First published in Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas in 93, 4 (1999) published by the Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.En este artículo, se estudia un proceso de decisión de exponencialidad basado en la función de esparcimiento para observaciones no censuradas. Existen muchos tests en la literatura estadística cuando la distribución de la hipótesis alternativa en N.B.U.E. y, usando métodos de simulación, comprobamos que es más potente que los clásicos propuestos

Fernández Ponce, José María

Gómez Gómez, María Teresa

Suárez Llorens, Alfonso

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp) Vol. 93, M" 4, pp 451-455, 1999 Monográfico: Problemas complejos de decisión. II PROCESO DE DECISION BASADO EN LA FUNCIÓN DE ESPARCIMIENTO (Distribución exponencial/esparcimiento/índice de GinifAMS clasificación: 62N05) J. M. FERNÁNDEZ PONCE*, M. T. GÓMEZ GÓMEZ, A. SUÁREZ LLORENS * Dpto. de Estadística e I.O. Facultad de Matemáticas, Universidad de Sevilla, 41012-Sevilla. RESUMEN En este artículo, se estudia un proceso de decisión de exponencialidad basado en la función de esparcimiento para observaciones no censuradas. Existen muchos tests en la literatura estadística cuando la distribución de la hipótesis alternativa en N.B.U.E. y, usando métodos de simulación , comprobamos que es más potente que los clásicos propuestos. 1. INTRODUCCIÓN Kochar y Wiens (1987) estudiaron algunos órdenes parciales entre distribuciones de vida con respecto a sus propiedades de envejecimiento. Sea X una variable alea-toria que representa el tiempo de vida de un sistema o componente con función de distribución (f.D) F y sopor-te en [O, 00). Se define la función de vida residual media como: ¡Áp{x) = E(X - -^ |;^ >;,). Se dice que F es Nueva Me-jor (Peor) que la usada en esperanza, es decir, distribu-ción NBUE (NWUE), si ¡u^ix) ^{^)jUj.(0) VJC^O. Se comprueba fácilmente que la distribución exponencial es NBUE y NWUE debido a la propiedad de falta de memo-ria. Kochar y Wiens (1987) definieron el siguiente orden parcial entre funciones de distribución: / ' < ' G ¡ f f ^ ' < ^ - ' ( " » ^ En la sección 2, definiremos la función de esparci-miento como un L-funcional generalizado, la cual fue utilizado para caracterizar distribuciones de vida en Fer-nández Ponce et al. (1998). La función de esparcimiento cuantifica la dispersión por la derecha del u-ésimo cuan-til de la distribución. El estimador natural de esta función es consistente y asintóticamente normal. Si consideramos solamente las distribuciones de vida con soporte en [O, 00), la función de esparcimiento caracteriza a la distribu-ción exponencial porque es la única que posee una fun-ción de esparcimiento lineal. En los últimos años se han estudiado diferentes tests para contrastar exponencialidad. En concreto se realiza un estudio basado en el índice de Gini en el trabajo de Gail y Gastwirth (1978, a). Demostramos en este artículo que el estadístico de Gini no es el más apropiado para realizar un contraste de exponencialidad cuando la hipó-tesis alternativa es cualquier distribución. Estos autores utilizaron el índice de Gini de una exponencial, que vale 0.5, para realizar contrastes. El razonamiento es que si el índice de Gini de cualquier distribución alternativa está próximo a cero o a uno entonce la alternativa no es una exponencial. Sin embargo, si la alternativa no es N.B.U.E. ni N.W.U.E. este razonamiento no es v'alido puesto que su función de esparcimiento cruzaría como mínimo una vez a la función de esparcimiento de la dis-tribución exponencial. Este resultado se demostrará en un teorema de la sección 2. En la sección 3, proponemos un contraste para la expo-nencial y estudiamos las propiedades de consistencia y normalidad asintótica del correspondiente estadístico. Asimismo, tabulamos la potencia para diferentes alterna-tivas usando el método de Monte Cario. 