978-2-11-098374-9National audienceLa modélisation des défauts de planéité occupe une position prioritaire parmi les axes de recherche pour les producteurs des tôles métalliques. Par ailleurs, on dispose d'un logiciel Lam3/Tec3 dédié pour la simulation de laminage des tôles qui présente certaines limitations dans sa version standard, surtout quand il s'agit des cas de laminage des tôles pour les quels le flambage, d'où des défauts de planéité, peut se produire. De ce fait, il a été complété durant les présents travaux par un modèle de flambage des plaques afin de combler ses insuffisances

Abdelkhalek, Sami

Buessler, Pascal

LEGRAND, Nicolas

Montmitonnet, Pierre

Potier-Ferry, Michel

Zahrouni, Hamid

Legrand, Nicolas

HAL-MINES ParisTech

Mode´lisation du flambage des toˆles lamine´es souscontraintes re´siduellesSami Abdelkhalek, Hamid Zahrouni, Michel Potier-Ferry, PierreMontmitonnet, Nicolas Legrand, Pascal BuesslerTo cite this version:Sami Abdelkhalek, Hamid Zahrouni, Michel Potier-Ferry, Pierre Montmitonnet, NicolasLegrand, et al.. Mode´lisation du flambage des toˆles lamine´es sous contraintes re´siduelles. Sousla direction de Michel Raous, Philippe Pasquet, Christian Rey. 9e`me Colloque National enCalcul des Structures, May 2009, Giens, France. LMT-Cachan, 6 p. - ISBN 978-2-11-098374-9- http://giens2009.lmt.ens-cachan.fr/resumes/r QWL1MXGF.pdf, 2009. <hal-00509452>HAL Id: hal-00509452https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-00509452Submitted on 12 Aug 2010HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Modélisation du flambage des tôles laminées souscontraintes résiduellesS. Abdelkhalek1,2, H. Zahrouni2, M. Potier-Ferry2, P. Monmitonnet1, N.Legrand3, P. Buessler31 Ecole des Mines de Paris-ParisTech-CEMEF - UMR CNRS 7635BP 207 - 06904 Sophia-Antipolis - Cedex – France.{sami.abdelkhalek,pierre.montmitonnet}@mines-paristech.fr2 LPMM - UMR CNRS 7554 - ISGMP - Université de Paul Verlaine-MetzIle de Saulcy - 57045 Metz - France.{hamid.zahrouni,michel.potierferry}@univ-metz.fr3 ArcelorMittal Research Maizières, R&D Industrial OperationsBP 30320 - Voie Romaine 57283  Maizières Les Metz -Cedex- France.{nicolas.legrand, pascal.buessler}@arcelormittal.com1 IntroductionSous les chargements intenses du laminage à froid, la déformation des cylindres (aplatissement,flexion, bombé thermique) induit une hétérogénéité de l’élongation en sortie de l’emprise dans le sensde la largeur de la bande. Cette hétérogénéité engendre l'apparition des contraintes résiduelles pouvantentraîner le flambage, que l'on nomme dans ce contexte défaut de planéité (cf. figure 1). Ce dernier estun souci important pour l'industrie du laminage, une bonne planéité étant un élément majeur pour laqualité du produit.Par ailleurs, le flambage conduit à la réorganisation du champ de contrainte dans la bande horsemprise (emprise = zone de contact cylindres / bande), ce qui pourrait a priori avoir une influence surles contraintes et déformations dans l’emprise. Ainsi, le problème mécanique inclut un couplagecombinant la déformation élastique des cylindres de travail, la déformation élasto-(visco)plastique dela bande dans l’emprise, et le flambage hors de l’emprise. Or la plupart des modèles ([1]-[6]) négligentle couplage emprise / post-emprise, à l'exception notable de [7].  