First published in Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales in volume 82, number 2, published by the Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.In this paper we develop an axiomatic theory for the multivalued degree that preserves the basic properties of the classical degree. We apply it to obtain fixed point theroems and existence of solution fix) = p. We give a method to extend this degree

López Acedo, Genaro

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Axiomática para el grado muitivaluado Por GENARO LÓPEZ ACEDO Recibido: 4 mayo 1988 Presentado por el académico correspondiente D. Antonio de Castro Brzezicki Abstract In this paper we develop an axiomatic theory for the multivalued degree that preserves the basic properties of the classical degree. We apply it to obtain fixed point theroems and existence of solution fix) = p. We give a method to extend this degree. INTRODUCCIÓN y NOTACIÓN En el trabajo que se presenta se construye una axiomática para un grado muitivaluado. El hecho de tomar éste valor sobre conjuntos nos ha obligado a introducir determinados cambios respecto de la axiomática del grado uni-valuado (véase [2]), cuidando que éstos no afectaran la deducción de las pro-piedades más importantes. La modificación fundamental se introduce en el axioma de descomposición en el que, en determinados casos, se ha tenido que cambiar la igualdad por una contención; lo cual permite aún obtener teo-remas de existencia para la ecuacuón f(x) = p o análogamente la obtención de puntos fijos. En la segunda parte del trabajo construimos un método ge-neral de extensión, que permite, definido el grado sobre una clase de funcio-nes, extenderlo automáticamente a una clase más amplia formada por lími-tes puntuales de la anterior clase. Como ejemplo de aphcación definimos un grado para las funciones propias definidas en abiertos no acotados de espa-cios de dimensión finita. A lo largo de este trabajo (X, 7) representará un espacio vectorial topo-lógico. Para un subconjunto G de X, Gl{G) denotará el cierre de G y Fr{G) la frontera de G. Consideraremos los siguientes conjuntos. 1. C{G) = {F : Cl{G) C Z —> 7 \Fes continua 1. 2. P{G) = {F : Cl{G) C R^—> R"" \Fes propia y continua } . Por Z denotaremos el conjunto de los números enteros y Z* represen-tará a Z U { + 00} U {-oo}. SiA,B C Z * entonces yl +B= {a EZ'^la = a^ + a2,a^ eAa2^B]. Por definición { + 00 ].-|-{— 00 } = Z * . Por último II • 11^  representará la norma euclídea. 250 GENARO LOPEZ ACEDO 1 AXIOMÁTICA En esta sección se construye un sistema axiomático que recoge los di-versos modelos de grado definidos hasta ahora. Definición 1.1: Sean (X, T) e (F, T') dos espacios vectoriales topológi-cos, W una famila de abiertos de T de forma que 0 E H / y P i / 9 ^ { 0 } . Para cada G átW seaM(G) un subconjunto de C(G) verificando: 1 . / ELMÍG) para todo G de W donde / será una aplicación distinguida que, en el caso de ser Z = F, coincidirá con la identidad. 2. SiGi,GGW/, Gi C G y FGM(G) se tiene F / a ( G i ) ^ i l í ( G i ) . 