Porfírio, Joana

Repositório Comum

11Educação e Matemática nº 60 • Novembro/Dezembro de 2000Ano Mundial da MatemáticaAs demonstrações da VâniaJoana PorfírioHá três anos desenvolvi, em colabora-ção com a Teresa Olga Duarte, umprojecto de natureza curricular numaturma do 8º ano em que a exploraçãode investigações matemáticas ocupa-va um papel central.Neste artigo, procuro partilhar umconjunto de reflexões que surgiramcom o desenrolar desta experiência eque giram à volta da demonstração.Começo por apresentar algumas dasreacções/observações de uma aluna— a Vânia Alexandra — quandotentava validar as conjecturas quetinham sido formuladas e testadas apartir do trabalho desenvolvido  peloseu grupo de trabalho. Com base emtrês episódios referentes ao modo depensar desta aluna, procuro argumen-tar que a demonstração é um meioimportante de promover a compreen-são da Matemática e que é umaspecto que deve ser trabalhado comtodos os alunos.As tentativas de demonstraçãoda VâniaAo longo do ano lectivo, os alunos daturma com que trabalhámos, explora-ram 13 tarefas de investigação. Combase nos dados recolhidos na altura,vou relatar três episódios que sepassaram com a Vânia. Embora elessejam apresentados cronologicamen-te, os motivos que me levaram aseleccioná-los, prenderam-se apenascom o facto de ilustrarem dificuldadese descobertas de vários alunosrelativamente à demonstração dasconjecturas que formulavam. Assim,estão longe de pretender correspon-der a uma descrição da evolução daVânia e, mais ainda, duma possívelreflexão sobre padrões gerais deevolução dos alunos da turma.Episódio 1: Porque é que um polígonoregular de n lados tem n eixos desimetria?Este é um episódio com três etapas.Numa primeira, a Vânia, tal como osseus colegas de turma, depois deinvestigar o número de eixos desimetria dos polígonos regulares com3, 4, 5, 6, 7 e 8 lados concluiu que onúmero de eixos de simetria erasempre igual ao número de lados e,portanto, um polígono regular com nlados teria n eixos de simetria.A professora, ao discutir as explora-ções realizadas pelos alunos, salien-tou a diferença entre afirmar que umapropriedade é válida para determina-dos casos em que se ela se verificouexperimentalmente e afirmar que ela éválida para todos. Depois, desafiou osalunos a olharem para a forma comotraçavam os eixos de simetria e pediu-lhes que pensassem, em casa, numaforma de validar a afirmação quetinham descoberto.Na sequência deste desafio, ocorreua segunda etapa deste episódio. AVânia incluiu no seu dossier o seguin-te texto:(...) Devia ser n; embora não o con-seguisse provar sabia que era ver-dade (...) cheguei à conclusão que onúmero de lados é par ou ímpar.Quando é par juntamos lado comlado. Isto é n/2, e vértice com vér-tice, outra vez n/2, e a soma é n.Quando é ímpar juntamos vérticecom lado e o total é n eixos. Por issoé sempre n e está provado.A terceira e última etapa ocorreuquando o grupo da Vânia apresentoua sua exploração desta tarefa numasessão a que assistiram alunos deuma ESE. Nessa altura, depois dedesafiarem os participantes a pensa-rem numa justificação da relaçãodescoberta, a Vânia comentou:A Vânia, tal como osseus colegas de turma,inicialmente não sentiaqualquer necessidadede demonstraras conjecturas que tinhatestado: verificava-separa uns poucos,verificava-se para todos.Mas, na sequênciade um trabalhoem que a justificaçãodas descobertase afirmaçõesera valorizada, conseguiuir tendo uma ideia maisrica do significadoe da importânciada demonstraçãoem Matemática.12Educação e Matemática nº 60 • Novembro/Dezembro de 2000 Ano Mundial da Matemática— Nós estávamos habituados a veruma coisa e já está, era assim.Mas agora começámos a ter maiscuidado. Eu nunca tinha pensadonisto e gostei de conseguir.Episódio 2: Porque é que os ânguloscorrespondentes, do mesmo lado dasecante, são iguais?Os alunos tinham construído, com oauxílio do Sketchpad, duas rectasparalelas cortadas por uma secante echegado à conclusão experimental,por exemplo, de que os ângulosalternos internos eram sempre iguais.Mas hesitavam sobre o que deveriamfazer/pensar de modo a responderemao porquê que estava no enunciadoda ficha. Durante este impasse,passei pelo grupo e perguntei “Vocêspercebem o que têm de tentarexplicar?”. A resposta da Vânia:— Sim. Temos de ver porque é quequando se arrasta a recta, estesângulos ficam sempre iguais.Depois de pensarem um pouco mais:— Isto é porque as linhas são parale-las é que dá isso. (Vânia)— Olha isso já a gente sabia.— Sim, mas se a gente pegar nestalinha pode pô-la em cima da outra.Fica só uma recta. (Vânia)— Já sei. Já sei. Por isso é que osângulos têm de ser iguais. Assimvê-se que são o mesmo ângulo.