En esta comunicación proponemos y analizamos un esquema numérico totalmente discreto con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo para aproximar un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) por medio de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Se muestra la estabilidad y convergencia
de dicho esquema hacia una solución débil del problema continuo, respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización

Guillén González, Francisco Manuel

Gutiérrez Santacreu, Juan Vicente

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–8)Aproximacio´n de un modelo de cristales l´ıquidos nema´ticoscon un esquema completamente discreto y penalizadoF. Guille´n-Gonza´lez1, J.V. Gutie´rrez-Santacreu11 Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, E-41080 Sevilla. E-mails: guillen@us.es,juanvi@us.es.Palabras clave: cristales l´ıquidos, Navier-Stokes, estabilidad, convergencia, elementos finitosResumenEn esta comunicacio´n proponemos y analizamos un esquema nume´rico totalmentediscreto con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo para aproximarun modelo de cristales l´ıquidos nema´ticos (de tipo Eriksen-Leslie) por medio de unmodelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Se muestra la estabilidad y convergenciade dicho esquema hacia una solucio´n de´bil del problema continuo, respecto de lospara´metros de discretizacio´n y del para´metro de penalizacio´n.1. Introducio´nSupongamos Ω ⊂ IR3 un dominio acotado y de frontera ∂Ω polie´drica tal que elproblema de Stokes tenga regularidad W 1,∞ × L∞ en velocidad y presio´n. DenotamosQ = Ω× (0, T ) y Σ = Γ× (0, T ), donde [0, T ] es el intervalo temporal de observacio´n, paraT > 0. Las inco´gnitas son: u : Q→ IR3 el campo de velocidades, p : Q→ IR la presio´n delfluido y d : Q→ IR3 la orientacio´n de las macromole´culas de cristales l´ıquidos, verificandoel siguiente problema en derivadas parciales:|d| = 1, ∂td+ u · ∇d− γ∆d− γ|∇d|2d = 0 en Q,∂tu+ u · ∇u− ν∆u+∇p+ λ∇ · ((∇d)t∇d) = 0 en Q,∇ · u = 0 en Q,u = 0, d = l en Σ,u|t=0 = u0, d|t=0 = d0 en Ω,(1)donde u0 : Ω → IR3 y d0 : Ω → IR3 son las condiciones iniciales, l : ∂Ω → IR3 es lacondicio´n de Dirichlet para el vector de orientacio´n d, ν > 0 es una constante dependiente1F. Guille´n-Gonza´lez, J. V. Gutie´rrez-Santacreude la viscosidad del fluido, λ > 0 es una constante de elasticidad y γ > 0 es una constantedel tiempo de relajacio´n. (∇d)t denota la matriz traspuesta de ∇d.Decir que se supone la condicio´n de Dirichlet para d independiente del tiempo, luegoen consecuencia d0∣∣∂Ω= l. En principio los argumentos que desarrollaremos no son va´lidospara el caso dependiente del tiempo.Imponiendo que |d0| = 1 en Q y |l| = 1 sobre Σ, se tiene existencia de solucio´n globalen tiempo de (1) con la siguiente regularidad:d ∈ L∞(0, T ;H1(Ω)), u ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1(Ω)).Esta solucio´n se encuentra mediante un proceso asinto´tico [5], a partir del modelo penal-izado, de tipo Ginzburg-Landau, que se obtiene de (1) relajando la restriccio´n |d| = 1por |d| ≤ 1, y en el sistema para d cambiando el te´rmino ma´s no lineales |∇d|2d (depen-diente del multiplicador de Lagrange asociado a la restriccio´n|d| = 1) por el te´rmino depenalizacio´n f ε(d) = ε−2(|d|2 − 1)d, asociado al para´metro ε > 0, llegando|d| ≤ 1, ∂td+ u · ∇d+ γ(f ε(d)−∆d) = 0 en Q,∂tu+ u · ∇u− ν∆u+∇p+ λ∇ · ((∇d)t∇d) = 0 en Q,∇·u = 0 en Q,(2)junto con las condiciones iniciales y de contorno de (1). Obse´rvese que f ε(d) = ∇d(Fε(d))para cada d ∈ IR3 con Fε la funcio´n potencial:Fε(d) =14ε2(|d|2 − 1)2.Las principales dificultades para disen˜ar esquemas nume´ricos estables y convergentespara el modelo penalizado (2) son: aproximar d con elementos finitos so´lo globalmentecontinuos aunque la regularidad de d es H2 y obtener informacio´n de la restriccio´n |d| ≤1 aunque el esquema nume´rico no verifique puntualmente dicha restriccio´n. En [3] seintroduce un esquema (lineal) con una variable auxiliar para aproximar −∆d, que resultaser incondicionalmente estable y convergente hacia (2), obtenie´ndose adema´s estimacionesde error y convergencia de me´todos iterativos para desacoplar el esquema. Ver tambie´nlos trabajos previos [6, 7] para otros esquemas menos eficientes para (2).El objetivo de este trabajo es disen˜ar esquemas nume´ricos estables y convergentes hacia(1) a trave´s del modelo penalizado, haciendo tender ε → 0 junto con los para´metros dis-cretos en espacio y tiempo (h, k). Para ello, nos encontramos con las siguientes dificultadesprincipales:1. Obtener estimaciones de estabilidad independientes de ε, ya que las estimaciones delos esquemas anteriores explotan cuando ε→ 0.2. Se pierde la regularidad H2 para d, que dificulta primero la compacidad L2 para u,que se usa en el paso al l´ımite en el sistema para d y segundo la compacidad L2 para∇d fundamental para pasar al limite en el sistema de momentos.Presentaremos un esquema nume´rico lineal aunque completamente acoplado, condi-cionalmente estable bajo restricciones que involucran los tres para´metros (h, k, ε) y con-vergente hacia una solucio´n de´bil del problema (1).2Aproximacio´n de un modelo de cristales l´ıquidos (CEDYA 2007)2. Esquema nume´ricoDenotaremos por(·, ·)al producto escalar en L2(Ω).El esquema que proponemos para aproximar las inco´gnitas (velocidad, presio´n y vectorde orientacio´n) esta´ basado en la siguiente formulacio´n variacional mixta del problema (2)(ver [3] para ma´s detalles):(∂tu, u¯)+ ν(∇u,∇u¯)+((u · ∇)u, u¯)−((∇d)tw, u¯)−(p,∇ · u¯)= 0, ∀u¯ ∈H10,(∂td, w¯)+((u · ∇)d, w¯)+ γ(f ε(d), w¯)+ γ(w, w¯)= 0, ∀w¯ ∈ L2,(∇ · u, q¯)= 0, ∀q¯ ∈ L20,(∇d,∇d¯)−(w, d¯)= 0, ∀d¯ ∈H10,donde hemos usado previamente la igualdad∇ · ((∇d)t∇d) = 12∇(|∇d|2) + (∇d)t∆d,modificado la presio´n p ∼ p+ 12|∇d|2 e introducido la variable auxiliar w = −∆d.Suponemos por simplicidad, una particio´n uniforme de [0, T ] siendo tn = nk, dondek = T/N es el paso de tiempo conN ∈ N. En cada etapa de tiempo, la velocidad, la presio´ny el vector de orientacio´n (u, p,d) son aproximados en espacios de elementos finitos defunciones globalmente continuas (Xh, Qh,Dh) ⊂ (H10(Ω), L20(Ω),H1(Ω)) y el laplacianodel vector de orientacio´n w es aproximado en un espacio de elementos finitos de funcionesdiscontinuas