3. Si F EiMiG), para todo p perteneciente a X se tiene F — p E:M{G). A la familia M{W) = {MiG)/G G Pi^  } se denominará una clase admisi-ble de aplicaciones. Sea H(G) una clase de homopatías definidas del conjunto M(G) y que incluyen a las de la forma F — tp donde F G M{G), p EXy t E:[0, 1 ] . A la familia H{W) = {H(G)/G G )V } la denominaremos una clase admisible de homopatías paraikí(íi/). Definición 1.2: Sean (X, T), (7 , T'), W,M{W) en las condiciones de la definición (1.1), si a cada tripleta (F, G, p) donde p E G, F ^ M(G) y p ^ Cl{F{Fr{G)) le asociamos un subconjunto de Z*, diremos que esa apli-cación es un multivaluado si verifica los siguientes axiomas: l .Z) ( / ,G,p)= {1} s i /?GGyZ)(/ ,G,p) = O s i p ^ G . 2. Si G G PJ/ y d , G2 son subconjuntos abiertos y disjuntos de G y FEM{G) conp^ aiCl(G) - (Gi U G2)) se tiene: DiF, G,p) C D(F/CKGO, G,,p)-¥DiFICKG^), G^,?) dándose la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la forma {a} con aEiZ. 3. Si G G K/, iiT : [O, 1 ] X Xl{G) —> Y pertenece a H{G) e {yt ) es una curva continua en Y que verifica yt ¿ Cl(H(t x Fr(G)) para todo t de [O, 1] se tiene que D{H{t,.), G, yt) es constante para todo t de [0 ,1] . AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 251 Proposición LI: El sistema axiomático anterior es compatible y los axiomas (1), (2) y (3) son independientes. Demostración: Para probar que es compatible basta considerar el grado de Brouwer y definir D{F, G, p) = {CÍBÍF, G,p)}. Veamos la independencia de los axiomas: 1. El axioma (1) es independiente de los axiomas (2) y (3) como se ob-serva definiendo D(f, G,p) = + ^ para cualquier/, Gyp. 2. El axioma (2) es independiente de (1) y de (3) como se comprueba definiendo D{F, G,p)= {ds (F, G, pf } . 3. El axioma (3) es-independiente de los axiomas (1) y (2). Definimos el grado de la siguiente forma: D(F, G, p) = {1} si p ^ G y para todo abierto U E: W do forma que p E í/ se tiene F/Cl(U) = I y D(F, G, p) = {0}en otros casos. Este grado verifica los axiomas (1) y (2) pero no verifica el axioma (3) pues si se verifica este axioma sería válida la igualdad D{I, G, p) = D(I — p, G, p), que en este caso no lo es. Teorema 1.1: En las condiciones de la definición (1.2) son ciertos los siguientes enunciados: 1. Si existen G E K / y p G F d e forma que D{F, G, p) está bien definido se tiene /)(F, (l),p)= {O}. 2. Si K es un subconjunto de G de forma que G — K^Wysip^ F{K) se tiene D(F, G, p) = D(F, G - K, p). 3. Si p ^ aiF(G)) se tiene DiF, G, p) = {O}. 4. Se tiene F{G) es cerrado y D{F, G, p) =# {0}existe x de G verifican-do F(x) = p. 5. Para todo ç de 7 se tiene D{F, G, p) = D{F ~p,G,p-q). Demostración. 1. Si se aplica el axioma (2) con Gj = G, G2 = 0 y F = / se deduce que D{I, (p, p) = {O} y, aplicando el axioma (3), se obtiene el resultado. 2. En el axioma (2) se considera Gi = G — K y G2 = 0 . Basta probar que p ^ Cl(F{Cl(G) ~ {G, U G2))) o sea que p ^ CKF{CKG) -(G - K)) lo que es cierto al ser CJ{G) ~ {G ~ K) = Fr(G) U Ky saber por hipótesis que p í Cl{F{Fr{G)) y que p í F{K). 252 GENARO LOPEZ ACEDO 3. Se deduce del axioma (2) y del apartado uno del teorema conside-rando Gi = G2 = 0 . 4. Se deduce directamente del apartado anterior. 