En  se  basant  sur  cette  hypothèse(découplage entre l’emprise et la zone post-emprise) qui a été justifiée dans une présentationprécédente [8], dans cet article on expose une utilisation de Lam3/Tec3 [9] (modèle éléments finis 3Dadapté à la simulation du laminage mais limité par l’incapacité de reproduire le flambage) en chaînageavec un modèle de flambage des plaques afin de modéliser les défauts de planéité. Ce chainage entreRésumé –La modélisation des défauts de planéité occupe une position prioritaire parmi les axes derecherche pour les producteurs des tôles métalliques. Par ailleurs, on dispose d’un logiciel Lam3/Tec3dédié pour la simulation de laminage des tôles qui présente certaines limitations dans sa versionstandard, surtout quand il s’agit des cas de laminage des tôles pour les quels le flambage, d’où desdéfauts  de planéité,  peut  se  produire.  De ce fait,  il  a  été  complété  durant  les  présents  travaux par  unmodèle de flambage des plaques afin de combler ses insuffisances.Mots clés – Laminage, défauts de planéité, flambage, contraintes résiduelles.Lam3/Tec3  et   le  code  basé  sur  la  Méthode  Asymptotique  Numérique   (MAN)  ([10],[11]) et uneformulation de coque pour la simulation du flambage sous contraintes résiduelles, est décrit commesuit :- un premier calcul de laminage est effectué à l’aide de Lam3/Tec3, sans tenir comptedu flambage, fournissant des champs de contraintes résiduelles, y compris horsemprise.- Ces champs de contraintes sont utilisés comme contraintes résiduelles à la deuxièmeétape du calcul de flambage qui permet d’obtenir la charge critique, le mode deflambage ainsi que l’état post-flambé avec la nouvelle (et réelle) répartition descontraintes dans la tôle.Direction de laminageFigure 1- Illustration des défauts de planéités dans une tôle mince laminée.2 Formulation de la Méthode Asymptotique NumériqueLes équations du problème sont équivalentes à la stationnarité de la fonctionnelle de Hu-Washizuqui s'écrit comme suit:( ) [ ]}{ ( )1HW : : :t tu u evδφ δS γ γ D S S δγ δγ dv ȜP δu-é ù= + - + + -ê úë ûò % % (1)où D est le tenseur des constantes élastiques, S est  le  second  tenseur  de  contraintes  de  Piola-Kirchoff, γu est la déformation compatible de Green-Lagrange obtenue à partir du champ dedéplacement u qui est composé d’une partie linéaire et une partie quadratique : γu = γl (u) + γnl (u,u). g%est la déformation additionnelle indépendante du déplacement, qui doit être orthogonale au champ descontraintes, permettant d’éviter le phénomène de verrouillage. Pe(du) est le travail virtuel des effortsextérieurs et Ȝ est un paramètre de chargement. Ce dernier atteint une valeur critique Ȝc quand leflambage a lieu.2.1 MAN pour suivi de courbeLa MAN consiste à chercher la courbe solution du problème non linéaire (1) sous forme d'undéveloppement asymptotique au voisinage d'une solution initialement connue (U0,Ȝ0) selon unparamètre « a » :( )20 1 220 1 20 1 0 1( ) ...( ) ...,nnnnU a U aU a U a Ua a a aa u u ul l l l ll l l= + + += + + += - + - (2)Ici,uUSgæ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø%  et n est l’ordre de troncature de la série.L’équation (1) peut s’écrire sous forme d’un résidu R comme suit :( , ) ( ) ( , ) 0R U L U Q U U Fl l= + - = (3)où L(.) et Q(.,.) sont respectivement un opérateur linéaire et quadratique, F est le vecteur desefforts extérieurs. Si on substitue (2) dans (3), le problème se transforme en une séquence deproblèmes linéaires comme on le montre ci-dessous :ordre 1 : ( )0 1 121 1 1, 1tL U Fu ull=+ = (4)ordre p (1<p<n) : ( ) ( )1011 1,, 0pt p p r p rrp pL U F Q U Uu ull l--== -+ =å(5)( )0 .tL est l’opérateur tangent qui ne dépend que de la solution initiale.2.2 Indicateur de bifurcationL’indicateur de bifurcation ([11],[12]) est obtenu en introduisant une perturbation fictive dans leproblème. Il ne s’agit pas de modifier le problème initial mais de construire un problème auxiliaire quipermet d’évaluer l’indicateur sur toute la branche d’équilibre et de déterminer tous les pointssinguliers et leurs modes correspondants.Soit ∆ȝ.f une force de perturbation fictive appliquée à la structure dans un état déformé (U,Ȝ). ∆ȝreprésente l’intensité de cette force et ∆U la réponse à cette perturbation. Si on considère le problème(3), la forme perturbée est décrite par l’équation suivante :( ) ( , )L U U Q U U U U F fl m+ D + + D + D = + D (6)En considérant l’état d’équilibre et en négligeant les termes quadratiques en ∆U , on obtient leproblème suivant :( )tL U fmD = D (7)où Lt(.) = L(.)