a trozos W h ⊂ L2(Ω). Los elementos finitos esta´n asociados a una familiaregular y quasi-uniforme de triangulaciones {Th}h>0 de Ω tales que (Xh, Qh) verifican lacondicio´n inf-sup discreta y (W h,Dh) satisfacen:(Xh · ∇)Dh ⊂W h y Dh ⊂W h.Por ejemplo, la siguiente aproximacio´n verifica las hipo´tesis anteriores:P1 + bubble/P1 para (Xh, Qh),P1 + bubble(discontinuos)/P1 para (W h,Dh).Adema´s, suponemos las restricciones (de estabilidad) sobre los para´metros (k, h, ε):(S) l´ım(h,k,ε)→0kh2ε6→ 0 y l´ım(h,k,ε)→0hε4→ 0.Entonces, el algoritmo nume´rico que presentamos consiste en:Inicializacio´n: Sea (u0h,d0h) ∈ (Xh,Dh) determinadas aproximaciones de (u0,d0), cond0h|∂Ω = lh para lh una aproximacio´n frontera de l.Etapa n + 1: Dado (unh,dnh) ∈ (Xh,Dh) con dnh|∂Ω = lh, encontrar (un+1h ,wn+1h ) ∈Xh ×W h y (pn+1h ,dn+1h ) ∈ Qh ×Dh (con dn+1h |∂Ω = lh) tal que:(un+1h − unhk, u¯h)+((unh · ∇)un+1h , u¯h)+12(∇ · unh un+1h , u¯h)+ ν(∇un+1,∇u¯h)−λ((∇dnh)twn+1h , u¯h)+ λ(∇ · u¯h, Fε(dnh))−(p˜n+1h ,∇ · u¯h)= 0, ∀ u¯h ∈Xh,(3)3F. Guille´n-Gonza´lez, J. V. Gutie´rrez-Santacreu(p¯h,∇ · un+1h)= 0, ∀ p¯h ∈ Qh, (4)(dn+1h − dnhk, w¯h)+((un+1h ·∇)dnh, w¯h)+γ(f ε(dnh)+wn+1h , w¯h)= 0, ∀ w¯h ∈W h, (5)(∇dn+1h ,∇d¯h)−(wn+1h , d¯h)= 0, ∀ d¯h ∈D0h :=Dh ∩H10(Ω), (6)donde p˜n+1h = pn+1h + λFε(dnh) es una presio´n modificada debido al termino estabilizadorde tipo potencial λ(∇ · u¯h, Fε(dnh)). Notar que dn+1h − dnh ∈D0h gracias a que el dato decontorno l para el vector de orientacio´n no depende del tiempo.Ya que el esquema (3)-(6) es un sistema lineal algebraico es fa´cil comprobar la existenciay unicidad de solucio´n una vez que las estimaciones a priori sean obtenidas en la Seccio´nsiguiente.3. Estabilidad condicionalEn l´ıneas generales, tomando primero u¯h = 2 kun+1h en (3), p¯h = pn+1h en (4), y luegow¯h = 2λ k(wn+1h + Ph(f ε(dnh)))en (5) conjuntamente con d¯h = dn+1h −dnh ∈D0h en (6),donde Ph es el proyector en L2(Ω) sobre W h, y usando las igualdades−((∇dnh)twn+1h ,un+1h)+(un+1h · ∇dnh,wn+1h)= 0,(un+1h · ∇dnh,f ε(dnh))+(∇ · un+1h , Fε(dnh))= 0,llegamos al siguiente resultado (ver [4] para los detalles). Denotamos por | · | a la normaen L2(Ω).Lema 1 Supongamos que existe una constante Cd > 0 independiente de (h, k, ε) tal que|unh|2 + λ|∇dnh|2 ≤ Cd.Entonces, existen h0 > 0, k0 > 0 y ε0 > 0 tales que para todo h ≤ h0, k ≤ k0 y ε ≤ ε0satisfaciendo la hipo´tesis (S), la solucio´n correspondiente (un+1h ,dn+1h ,wn+1h ) del problemadiscreto (3)-(6) verifica la siguiente desigualdad:(|un+1h |2 − |unh|2 + |un+1h − unh|2)+ νk|∇un+1h |2+λ(|∇dn+1h |2 − |∇dnh|2 + |∇(dn+1h − dnh)|2)+ λγk|Ph(f ε(dnh)) +wn+1h |2+2λ∫Ω(Fε(dn+1h )− Fε(dnh)) +λε2∫Ω(14(|dn+1h |2 − |dnh|2)2 + |dn+1h − dnh|2)≤ 0.