2. LA FUNCIÓN DE ESPARCIMIENTO Sea X una variable aleatoria con función de distribu-ción F. La función de esparcimiento de X se define como la esperanza de la variable aleatoria {X-Q^{uy = max {{X - Qxiu)), 0}, donde Qxiu) es la función cuantil de X. Fer-nández Ponce et al. (1998) y Shaked y Santhikumar (1998) demostraron que la función de esparcimiento se puede utilizar para caracterizar a las distribuciones de vida mediante sus propiedades de envejecimiento. Si F es una distribución absolutamente continua entonces po-demos obtener un estimador natural de la función de es-452 J. M. Fernández et al. Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 1999; 93 parcimiento. Básicamente, usamos la descomposición de la función de esparcimiento como un L-funcional. Con-secuentemente, si Z(i), ..., X(,j) son los estadísticos de or-den de una muestra de tamaño n de F, se propone el si-guiente estimador: s:(u) = ii:;u> in-j+ i)(x,,-x,_,) (1) si ^ < 1 ^ 1 . Teorema 1. Sea X una variable aleatoria absoluta-mente continua con función de distribución F, y media finita. Entonces S^{u) converge casi seguro a 5J (M) . Corolario 2. Sea X una variable aleatoria no negati-va con función de distribución F, y con media finita. Sea GI el índice de Gini de X, entonces GI = '' S-^(u) o 5Í(0) du Demostración. Klefsjo (1984) demostró que GI = J¿(1 - Wiu))du, donde W{u) es la transformación normalizada del tiempo total de prueba de F. Se demuestra fácilmente que SUu) W(M) = 1 - - ^ , Me(0, 1) sm obteniéndose de forma sencilla el resultado. D Demostración. Por definición, donde T^F,) = J¿ T,^,,(F,:)dKStl KJ,t) es la distribución vniforme en {u, 1] y T^^^iFJ = Q^it) - Q„(u). Denotemos Q^(.) el estimador natural de la función cuantil de F. Usando que F es absolutamente continua, obtenemos que Q,Xu) converge casi seguro a Qxiu), Por tanto. Consecuentemente, r^(F„) ^ T^^(F). Ahora bien, usan-do el primer teorema de continuidad (ver Borokov, 1984 pág. 38), demostramos el resultado. D Corolario 1. Sea X una variable aleatoria no negati-va con función de distribución absolutamente continua F y soporte en [O, oo). Entonces, F sigue una distribución exponencial de media X si, y sólo si, la función de espar-cimiento de X es: 3. CONTRASTE NO PARAMETRICO DE EXPONENCIALIDAD Gail y Gastwirth (1978, a) usaron el índice de Gini muestral para contrastar exponencialidad. La idea con-sistía en comparar el área bajo la función de esparci-miento normalizada, es decir S^(u)/S'^ (0), debido a que el área correspondiente a la exponencial es 0.5. Pero esta comparación es sólo válida para distribuciones NBUE (NWUE) ya que en este caso la función de es-parcimiento es: 5 J ( w ) ^ ( ^ ) A ( l - w ) Vwe[0, 1], (ver Fernández Ponce et al., 1998). Más aún, existen mu-chas distribuciones que no cumplen ninguna de las dos propiedades anteriores, y en estos casos, la función de esparcimiento cruza al menos una vez la recta A(l - w), donde X es la media de la distribución. Ahora, se propone un contraste alternativo para contrastar exponencialidad basado en la distancia Lj entre la recta X(l - w) y la fun-ción de esparcimiento normalizada correspondiente a la distribución alternativa. Sx(u) = X(l - u). Demostración. Sea X una variable aleatoria con fun-ción de distribución F(x;X) = 1 - e'""^^', para x ^ 0. Se comprueba fácilmente que S^iu) = A(l - u). Reciprocamente si S^ (u) = X(l - ü) entonces < NBUE Exp(í) y Exp(l) < F (ver Fernández Ponce et al., 1998). Así que, F difiere a lo sumo en factor