+2Q(U,.) est l’opérateur tangent défini au point d’équilibre considéré (U,Ȝ).Pour résoudre ce problème, on se donne une condition supplémentaire définie comme suit :( )0 0 0, 0tL U U UD -D D = (8)où0tL  est l’opérateur tangent au point de départ (U0,Ȝ0) et ∆U0 est solution de ( )0 0tL U fD = .L’indicateur de bifurcation ∆ȝ peut être alors calculé à partir de (7) et (8):01,( ),tU fL f fm -DD = (9)qui s’annule exactement aux points critiques.Le problème ((7) et (8)) est résolu en utilisant la méthode asymptotique numérique. Les variables∆U et ∆ȝ sont recherchées sous la forme suivante :0101( )( )NiiiNiiiU a U a Ua am m m==D -D = DD -D = Dåå (10)En injectant les équations (10) dans (7) et (8), on obtient :à l’ordre 0 :00 0( ) .tL U fmD = D (11)On résout ce système en considérant ∆ȝ0=1.A l’ordre p > 1 : ( ) ( )012 ,pt p p j p jjL U f Q U Um -=D = D - Då (12), 0pU fD = (13)Les vecteurs Ui et l’opérateur tangent0tL  sont ceux déterminés pour le calcul de la branched’équilibre. Nous n’inversons pas de matrice supplémentaire dans cette procédure. Seuls des secondsmembres sont calculés.3 Validation du modèle du flambageDes tests de validation on été effectués en comparant les résultats du modèle avec des applicationsdont les solutions analytiques sont connues et qui sont données par Timoshenko [13]:Soit une plaque en appuis simples sur les deux extrémités soumise à une distribution de contraintesrésiduelle homogène, dont seulement la composante longitudinale est non nulle (σxx=-1MPa). Laplaque est de longueur a, de largeur b et d’épaisseur h = 1mm. Elle est constituée d’un matériau dontles constantes d’élasticité sont données par le module de Young E =  200  GPa  et  le  coefficient  dePoisson υ = 0.3. Deux configurations ont été examinées : plaque à bords libres et plaque à bords enappuis simples. On supposera les conditions de symétrie par rapport au plan (x,z) pour ne modéliserque la moitié de la structure.En faisant varier le rapport « a/b », la figure 2 montre qu’on obtient une très bonne concordanceentre  les  valeurs  de  la  charge  critique Ȝc issu de notre modèle et celles données par les calculsanalytiques.0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8051015202530Appui simpleBordcharge critiquede flambagel c[ ]Longueur/Largeur Timoshenko (Analytique) - Bords en appuis simples Abdelkhalek et al. - Bords en appuis simples Timoshenko (Analytique) -Bord libres Abdelkhalek et al. - Bord libresCentre de symétrieAppui simplexyz( )2 212 1xx h Ebps uæ ö= - ç ÷ -è øFigure 2 - Évolution de la charge critique de flambage Ȝc en fonction du rapportlongueur/largeur de la plaque, pour un champ de contrainte de compression homogène etunidirectionnel. Ici, des appuis simples sont considérés sur les deux extrémités de la bande.4 Application à la modélisation des défauts de planéité en laminagedes tôles mincesDans ce paragraphe, une application à un cas de laminage est présentée. Le modèle de flambage yest utilisé en chaînage avec Lam3/Tec3, en s’appuyant sur le principe de découplage entre l’emprise etle flambage hors de l’emprise [8].Pour le cas de laminage représenté ci-dessous (tableau 1 et