(7)A continuacio´n, por un proceso de induccio´n sobre la etapa de tiempo apoya´ndonosen el lema anterior establecemos el siguiente resultado:4Aproximacio´n de un modelo de cristales l´ıquidos (CEDYA 2007)Teorema 2 Existen h0, k0 y ε0 de modo que para cualquier h ≤ h0, k ≤ k0 y ε ≤ ε0satisfaciendo (S), la solucio´n del problema discreto (3)-(6) verifica las estimaciones:i) ma´x0≤n≤N|unh| ≤ C, ii) kN−1∑n=0|∇un+1h |2 ≤ C, iii)N−1∑n=0|un+1h − unh|2 ≤ C,iv) ma´x0≤n≤N‖dnh‖H1(Ω) ≤ C, v) kN−1∑n=0|Ph(f ε(dnh)) +wn+1h |2 ≤ C vi)N−1∑n=0‖dn+1h − dnh‖2H1(Ω) ≤ C,vii) ma´x0≤n≤N∫ΩFε(dnh) ≤ C viii)1ε2N−1∑n=0∫Ω(|dn+1h |2 − |dnh|2)2 ≤ C ix)1ε2N−1∑n=0∫Ω|dn+1h − dnh|2 ≤ Cdonde C > 0 es una constante independiente de (k, h, ε).4. Compacidad para u y dEligiendo como funcio´n test w¯h = Phw¯ en (5), con w ∈ L3(Ω), y usando las estima-ciones del Teorema 2 y la estabilidad en L3(Ω) del proyector ortogonal en L2 sobre W h([2]), obtenemosLema 3 Bajo las condiciones del Teorema 2, se tienekN−1∑n=0∥∥∥∥∥dn+1h − dnhk∥∥∥∥∥2L3/2(Ω)≤ C,donde C > 0 una constante independiente de (k, h, ε).Como consecuencia de este lema y de las estimaciones de estabilidad del Teorema 2,conseguimos la compacidad de la sucesio´n (dh,k,ε) en Lq(0, T ;Lr(Ω)) con 1 ≤ r < 6 y1 ≤ q <∞, donde dh,k,ε es la funcio´n continua y lineal a trozos que vale dh,k,ε(tn) = dnh.Para la compacidad de la velocidad discreta {un+1h } consideramos el espacio de veloci-dades de divergencia discreta ceroV h = {vh ∈Xh :(∇ · vh, qh)= 0, ∀ qh ∈ Qh}y consideramos A−1h : V h → V h el inverso del operador de Stokes discreto definido como(∇A−1h uh,∇vh)=(uh,vh), ∀vh ∈ V h.Se puede probar que |∇A−1h uh| y ‖uh‖V ′h son normas equivalentes (V′h es el dual de V h).Multiplicando (3) por k, sumando (localmente) para n = m, ...,m−1+ r, seleccionadou¯h = A−1h (um+rh − umh ) como funcio´n test y finalmente sumando (globalmente) para m =0, ..., N − r, llegamos a la siguientes estimaciones de una derivada fraccionaria para uh,k,ε(la funcio´n constante a trozos que vale uh,k,ε(t) = un+1h en (tn, tn+1]):Lema 4 Bajo las hipo´tesis del Teorema 2, se tiene∫ T−δ0‖uh,k,ε(t+ δ)− uh,k,ε(t)‖2V ′h dt ≤ C δ1/2 ∀ δ : 0 < δ < T, (8)donde C > 0 es independiente de (h, k, ε).5F. Guille´n-Gonza´lez, J. V. Gutie´rrez-SantacreuNo´tese que la derivada fraccionaria en tiempo para la velocidad discreta ha sido acotada enla norma V ′h la cual “se mueve” con respecto al para´metro de espacio h. Luego, no podemosaplicar los resultados de compacidad para espacios Lp en tiempo con valores en espacios deBanach, dados por J. Simon en ([8]). Por tanto, la siguiente idea es encontrar una norma,que no dependa de los para´metros de discretizacio´n, donde la derivada fraccionaria entiempo pueda ser acotada. Para ello, consideramos el espacioV = {u ∈H10(Ω) : ∇ · u = 0}y la proyeccio´n ortogonalRh : V h → V tal que(∇(Rhuh − uh),∇v)= 0, ∀v ∈ V .Usando las siguientes propiedades del operador Rh:‖Rhuh‖ ≤ ‖uh‖ (dependencia continua en H1),|Rhuh − uh| ≤ C h|∇ · uh| (estimacio´n de error en L2),se prueba ([4]) que‖Rhuh‖V ′ ≤ C(h|∇ · uh|+ ‖uh‖V ′h).Tomando uh = um+rh − umh y usando (8), se tiene∫ T−δ0‖Rhuh,k,ε(t+ δ)−Rhuh,k,ε(t)‖2V ′ dt ≤ C δ1/2 + C h.Entonces, la convergencia fuerte de sucesio´n (Rhuh,k,ε) en L2(L2) se deduce a partirdel siguiente resultado obtenido por P. Aze´rad y F. Guille´n-Gonza´lez [1], para la tripletade espacios V ↪→H ↪→ V ′, donde H = {u ∈ L2(Ω) : ∇ · u = 0, u · n∣∣∂Ω= 0}.Teorema 5 Sea T > 0, y sea X ↪→ B ↪→ Y, con la primera inyeccio´n compacta y lasegunda continua. Sea {f²}²>0 una familia de funciones de Lp(0, T ;X), 1 ≤ p <∞ tal que(H1) {f²}²>0 