguro y S = ∅ suceso imposible, podemos considerarmuchos mas sucesos.Por ejemplo S = {CCCCCCC}. Este suceso ocurre cuando al tirar la moneda siete vecessiempre sale cara y es un suceso elemental.Otro caso ser´ıa S = {CCCCCCC,CCCCXXX,XXXXXXX}. ¿Cuando ocurre este su-ceso? Ocurre cuando al tirar la moneda salen siete caras, siete cruces o las cuatro primeras vecessale cara y las tres restantes cruz.Ca´lculo de Probabilidades 8MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAUDefinicio´nLos sucesos son pues subconjuntos S del espacio muestral Ω, es decir indican cosas que puedenocurrir al realizar un experimento aleatorio. Al ser subconjuntos pueden hacerse operaciones deconjunto entre ellos para dar lugar a otros sucesos. Partiendo de dos sucesos S y S′ veamoscuales son las posibilidades:Suceso disyuncio´n o unio´n. Se representa por S ∪ S′ y ocurre cuando pasa al menosuno de ellos, S o S′.Suceso conjuncio´n o interseccio´n. Se representa por S ∩ S′ y ocurre cuando pasan a lavez S y S′.Suceso diferencia. Se representa S − S′ y ocurre so´lo cuando pasa S pero no S′.Suceso contrario o complementario. Se representa Sc y coincide con Ω−S. Este sucesoocurre so´lo si S no ocurre. En ocasiones tambie´n se representa S en lugar de Sc.Suceso disyuncio´n exclusiva. Se representa S4S′ y es (S − S′) ∪ (S′ − S). Este sucesoocurre si y solo si pasa o bien S o bien S′ pero no ambos.EjemplosAhora vamos a considerar el experimento aleatorio E que consiste en “tirar una monedatres veces y anotar el nu´mero de cruces obtenidas”. Esta´ claro queΩ = {CCC,CCX,CXC,CXX,XCC,XCX,XXC,XXX}.Consideremos S = {CCC,CCX,XXX} y S′ = {CCC,XXC,XXX}. Es decir pasa S sisalen tres caras, dos caras y una cruz (en ese orden) o tres cruces. ¿Que ha de pasar para quesalga S′?.El suceso disyuncio´n S ∪ S′ sera´ {CCC,CCX,XXC,XXX}. Es decir o tres caras o trescruces o dos caras y una cruz (en ese orden) o dos cruces y una cara (en ese orden).El suceso conjuncio´n S ∩ S′ sera´ {CCC,XXX}, pues esta´ en ambos conjuntos S y S′.El suceso diferencia S − S′ sera´ simple e igual a {CCX} que esta´ en S pero no en S′.Con respecto al suceso contrario, se tiene Sc = {CXC,CXX,XCC,XCX,XXC}, es decirlos de Ω salvo los de S.Finamente el suceso disyuncio´n exclusiva S4S′ es {CCX,XXC}.Ca´lculo de Probabilidades 9MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAUPropiedadesLas operaciones ∪, ∩ y c, llamadas disyuncio´n, conjuncio´n y complementario, satisfacenalgunas buenas propiedades que puedes ver a continuacio´n. Aqu´ı, P,Q,R son sucesos.Distributiva unio´n-interseccio´n P ∪ (Q ∩R) = (P ∪Q) ∩ (P ∪R).Distributiva interseccio´n-unio´n P ∩ (Q ∪R) = (P ∩Q) ∪ (P ∩R).Diferencia P −Q = P ∩Qc.Leyes de DeMorgan• (P ∩Q)c = P c ∪Qc.• (P ∪Q)c = P c ∩QcEjerciciosEjercicio 1. Tienes un dado comu´n con seis caras y las coloreas del modo siguiente: de colorazul la cara 1, de color morado las caras 2 y 3 y de color negro las caras 4,5 y 6. Al tirar el dado,so´lo tienes en cuenta el color que sale. Se pide:1. Indica el espacio muestral.2. Determina todos los sucesos posibles.3. ¿Cua´l es el suceso contrario a salir negro?4. ¿Cuales son todos los sucesos posibles que incluyen salir morado?Solucio´n:1. El espacio muestral contiene tres elementos asociados a los colores posibles Azul, Morado,Negro. Luego es Ω = {A,M,N}.2. Los sucesos posibles son los subconjuntos de Ω; como Ω tiene tres elementos, el nu´merode subconjuntos es 23 = 8. La solucio´n es{∅, {A}, {M}, {N}, {A,M}, {A,N}, {M,N},Ω} .Ca´lculo de Probabilidades 10MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAU3. El suceso contrario a ser negro que representamos {N}c, es Ω − {N} y por lo tanto es{A,M}.4. Sera´n todos los subconjuntos de Ω que contengan a M , por lo tanto {M}, {A,M}, {M,N}y el total Ω (que es {A,M,N}.Ejercicio 2. Tienes un domino´ y se supone que sus fichas esta´n “boca abajo”. Realizas elexperimento aleatorio que consiste en dar la vuelta al azar a una ficha y sumar los puntos quetiene. Escibiremos si el suceso que consiste en destapar una ficha y que sus puntos sumen i. Sepide:1. ¿Cuantas fichas tiene un domino´? ¿Cuanto pueden sumar sus fichas?2. ¿Cua´l es el espacio muestral del experimento anterior? ¿Cuantos sucesos puedes consideraren el experimento anterior?3. Explica el sentido de los sucesos: s0 y s5 ∪ s10.4. Explica que´ significa (s6 ∪ s12)c y quie´n es.Solucio´n:1. Un domino´ tiene dos partes con puntos que van desde 0 hasta 6. Tiene 7+6+5+4+3+2+1fichas pues si empezamos contando las parejas de la blanca 0 puntos tenemos 7, pero alcontar las parejas de 1 solo hay seis pues la pareja con blanca ya ha sido contada, reiterandose llega a la operacio´n anterior. En definitiva hay 28 fichas. Cada ficha puede sumar desde0 “blanca doble”hasta 12, el “seis doble”.2. Esta´ claro pues que Ω = {s0, s1, . . . , s12}. Y el nu´mero de subconjuntos de Ω que es elnu´mero de sucesos sera´ 213 ya que Ω tiene 13 elementos.3. s0 es el suceso consistente en que al destapar la ficha sume o puntos. Es decir que desta-pemos la “blanca doble”. El suceso s5 ∪ s10 indica que al destapar la ficha sume o bien 5puntos o bien 6 puntos. Por ejemplo ese suceso suceder´ıa cuando sacamos una ficha (1, 4)o una (3, 3) o (1, 5), etc.4. El suceso (s6 ∪ s12)c es el contrario a (s6 ∪ s12) y quiere decir que al destapar la ficha, suspuntos no suman ni 6 ni 12. Ser´ıa el suceso {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s7, s8, s9, s10, s11}.Ejercicio 3. Considera el experimento aleatorio E que consiste en tirar una moneda 3 veces.Supo´n que P y Q los sucesos siguientes P = {CCX,CXX,XCC}, Q = {CCX,CXX,CCC,XXX}y R = {CCX,CXX,XCX}. Comprueba que para dichos sucesos se cumplen:1. La propiedad distributiva unio´n-interseccio´n.2. La primera ley de DeMorgan para P y Q.3. La segunda ley de DeMorgan para P y Q.Ca´lculo de Probabilidades 11MOOCUJI:LaProbabilidadenlas PAUSolucio´n:1. Se trata de probar que P∪(Q∩R) = (P∪Q)∩(P∪R). Ahora Q∩R = {CCX,CXX} y P∪(Q∩R) = {CCX,CXX,XCC}. Por otra parte, P∪Q = {CCX,CXX,XCC,CCC,XXX}y P∪R = {CCX,CXX,XCC,XCX}, con lo que (P∪Q)∩(P∪R) = {CCX,CXX,XCC}.2. Se trata ahora de comprobar que (P ∩ Q)c = P c ∪ Qc. Pero P ∩ Q = {CCX,CXX} y(P ∩Q)c = {CCC,CXC,XCC,XCX,XXC,XXX}.Por otra parte P c = {CCC,CXC,XCX,XXC,XXX} y Qc = {CXC,XCC,XCX,XXC}y, finalmente, P c∪Qc = {CCC,CXC,XCC,XCX,XXC,XXX}, lo que concluye la com-probacio´n.3. Aqu´ı hay que probar (P ∪Q)c = P c∩Qc, como P ∪Q = {CCX,CXX,XCC,CCC,XXX}el resultado que hemos de comprobar es que (P∪Q)c = {CXC,XCX,XXC}. Comprue´ba-lo tu´ mismo/a.Ca´lculo de Probabilidades 12

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