figure 3), on ne considère que la partiede la bande située en aval de l’emprise. La condition de symétrie au centre de la tôle a été adoptée.Dans le modèle de flambage, la sortie de l’emprise a été assimilée à un encastrement. A l’autreextrémité, on impose une condition d’appui simple (pas de déplacement dans le sens vertical) et unecontrainte de traction dans le sens horizontal, correspondant à la tension de bande pendant le laminage.Quant au bord (la rive de la bande), il a été considéré libre.Pour ce cas traité, on montre sur la figure 3-d les profils de contraintes longitudinales σxx à mi-intercage avant et après flambage, quand la bande est encore sous traction (au cours du laminage). Apartir de cette figure, on voit bien l’effet relaxant du flambage sur cette contrainte qui devient trèsproche de celle mesurée sur une ligne de laminage à l’aide des rouleaux de planéité. Toutefois, cetterelaxation se produit pour un défaut minime quand la tôle est sous traction (déplacement hors-plan del’ordre de 10-2 mm) (cf Figure 3-b). Compte tenu des très fortes contraintes compressives σxx calculéesen  rive  par  Lam3/Tec3  (-800  MPa),  on  s’attendait  à  voir  de  plus  fortes  ondulations.  Or,  ellesn’apparaissent qu’après le relâchement de la tension de bande, qui conduit à un changementconsidérable de mode (comparer les figures 3-b et 3-c), avec une longueur d’onde de l’ordre de 100mm et une amplitude de l’ordre de 2 mm, intéressant environ 100 mm sur chaque rive.Largeur de la bande 851 mmEpaisseur d’entrée (bombé) 0,355 mm (2,54 %)Epaisseur de sortie 0,252 mmVitesse de laminage 22 m/sPropriétés du laminoirA, B, C, D 1400 mm, 1295 mm, 1075 mm, 555 mmE, F, G, H, I, effort decontre flexion F343 mm, 1010 mm, 1300 mm, 955 mm,482549 NBombé cylindre 0,01614 %Effort de traction en amontpar unité de surface-170 MPaEffort de traction en avalpar unité de surface100 MPaLois de Comportement et de frottementLois de comportementModule d’Young = 210 GPa, cœfficient depoisson : 0,3( ) ( ) 8.90 470.5 175.4 1 0.45 -175e es e -= + ´ ´ - ´Loi de frottement Coulomb : 0,03 nt s= ´Cylindre d’appuiCylindre de travailTôleØ DØ EAGØ HØ IBCFTableau 1 - Données  du cas de laminage traité.14814817-113500 1000 1500 2000050100150200250300350400Position dans la largeur y (mm)SymétriePosition dans le sens de laminage x (mm)-770-638-507-376-245-11317148280Sortie de l'emprisesens de laminagesxx(MPa)Bord88-5-58500 1000 1500 2000050100150200250300350400Position dans la largeur y (mm)Symétriesens du laminageSortie de l'emprisePosition dans le sens de laminage x (mm)-120-100-40-58195386120sxy(MPa)Bord202020-5-5-5500 1000 1500 2000050100150200250300350400Position dans la largeur y (mm)Symétriesens du laminageSortie de l'emprisePosition dans le sens de laminage x (mm)-220-160-100-52080syy(MPa)Bord-1000-500 0 500 1000 1500 2000-500-400-300-200-100 0 100 200 300 400 500-0.02-0.015-0.01-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02(b)Sortie de l’emprise(encastrement) Sens de laminage(c) 0 500 1000 1500 2000 -500-400-300-200-100 0 100 200 300 400 500-10-5 0 5 10-400 -200 0 200 400-800-600-400-2000200s xx(MPa)Position en largeur de la bande (mm) Mesures expérimentales LAM3/TEC3 Standard LAM3/TEC3-MAN(d)(a)SymétrieBords libresSortie de l’emprise(encastrement) Sens de laminageSymétrieBords libresFigure 3 - (a) : Composantes du tenseur de contrainte résiduelle provenant de Lam3/Tec3, (b) et(c) : Défauts de planéité respectivement quand la tôle est sous traction ((b)) et après lerelâchement de cette dernière ((c)), (d) Comparaison entre les profils de la contraintelongitudinale σxx suivant la largeur de la bande à une section assez éloignée de