escalar posi-tivo de la distribución exponencial de media 1. Conse-cuentemente, F es una distribución exponencial. D Supongamos que deseamos realiza el contraste: HQ : F(x; i ) = 1 - e'""^^" x>0, X desconocida //j : F(.; X) no es exponencial y con soporte en [O, oo). Usando el Corolario 2, proponemos la siguiente medi-da de desviación de HQ respecto a H^: r\ A(F) = I - u SUu) s m du Fijémonos que O ^ A(F) ^ 1/2 y A(F) = O si F e H^. Por tanto, estimaremos A(F) usando una versión suaviza-J. M. Fernández Ponce et al. Rev.RAcad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp), 1999; 93 453 da de (1) basado en la interpolación lineal de una fun-ción. Consecuentemente proponemos el siguiente esta-dístico: Teorema 3. Si F es una distribución NBUE o NWUE con EX^ < 00 pero no es una distribución exponencial, entonces \iF)- 1 - M - SUu) 5J(0) du donde: 5J(M) = (i-nu)S*,(^) + (nu-i+l)SUil O si ^ < M ^ ¿ , ¿ = 1, ..., n- 1 ce. Particularmente, si X^^^, ..., X^„^ son los estadístico de orden de una muestra aleatoria de tamaño n procedente de F (suponiendo que X^Q^ = 0), entonces definimos las siguientes variables aleatorias para / = 1, ..., n. A,. = - « ( n - / + l ) ( X , - X , _ , ) ) s;=, X, B _¿(»-¿+I)(X, , -Z,_ ,>)+£;L,„(^-J+I)(X, , , -V„) yn M.. = l-B, i - 0,5 1-HA," n Ni n = 1, n 1-fí, 1+A,. n^Cj-i^ 2n^C,-2in Por tanto, es fácil demostrar que A„(F)-£A„(F) ^var(A,XF)) mO; 1). Demostración. Tenemos que A„(^) = 1 -u-S1,(u)' + du-\-» pi 0 1 —u- du Si F es una distribución NBUE (NWUE), entonces 1 -u + du y » r\ I 0 1 -u- du convergen casi seguro a cero. Consecuentemente, con-verge en probabilidad a cero. Usando el teorema de Slutzky (ver Chernoff et al., 1967), obtenemos que [A,(F)] á 1 -u- du donde, denotamos la misma distribución asintótica por = . Pero se demuestra fácilmente que Estudiemos ahora las propiedades asintóticas de \(F). Teorema 2. Sea X una variable aleatoria no negati-va con función de distribución absolutamente continua F, con media finita y soporte en [O, oo). Entonces A,,(F) converge casi seguro a A(F). Demostración. En primer lugar, demostremos que 5J(M) converge casi seguro a S^iu). Por definición, S'^{u-y^< < 5J(M) ^ 5J(w) Vw 6 (O, 1). Ahora bien, usando el teore-ma A. 1, obtenemos que r\ SU u -12 ^ 5Kw) Consecuentemente, 5J(w) ^ S^iu). Usando el primer teorema de continuidad (ver Borokov, 1984, pág. 38) y el teorema de convergencia dominada, obtenemos el resul-tado fácilmente. D 1 -u S'-(u) n- I n-\ du = — G,, 2n n donde G,^  es el Índice de Gini. Ahora usando la normali-dad asintótica de G,^ , demostramos el resultado. D Fijémonos que si F es una distribución exponencial, tenemos que n,/12 A . ( F , - 1 ^ y v ( o , 1). 4. MÉTODOS COMPUTACIONALES En esta sección, tabulamos algunos percentiles de A,,(F) bajo HQ (ver Tabla 1). Es difícil conseguir la distri-bución exacta del estadístico bajo la hipótesis nula, sin embargo A,j(F) es un estadístico libre de escala y depen-de de los espacios normalizados de una distribución ex-ponencial, D¡ = (n - i + 1)(X(.) - ^(/_i)). Hemos generado 500 muestras de tamaño n de una distribución exponen-cial de media 1. También, hemos comparado la potencia para diferentes alternativas del estadístico A,^ (F) frente a 454 J. M. Femández et al. Rev.RAcad.Cienc.ExactFis.Nat (Esp), 1999; 93 Tabla ] n 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 .. Valores críticos para A,jA(F) 0,05 0,0311 0,0400 0,0412 0,0332 0,0324 0,0278 0,0245 0,0255 0,0237 0,0224 0,1 0,0438 0,0504 0,0530 0,0394 0,0380 0,0315 0,0291 0,0289 0,0279 0,0261 KiF) 0,9 0,2152 0,2074 0,1887 0,1537 0,1215 0,1112 0,0953 0,0899 0,0802 0,0744 0,95 0,2409 0,2569 0,2258 0,1782 0,1460 0,1308 0,1143 0,1040 0,0899 0,0902 0,99 0,2955 