5. Basta aplicar el axioma (3) considerando la homopatía H{t, x) = F(x) — tqyh curva yt = P — tq. Teorema 1.2: Sea G un subconjunto abierto y acotado de Z y F una función de Cl{G) C Z en Z de forma que F E M{G) y O E G. Si se cumplen las tres condicones siguientes: 1. (/ - íF) E M{G) para todo t del intervalo [O,-1 ]. 2. (/ - tF)iFr(G)) e (/ - F)(C/(G)) son cerrados, 3.Fix)i^mxsim> 1 yxEFr(G). existe un punto fijo de F en G. Demostración: Vamos a probar que (*) Z)(/, G, 0) = / ) ( / — F, G, 0) de donde se obtiene fácilmente el resultado. De las hipótesis dos y tres se dedu-ce que O í C/((/ — tF)(Fr{G)). Por tanto se puede aplicar el axioma (3) a la homotopía / — íF y a la curva j ; ^ = O de donde se obtiene (*). 2 EXTENSION DEL GRADO En esta sección se contruye un método general de extensión del grado que recoge las diversas ideas utilizadas para la extensión del grado tanto en el caso univaluado como en el multivaluado. Definición 2.1: (Z, D , (7, T') espacios topo lógicos, W, M{W) y H{W) familias admisibles de abiertos, funciones y homopatías respectivamente. Un esquema admisible de aproximación de grado viene dado por una familia numerable de conjuntos {(Z„, r„ ) , (7„, Tj,), H^„ ,M„(H/),^„(H/),i)„ }don-de (X„, r „ ) y (F„, T^) son espacios vectoriales topológicos y Wn, Hn(W), Mn(.W) son respectivamente familias admisibles de conjuntos, funciones y homotopías y Z)„ un grado multivaluado definido sobre ellas de forma que dados GeW,Fe MiG) y pG 7existenF„ ^M^iW), G„ E H/„ y p„ E F„ verificando: 1. Si G' y G pertenecen a MiW) y G' E F se tiene Gj, E G„ y además iF/CliG'))n=FJCKG'^). AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 253 2. Si / es la aplicación distinguida de Z en Fen F, /„ son las aplicacio-nes distinguidas de Z„ en F„. 3. Si p ^ Cl{F{Fr{G))) existe un UQ de forma que si n > WQ se tiene que p „ € a ( F , ( F r ( G J ) ) . 4. Si Gi y G2 son disjuntos G m y G2 son disjuntos. 5. Si Gj y G2 son dos subconjuntos abiertos y disjuntos de un abierto G átW y p € Cl{F{Cl{G) - (G^ U G2))) existe un n^ de forma que si n > no se tiene que p € CliF^iCliGn) - G„) - (Gi„ U ^2^))). 6. Si G G W, H E H{G) e j ^ es una curva continua en Y de forma que yt € Cl{H{t X FriG))) existe un w^  de forma que si w > ^^ se tiene Hn eH.iGn) e yt, € CHH^it x FKG„))). Definición 2.2: Sean (X, J) , (7 , T') dos espacios topológicos, W,M{W) y iy(IV) familias admisibles de conjuntos, funciones y homopatías respecti-vamente y {{Xn, Tn), {Yn, T^), Wn, Mn{^^^),Hni^V), Dn } uua aproximación admisible. Sean G G W, FEMiG) y p ë Cl{F{Fr{G))). Definimos: D{F, G,p)= {zEZ^ \ Existe {z,.} convergente a z donde nj es una sucesión monótona creciente de números naturales y z„^ . ED,.{FnpPnj))• Teorema 2.2: En las condiciones de la definición anterior i) es un grado multivaluado para (Z, T) (F, T'W, M{W) y H(W). Demostración: De las propiedades dos, tres y cuatro se deduce directa-mente que el grado está bien definido, D(F, G, p) ¥= W, y la verificación de los axiomas (1) y (3). Pasamos a demostrar que se verifica el axioma (2). Sean G?i y G2 subconjuntos abiertos y disjuntos de Gy p € Cl{F{Cl{G)— (Gi U ^2)))- Tenemos que para todo n se verifica que Gi, y ^2^ son dis-juntos y que existe un WQ tal que si n > nQ se tiene p ¿ Cl{Fn{Cl{Gn) — (Gi„ U G2„))) y