l’emprise issuesde Lam3/Tec3-standard, Lam3/Tec3-MAN découplé et les mesures expérimentales.5 ConclusionLe couplage de Lam3/Tec3 avec un modèle complet de flambage des coques serait certespertinent, mais difficile à mettre en œuvre. En revanche, l’absence de rétroaction entre l’emprise et leflambage justifie l’adoption d’une procédure découplée décrite dans le paragraphe 4. À l’aide de cetteprocédure, plusieurs cas académiques de flambage de plaques sous contraintes résiduelles admettantdes solutions analytiques et une application à un cas de laminage ont été analysés dans le présentarticle. En effet, les comparaisons respectives avec des solutions analytiques et des mesuresexpérimentales ont montré la pertinence de ce modèle de flambage, en particulier pour les cas delaminage offrant des distributions de champs de contraintes résiduelles assez complexes.Références[1] H. Marchand. Modélisation de la planéité en sortie de laminage des produits plats(Modelling flatness in flat rolling). PhD Thesis, Ecole des Mines de Paris, 2000.[2] Y. Tosawa. Analysis of three dimensional deformation in strip rolling taken deformation ofrolls into consideration. Advanced technology of plasticity, vol. 2, pages. 1151-1160, 1984.[3] C. D. Coman, A. P. Bassom. An asymptotic description of the elastic instability of twistedthin elastic plates. Acta Mechanica, Vol. 200, pages. 59-68, 2008.[4] A.  Bush,  R.  Nicholls  and  J.  Tunstall.  Stress  levels  for  elastic  buckling  of  rolled  strip  andplate. Ironmaking and steelmaking, vol. 28, pages 481-484, 2001.[5] F. G. Rammerstorfer, F. D. Fisher, N. Friedl. Buckling of free infinite strips under residualstress and global tension. Journal of applied mechanics, Vol 68, pages. 399-404, 2001.[6] F. D. Fisher, F. G. Rammerstorfer, N. Friedl and W. Wisser. Buckling phenomena related torolling and levelling of sheet metal. International journal of mechanical sciences. Vol. 42,pages. 1887-1910, 2000.[7] C. Counhaye. Modélisation et contrôle industriel de la géométrie des aciers laminés à froid(modelling and industrial control of the geometry of cold rolled steels). PhD Thesis,Université de Liège, 2000.[8] S. Abdelkhalek, P. Monmitonnet, N. Legrand, P. Buessler. Manifested flatness predictionsin thin strip cold rolling. In 11th ESAFORM conference forging and rolling, 2008.[9] A. Hacquin, P. Montmitonnet and J.P. Guilleraut. A steady state thermo-elastoviscoplasticfinite element model of rolling whith coupled thermo-elastic roll deformation. Journal ofMaterials Processing Technology, Vol. 60, pages. 109-116, 1998.[10] H. Zahrouni, B. Cochelin and M. Potier-Ferry. Computing finite rotations of shells byan asymptotic-numerical method. Computer Methods in Applied Mechanics andEngineering, Vol. 175, pages. 71-85, 1999.[11] E.H.  Boutyour,  H.  Zahrouni,  M.  Potier-Ferry  and  M.  Boudi.  Bifurcation  Points  andBifurcated Branches by an Asymptotic Numerical Method and Padé Approximants.International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 60, pages. 1987-2012,2004.[12] P. Vannucci, B. Cochelin, N. Damil, M. Potier-Ferry. An asymptotic numerical methodto compute bifurcating branches. International Journal for Numerical Methods inEngineering, Vol. 4, pages. 1365-1389, 1998.[13] S. P. Timoshenko, J. M. Gere, Theory of elastic stability. Mc Graw Hill Book Company,Inc, New York, Second edition, 1961.

Modélisation du flambage des tôles laminées sous contraintes résiduelles

http://giens2009.lmt.ens-cachan.fr/resumes/r_QWL1MXGF.pdf,

Modélisation du flambage des tôles laminées sous contraintes résiduelles

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HAL-MINES ParisTech