— E por isso é que são iguais. (Vânia)Episódio 3: Do prever onde fica umnúmero até ao “temos que escrever alinha do n”.O grupo da Vânia tinha formulado etestado várias conjecturas a propósitodas relações que descobriram entreos seguintes números:0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 15... ... ... ...Quando a professora lhes perguntouas conclusões a que tinham chegado,uma colega de grupo da Vâniarespondeu:— Ainda não sabemos. Temos muitasconjecturas. Mas ainda não asprovámos.Quando começaram a tentar demons-trar algumas das conjecturas quetinham formulado e testado, a Vânia,começou por dizer:— Então, temos que ter uma ideia quegeneralize, não é?Depois, construiu uma tabela combastantes linhas (que ocupava umafolha A4) mas em que apenas aprimeira linha estava preenchida comnúmeros.O grupo começou, então, a tentarprever os números que iriam ficar emvárias linhas, mas sem os escrevertodos até lá:— Agora explica lá. (Vânia)— Se na linha 10 for 36, na linha 20 é72.— Mas isso não generaliza. Se agente souber esta (a primeiracoluna) é só somar 1, 2 ou 3.(Vânia)A Vânia, desde o princípio, nãoparecia acreditar nas possibilidadesdeste processo de previsão. Noentanto, durante algum tempo,colaborou com os colegas:— Então aonde fica o 100?— Vai ficar na primeira coluna.— Sim. E vai ficar na linha ... esperaentão é de 4 em 4.— Na linha 10 temos o 40.— Não, o 40 está na linha 11. (Vânia)(...)— Então e agora onde fica outro?Onde fica o 89?(...)— Agora temos de parar. Isto dá paraajudar, mas agora temos mesmoque generalizar. Eu acho que já seicomo fica a linha do n. (Vânia)Na sequência de alguma discussão etroca de esclarecimentos com oscolegas, a Vânia lidera a demonstra-ção de conjecturas que envolviamoperações com linhas e colunas.Assim, por exemplo, demonstraramque a soma da 2ª coluna com a 4ª vaidar múltiplos de 4, da seguinte forma(ver caixa).Um comentário dos  episódiosanterioresA Vânia, tal como os seus colegas deturma, inicialmente não sentiaqualquer necessidade de demonstraras conjecturas que tinha testado:verificava-se para uns poucos,verificava-se para todos. Mas, nasequência de um trabalho em que ajustificação das descobertas eafirmações era valorizada, conseguiuir tendo uma ideia mais rica dosignificado e da importância dademonstração em Matemática.Embora o foco deste artigo não sesitue ao nível da caracterização daexperiência curricular desenvolvidacom a turma da Vânia, é importanterealçar que a demonstração foiobjecto de um trabalho explícito comos alunos. Assim, depois derecolherem e organizarem dados,formularem e testarem conjecturas, aTeresa Olga sempre insistiu noporquê. Nalguns casos incentivou osalunos a pensarem e foi dandosugestões que os podiam apoiar.Noutros, organizou ela própria ademonstração e procurou ir discutindoas questões e opções que secolocavam a cada passo do processoque seguia. Nos casos, em que, porrestrições impostas pelosconhecimentos matemáticos dosalunos, as conjecturas que tinhamresistido a sucessivos testes nãopodiam ser demonstradas por eles,este aspecto sempre foi claramentevincado pela Teresa.O  episódio 1 pode ser interpretadocomo revelando uma primeira ideiacomum antes de pensar numa de-monstração. Está-se convencido deque uma coisa é verdade — devia sern — mas, apesar disso, procura-secorresponder ao desafio que constituiorganizar uma demonstração. Nocaso da Vânia, esta atitude pode serentendida como uma tentativa decorresponder ao que a professoraespera e valoriza. No entanto, mesmoque esta tenha constituído a motiva-ção inicial, a verdade é que a VâniaLinha do n 4(n – 1) 4(n – 1) + 1 4(n – 1) + 2 4(n – 1) + 34(n – 1) + 1 + 4(n – 1) + 3 = 4n – 4 + 1 + 4n – 4 + 3 = 8n – 4que é sempre um múltiplo de 4.13Educação e Matemática nº 60 • Novembro/Dezembro de 2000Ano Mundial da Matemáticaconsiderou ter tido um certo prazerem pensar na demonstração.No episódio 2, a Vânia realça umaspecto importante do significado dedemonstrar: perceber porque é quedeterminada relação ou propriedadese verifica. Para além disso, conseguedescobrir um processo que efectiva-mente justifica a relação de igualdadeentre os ângulos considerados.Finalmente, no episódio 3, após umafase que a Vânia e os seu colegas degrupo pareciam corresponder, inequi-vocamente, à formulação e teste deconjecturas que não tinham sidoprovadas, começaram um processode previsão da tabela numérica:tentam saber em que linha e colunafica um determinado número econstroem uma tabela com espaçosem branco (só escrevem os númerosda primeira linha). A passagem deuma tabela com todos os espaçospreenchidos com números para outratabela em que há espaços que nãoestão preenchidos é a primeiratentativa