Optimisation is a branch of mathematics that was developed to find the optimal solutions,
among all the possible ones, for a given problem. Applications of optimisation techniques
are currently employed in engineering, computing, and industrial problems. Therefore, optimisation is a very active research area, leading to the publication of a large number of
methods to solve specific problems to its optimality.
This dissertation focuses on the adaptation of two nature inspired algorithms that, based
on optimisation techniques, are able to compute approximations for zeros of polynomials
and roots of non-linear equations and systems of non-linear equations.
Although many iterative methods for finding all the roots of a given function already
exist, they usually require: (a) repeated deflations, that can lead to very inaccurate results
due to the problem of accumulating rounding errors, (b) good initial approximations to the
roots for the algorithm converge, or (c) the computation of first or second order derivatives,
which besides being computationally intensive, it is not always possible.
The drawbacks previously mentioned served as motivation for the use of Particle Swarm
Optimisation (PSO) and Artificial Neural Networks (ANNs) for root-finding, since they are
known, respectively, for their ability to explore high-dimensional spaces (not requiring good
initial approximations) and for their capability to model complex problems. Besides that,
both methods do not need repeated deflations, nor derivative information.
The algorithms were described throughout this document and tested using a test suite of
hard numerical problems in science and engineering. Results, in turn, were compared with
several results available on the literature and with the well-known Durand–Kerner method,
depicting that both algorithms are effective to solve the numerical problems considered.A Optimização é um ramo da matemática desenvolvido para encontrar as soluções óptimas, de entre todas as possíveis, para um determinado problema. Actualmente, são várias as
técnicas de optimização aplicadas a problemas de engenharia, de informática e da indústria.
Dada a grande panóplia de aplicações, existem inúmeros trabalhos publicados que propõem
métodos para resolver, de forma óptima, problemas específicos.
Esta dissertação foca-se na adaptação de dois algoritmos inspirados na natureza que,
tendo como base técnicas de optimização, são capazes de calcular aproximações para zeros
de polinómios e raízes de equações não lineares e sistemas de equações não lineares.
Embora já existam muitos métodos iterativos para encontrar todas as raízes ou zeros de
uma função, eles usualmente exigem: (a) deflações repetidas, que podem levar a resultados
muito inexactos, devido ao problema da acumulação de erros de arredondamento a cada
iteração; (b) boas aproximações iniciais para as raízes para o algoritmo convergir, ou (c) o
cálculo de derivadas de primeira ou de segunda ordem que, além de ser computacionalmente
intensivo, para muitas funções é impossível de se calcular.
Estas desvantagens motivaram o uso da Optimização por Enxame de Partículas (PSO) e
de Redes Neurais Artificiais (RNAs) para o cálculo de raízes. Estas técnicas são conhecidas,
respectivamente, pela sua capacidade de explorar espaços de dimensão superior (não exigindo
boas aproximações iniciais) e pela sua capacidade de modelar problemas complexos. Além
disto, tais técnicas não necessitam de deflações repetidas, nem do cálculo de derivadas.
Ao longo deste documento, os algoritmos são descritos e testados, usando um conjunto de
problemas numéricos com aplicações nas ciências e na engenharia. Os resultados foram comparados com outros disponíveis na literatura e com o método de Durand–Kerner, e sugerem
que ambos os algoritmos são capazes de resolver os problemas numéricos considerados