por tanto D{Fn,Gn.Pn)QD{FjG,n.G,,Pn)'rD{FlG2n.Pn)' y partir de aquí probaremos que D{F, G, p)CDiF/CliG, lG,,p) + DiFlCKG^), G^.p) y que se da la igualdad si alguno de los dos sumandos es de la forma {a }con aE.Z. 254 GENARO LOPEZ ACEDO Si +.00 G D(F/CKG, l Gi,p) y-00 e DÍFICKG2 ), G2, P\ el resulta-do sería trivial, luego a partir de ahora, suponemos que no se da esta situa-ción (que llamaremos situación (*)). Sea a G D{F, G, p) siendo a un número entero. Entonces existe {rij} de forma que a E D^ÁFn-, Pn,) Y por lo tanto se tiene que a^. + à^. = a„ . con ) , al. G D„¡{.F„.ICl{G^ siendo las sucesiones {a\ .} y {a^.} acotadas, pues en caso contrario estaría-mos en la situación (*), por tanto ambas sucesiones tienen subsucesiones convergentes y sin perder generalidad podemos suponer que ellas mismas convergen hacia a^ y a?" verificándose a^  + a^ = a, a^ E D^ -(Fn JCliGmj), GinpPnj)Ya^ e D^./CKG2n^l G2np Pn^l Así a' E DiF/CKG,), G,, p) Y a^ G D(F/aiG2), G2, p) con lo que a E D)F/CliG2), G2P) como que-ríamos ver. Si + 00 G D{F, G, p) (el caso - 00 G D{F, G, p) es análogo) entonces existe una sucesión {a„.} divergente a + 00 donde a^. ED^XF^., G„.,p„.) y 4y + cilj- = dnf con a¿. E DnjiF^j.ICKG^^.), G^^p Pnj)^ ^Ij ^ DniFnlGl{G2n)^ ^2«? Pn')\ pasando a subsucesión de nuevo debe existir al menos una de {u^.} o de {.a^  .} que diverge a + «> con lo que en este caso también quedaría probado. Por último veamos que si uno de los sumandos, por ejemplo D(F/Cl (Gi ), Gi, p), es de la forma {a } con a G Z se da la igualdad, o lo que es lo mismo que en este caso también se tiene Z)(F/C/(Gi), Gi p) + DÍF/CIÍG2), G2, p) C D{D{F, G, p). En la hipótesis que suponemos se tiene que a partir de un cierto valor de n DniF^/CliGín), G^, p) = {a}, pudiendo suponer que esto es cierto para todo n. Ahora bien si A: G D(F/Cl(Gi), Gi, p) + D(F/Cl{G2), G2, p) Y k E Z (en otro caso la demostración sería la misma) existirá {rij} verificando k — a E Dn(FnCl(G2nX G2nj^ Pnu con lo que aEDn{Fnj-ICl{G,^.\ G,^., p^^) + D,{F^.ICl{G2ni\ G2„,-,p«p y de aquí el resultado es inmediato. Por último damos como ejemplo de este método de extensión la defini-ción del grado en abiertos no acotados de i?" para funciones propias; par-tiendo del grado de Brouwer que como sabemos está definido para abiertos acotados de i? ^ . Ejemplo.— Consideremos el esquema de aproximación dado por: l . ( X T) = {R\ II • hy^W = {G Ci?« I G abier todei?M;M(G) = P(G);HiG) = todas enM(G). 2. (Z„, Tn) = (i?", II ' WE); Wn = {GCR^G abierto y acotado de R^};DniFn,Gn,Pn)= {dBÍFn,Gn,Pn)}-AXIOMÁTICA PARA EL GRADO MULTIVALUADO 255 Por Último definimos G„ = B(0, n) ñ G,Fn = F/Cl(Gn) y Pn — P-Es inmediato comprobar que el esquema de aproximación verifica todas las propiedades exigidas en la definición (2.1). BIBLIOGRAFÍA [1] B R O W D E R F : B . A N D P E T R Y S H I N . W . V . The topological degree and Galerkin approxima-tion for no compact operators in Banach spaces. Bw// Amer, Math, Soc. 74(1968), 641-646. [2] L L O Y D . N . G . "Degree Theory" Cambridge University Press, London, (1978). Departamento de Análisis Matemático Universidad de Sevilla 

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