que corresponde à procurade “uma ideia que generalize”. Defacto, seguem um caminho que osajuda a abstrair dos números e quelhes irá permitir chegar à expressãogeral de qualquer linha da tabela,revelando ter uma noção importanteassociada à demonstração: procurarolhar para o geral e não para casosparticulares. Além disso, conseguemdemonstrar várias das conjecturasque tinham formulado e testado.Os episódios anteriores evidenciamdois aspectos. Um primeiro, dizrespeito à demonstração como ummeio para aprofundar o conhecimentodos alunos. A Vânia não teve apenasacesso ao conhecimento de determi-nadas relações matemáticas. Conse-guiu desenvolver um conjunto deraciocínios que enriqueceram acompreensão dessas relações. Umsegundo, diz respeito à compreensãodo que é a Matemática. Embora comas limitações impostas pelo seu nívelde conhecimentos, a Vânia teve umaexperiência em que o raciocínio e ademonstração eram valorizados.Progressivamente, começou aentender o significado e a importânciade justificar o que fazia e a percebercomo isso era importante para ajudara perceber o porquê de uma dadarelação. Mostrou também perceber oestatuto de uma conjectura e de só sepoder afirmar a sua validade depois dea demonstrar.Uma nota final sobre ademonstraçãoAo longo deste artigo usei sempre otermo demonstração. Em jeito debrincadeira, posso dizer que o fiz parafazer a vontade ao Eduardo Veloso. Éque quando falei um pouquinho comele sobre o tema deste artigo, eledisse-me mais ou menos textualmen-te:— Se gostavas de escrever sobreesse tema parece-me muito bem.Desde que não chames prova àdemonstração.O principal argumento dele? Pareceque começa a notar-se uma certatendência de associar prova a umademonstração de segunda categoria,o tipo de coisa que estará ao alcancedos alunos no Ensino Básico.A verdade é que, depois de ter lidoalguns artigos em que se distinguemos termos argumentação, prova edemonstração, fiquei com a convicçãode que, quando pensamos nos alunose no que podemos e devemostrabalhar com eles, há aspectos maisrelevantes do que saber se é lícitoconsiderar determinado tipo dejustificação como constituindo umademonstração, ou se pelo contrárioserá melhor dizer que se trata de umargumento ou de uma prova. Do meuponto de vista, é mais importanteconseguir, em todos os níveis deescolaridade, promover o hábito dejustificar as afirmações que se fazem,desenvolver e criticar raciocínios ereconhecer que o raciocínio e ademonstração são fundamentais emMatemática.Para que a Vânia, ou para que umoutro aluno do Ensino Básico, sejacapaz de perceber a necessidade dedemonstrar e conseguir organizar umademonstração matemática, entendidacomo “um modo formal de expressardeterminados tipos de raciocínio e dejustificação” (NCTM, 2000, p. 56),terá que ser preparado um caminhoque passa, por exemplo, por reconhe-cer a importância de justificar umaafirmação e de usar raciocínios ejustificações adequados em matemáti-ca.Os dois primeiros episódios nãorelatam demonstrações matemáticasfeitas pela Vânia. No entanto, com aslimitações impostas pelos seusconhecimentos matemáticos elademonstrou várias relações e enten-deu o significado de o fazer. Sem estetipo de experiência, dificilmente teriaconseguido tomar a iniciativa de usaro método mais formal que é descritono episódio 3. Primeiro teve deperceber o estatuto de uma conjectu-ra, que demonstrar também significaperceber o porquê, que para demons-trar é importante olhar para o geral.Mas também foi importante sentir-sedesafiada e gostar de pensar nosporquês.Em todos os episódios anteriores aVânia descobriu um argumentoconvincente, ou seja, demonstrou asrelações a que tinha chegado experi-mentalmente. Em certa medida, o queela fez foi aquilo que os matemáticosfizeram e continuam a fazer: recorreraos conhecimentos e ferramentas deque dispõem para justificar as suasdescobertas. Nuns casos, demonstra-ções que foram consideradas comotal em determinada altura, são posteri-ormente reformuladas à luz do rigormatemático que se atingiu entretanto.Noutros casos, mais recentemente,recorre-se ao computador pararealizar grande parte da demonstra-ção.Claro que é importante que a Vâniaperceba e consiga usar um modoformal e característico da Matemáticade demonstrar. Mas, ao nível do queera possível no 8º ano, ela conseguiudemonstrar.Referência BibliográficaNCTM (2000). Principles and Standards forSchool Mathematics. Reston: NCTM.Joana PorfírioESE de Setúbal

As demonstrações da Vânia

http://comum.rcaap.pt/bitstream/10400.26/5750/1/As%20demonstra%c3%a7%c3%b5es%20de%20V%c3%a2nia%20-%20pp.%2011-13.pdf

As demonstrações da Vânia

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repositório Comum