Princípios básicos de regressão não-linear. Critério dos mínimos quadrados

José Nuno Fidalgo

Repositório Aberto da Universidade do Porto

 IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        1  ANEXO A – Princípios básicos de regressão não-linear Qual a curva que melhor se aproxima dos pontos (xi ,yi )? Faz sentido fazer uma regressão linear neste exemplo? Como determinar a equação de uma função não-linear que se aproxime destes pontos? Figura A.1 – Pontos (x,y) descrevendo uma evolução não linear  Vamos admitir que a função de aproximação é um polinómio do 2º grau,  cxbxa)x(f2++= (A.1) Quais os parâmetros a, b e c, que minimizam o erro de aproximação? 00.5 11.5 22.5 300.511.522.53xy IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        2 Critério dos Mínimos Quadrados O erro e cometido na aproximação em cada ponto i é dado pela diferença   iiiy)x(fe−= (A.2) O erro quadrático total Eqt é dado por  ()∑∑==−==n1in1i2ii2iqty)x(feE (A.3) Critério: os parâmetros a, b e c são determinados de modo a minimizar Eqt.  ...também pode ser aplicado com outras funções f(x) (como sinusoidais, logarítmicas,  exponenciais, etc) desde que sejam deriváveis.   E como determinar a, b e c de modo a minimizar Eqt ? Usando a eq. A.1 em A.3 resulta:   ()∑==−++=n1i2ii2iqtminycxbxaE (A.4) Para minimizar A.4 vamos calcular a 1ª derivada de Eqt relativamente aos parâmetros a, b e c e igualar a zero. Desta operação resulta:   IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        3  ()()()        =−++=∂ ∂=−++=∂ ∂=−++=∂ ∂∑ ∑ ∑= = =n1iii2iqtn1iii2iiqtn1iii2i2iqt0ycxbxa2cE0ycxbxax2b E0ycxbxax2aE (A.5) Expandindo as eq A.5 resulta          =++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============n1in1iin1in1ii2in1in1iiin1iin1i2i3in1in1ii2in1i2in1i3i4iy1cxbxayxxcxbxayxxcxbxa (A.6)  IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        4 ... bastando agora resolver o sistema (A.6) e determinando os parâmetros a, b e c.  A dimensão do sistema a resolver depende do nº de incógnitas. Se o polinómio for, por exemplo, de 3º grau teremos um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.   Sugestão 1: A equação (2) pode ser rescrita da seguinte forma:  mamk 2T=pi= (A.9) em que a é uma constante (k/2api=). Sendo a equação (A.9) do tipo  xa)x(f= (A.10) faz sentido tentar aproximar os pontos (m,T), obtidos experimentalmente, por uma curva deste género. Seguindo um procedimento semelhante ao anterior (polinómio de 2º grau), mostre que o parâmetro a é dado por   ∑∑===n1iin1iiixyxa (A.11)  IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        5 Sugestão 2: Imagine agora que pretende determinar a curva   bxa)x(f+= (A.12) que melhor se aproxima dos pontos (x,y) segundo o critério dos mínimos quadrados.   Seguindo um procedimento semelhante ao adoptado para o polinómio de 2º grau, mostre que a e b são determinados pelo seguinte sistema de equações:      =+=+∑∑∑∑∑=====n1in1iiin1in1iiin1iiiynbxayxxbxa (A.13)   IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        6 ANEXO B – Usando o EXCEL para regressão não-linear Exemplo:  A Tabela B.1 representa medidas experimentais da distância (S) percorrida por um móvel em função do tempo (t). Pretende-se determinar a equação S=f(t) que melhor 1 aproxima o conjunto de pontos. Neste exemplo, vamos considerar que a função f é do tipo polinomial de 2º grau, isto é, do tipo  S = a t 2+ b t + c (B.1) onde a, b e c representam os parâmetros (coeficientes) que se pretende determinar.  Tabela B.1 – Espaço versus tempo t (s)  1.03.05.07.09.011.013.015.017.019.021.0S (m) 17.625.836.750.666.592.0112.5141.4176.5220.8254.6 A Fig. B.1 (página seguinte) mostra que a relação entre S e t é claramente não-linear. Isto significa que não é possível aproximar estes pontos por uma recta sem cometer erros grosseiros.                               1 “Melhor” depende obviamente do critério adoptado. Neste caso, vai ser usado o Critério dos Mínimos Quadrados que se baseia na minimização do quadrado dos desvios (diferença entre os valores a aproximar e os valores correspondentes na função de aproximação).  IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        7           Figura B.1 – Espaço versus tempo  Para determinar os parâmetros a, b e c da equação (B.1) proceda do seguinte modo: a. Coloque o rato sobre um dos pontos do gráfico e pressione o botão direito. Deve aparecer uma caixa de diálogo onde deve seleccionar “Add trendline...”. Aparece um novo quadro com a mesma designação. Este quadro tem 2 sub-menus: Type e Options;  b. No sub-menu Type, seleccione a opção Polynomial com ordem (Order) igual a 2. Significa que vamos aproximar os pontos dados por um polinómio de 2º grau;  0 5010015020025005101520t (s)S (m) IAL – AT - Determinação da constante de elasticidade de uma mola        8 c. No sub-menu Options torne activa a opção “Display equation on chart”. Esta opção faz com que a equação da curva de aproximação seja também visualizada no próprio gráfico; d. Prima OK. Em resultado desta operação, é adicionada ao gráfico a curva do tipo (B.1) que melhor aproxima os pontos em questão, bem como a respectiva equação. A Fig. B.2 ilustra o resultado obtido.  Figura B.2 – Curva (polinómio de 2º grau) que melhor aproxima os pontos dados  y = 0.4287x2 + 2.4569x + 13.410 5010015020025005101520t (s)S (m)

Princípios básicos de regressão não-linear

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