0,2916 0,2835 0,2268 0,1926 0,1701 0,1322 0,1273 0,1154 0,1133 Tabla 3. Estimación de la potencia para alternativas £W(0,8) + (1 - £)W(1,5) G^ y L„(0,5) para n = 20, donde G„ es el estadístico de Gini (ver Gail y Gastv^irth 1978 a) y 4,(0,5) es el estadís-tico muestral de Lorenz (ver Gail y Gastwirth 1978 b). La potencia ha sido tabulada para 1000 muestras de tamaño n = 20 (ver Tabla 2). Las muestras aleatorias para cada alternativa se han obtenido usando el lenguaje de simula-ción Simscript en ordenadores VAX. La distribución de Pareto fue generada con la transformación inversa de la probabilidad. En la Tabla 2, podemos observar que A2Q{F) es mejor que G20 y L2o(0,5) para alternativas NWUE (la distribución Weibull con parámetro de forma 0,8)), la distribución Gamma con parámetro de forma 0,5 y la distribución Pareto para k = 3). También se ha com-parado G„ con A„(F) para mixturas en la distribución al-ternativa (ver Tabla 3). En esta tabla, usamos un test bila-teral para G,, y L^(0,5), hemos generado 1000 muestras de tamaño 20 para la mixtura entre la bistribución Wei-bull con parámetro de forma 0,8 y una distribución Wei-bull con parámetro de forma 1,5. APÉNDICE Teorema A.l. Sea Qx(u) Fx(x~) ^ w ^ F^ix), entonces la única solución a £ 0,1 0,25 0,5 0,75 0,9 A2o(^) 0,325 0,328 0,489 0,572 0,662 ^ 2 0 0,466 0,215 0,109 0,126 0,185 L,,(0,5) 0,330 0,201 0,091 0,101 0,156 Q,Xu - a,) ^ Qx(u) para toda sucesión decreciente no negativa {a^^ : n EM} con límite cero y donde Q^i-) ^^ ^l estimador natural de la función cuantil. Demostración. Sea £ > 0. Por la condición de unicidad y la definición de Qx{u - a,), tenemos que FxíQxi^ - ^n) -£]<u-a,^< FxlQxiu - « J + s]^neN También sabemos que Fn{Qx(^ - a j ~ë)^ Fx{Qx(u) - e) F,,{Qxiu - aj + 8}^ FxiQxiu) + e) Consecuentemente, P{F^{Q,(u-aJ-e)<u-a^<F^{Q,{u-aJ + s)}^l Es decir, P{Qx{(u - aj - 8 < QJu - aj < Qx(u - aj + e)} ^ 1 Entonces, P{sup \QJu - aJ - Qx(u - aj\ > s} -^ O, n ^ GO A partir de aquí es fácil conseguir el resultado de-seado. D Tabla 2. Estimación de la potencia para alternativas a = 0,05 Alternativas Weibull, forma = 0,8 Pareto, A; = 3 Gamma, forma = 0,55 A2'iF) 0,723 0,822 0,897 ^ 2 0 unilateral 0,336 0,553 0,565 bilateral 0,239 0,470 0,566 ^ 2 C unilateral 0,320 0,468 0,695 (0,5) bilateral 0,216 0,337 0,603 J. M. Fernández Ponce et al. Rev.RAcad.Cienc.Exact.Fis.Nat. (Esp), 1999; 93 455 REFERENCIAS 1. Borokov, A. A. (1984). Estadística Matemática. Editorial Mir Moscú. 2. Chernoff, H., Gastwirth, J. L. and Johns, M. V. (1967). Asymptotic distribution of linear combination of functions of order statistics with applications to estimation. Annals of Statistics 38, 52-72. 3. Fernandez-Ponce, J. M., Kochar, S. C. and Muñoz-Pérez, J. (1998). Partial orderings of distributions based on right-spread functions. Journal of Applied Probability 35, 221-228. 4. Gail, M. H. and Gastwirth, J. L. (1978, a). A scale-free goodness of fit test for the exponential distribution based on the Gini statistic. J.K Stat Soc Ser B 40, 3: 350-357. 5. Gail, M. H. and Gastwirth, J. A. (1978, b). A scale-free goodness of fit test for the exponential distribution based on the Lorenz curve. J.A.S.A. 37, 364:787-793. 6. Klesfjo, B. (1984). Reliability interpretations of some con-cepts from economics. Naval Research Logistic Quarterly 31, 301-308. 7. Kochar, S. C. and W*iens, D. P. (1987). Partial orderings of life distributions with respect to their aging properties. Naval Research Logistic Quarterly 34, 823-829. 8. Shaked, M. and Shanthikumar, J. G. Two variability or-ders. Prob Eng Infor Sci 12, 1-23. 

Proceso de decisión basado en la función de esparcimiento

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