esta´ acotada en Lp(0, T ;X),(H2) ‖f²(t+ δ)− f²(t)‖Lp(0,T ;Y) ≤ ϕ(δ) + ψ(²) con l´ımδ→0ϕ(δ) = 0 y l´ım²→0ψ(²) = 0.Entonces, la familia {f²}²>0 posee un punto de acumulacio´n en Lp(0, T ;B) cuando ²→ 0.Finalmente, gracias a la aproximacio´n (externa) de V h a V , se tiene ([4]) la conver-gencia fuerte de (uh,k,ε) en L2(L2(Ω)).5. Convergencia del esquema para dLa convergencia para (5) esta´ basado en el siguiente resultado:Lema 6 Los dos sistemas siguientes son equivalentes:∂td+ u · ∇d− γ∆d− γ|∇d|2d = 0 en Q, (9)y|d| = 1, ∂td ∧ d+ u · ∇d ∧ d− γ∇ · (∇d ∧ d) = 0 en Q. (10)6Aproximacio´n de un modelo de cristales l´ıquidos (CEDYA 2007)Que el vector de orientacio´n l´ımite d, es decir, el vector de orientacio´n obtenido comoconsecuencia del Teorema 2, verifique la restriccio´n (10)a se deduce tomando l´ımite en laestimacio´nma´xn∫ΩFε(dnh) =1ε2∫Ω(|dn+1h |2 − 1)2 ≤ C.Luego, basta probar (10)bUsando Ph : L2(Ω)→W h el proyector respecto de los producto escalar en L2(Ω) sobreW h, las hipo´tesis sobre los espacios discretos y el hecho que f ε(dnh) ∧ dnh = 0, llegamos ala siguiente versio´n discreta de (10)b a partir de (6):(dn+1h − dnhk∧ dnh, d¯h)+((un+1h · ∇)dnh ∧ dnh, d¯h)+γ(wn+1h ∧ [dn+1h + (dnh − dn+1h )], d¯h)+((Ph(f ε(dnh))− f ε(dnh)) ∧ dnh, d¯h)= 0.(11)Por otra parte, queremos obtener la versio´n discreta de la siguiente identidad en con-tinuo−∆d ∧ d = −∇ · (∇d ∧ d)−∇d ∧∇d = −∇ · (∇d ∧ d).Ello se obtiene usando P 1h : H10(Ω) → D0h el proyector respecto del producto escalar enH10 (Ω), llegando a(∇dn+1h ∧ dn+1h , d¯h)=(wn+1h ∧ dn+1h , d¯h)+Rn+11 +Rn+12 , (12)dondeRn+11 =(wn+1h , P1h [dn+1h } d¯h]− [dn+1h } d¯h]),Rn+12 =(∇d˜h,∇[dn+1h } d¯h]),donde } denota el producto vectorial tal que:(wn+1h ∧ dn+1h , d¯h):=(wn+1h ,dn+1h } d¯h). (13)Luego, usando (12) en (11), multiplicando por k y sumando en (11) para n = 0, . . . , N−1, conseguimoskN−1∑n=0{(dn+1h − dnhk∧ dnh, d¯h)+((un+1h · ∇)dnh ∧ dnh, d¯h)+ γ(∇dn+1h ∧ dn+1h ,∇d¯h)}= kN−1∑n=0(Rn +Rn+11 +Rn+12 +Rn+13 ).dondeRn :=(f ε(dnh), Ph(dnh } d¯h)− dnh } d¯h)Rn+13 := γ(wn+1h ∧ (dn+1h − dnh), d¯h).Teniendo en cuenta las convergencias obtenidas se puede pasar al l´ımite en la formu-lacio´n de´bil anterior y mostrar que los te´rminos residuales del segundo miembro van acero.7F. Guille´n-Gonza´lez, J. V. Gutie´rrez-Santacreu6. Compacidad para el gradiente de dDefinimos zh,k,ε(t) = wn+1h +Ph(f ε(dnh)) y dh,k,ε(t) = dn+1h si t ∈ (tn, tn+1]. Entonces,dh,k,ε(t) es caracterizado por el siguientes problema de optimizacio´n (sin restricciones):Jh,k,ε(dh,k,ε(t)) = mı´neh∈DlhJh,k,ε(eh) (14)donde Jh,k,ε :Dlh → R es definido comoJh,k,ε(eh) =∫Ω(12|∇eh|2 + Fε(eh)− zh,k,ε(t) · eh)yDlh = {dh ∈ Dh : dh = lh sobre ∂Ω}.Por otro lado, definimos d∗(t) : [0, T ] → H1l (Ω) como la solucio´n del problema deoptimizacio´n (con restricciones):J(d∗(t)) = mı´n{e∈Hl,|e|=1|}J(e) (15)dondeJ(e) =∫Ω(12|∇e|2 − z(t) · e)(16)y z es una funcio´n limite de zh,k,ε, que existe ya que zh,k,ε esta´ acotado en L2(Q) graciasal Teorema 2.Se prueba ([4]) que Jh,k,ε(dh,k,ε) converge a J(d) y que d∗ se identifica con el vectorde orientacio´n l´ımite d conseguido por las estimaciones de (dh,k,ε). Entonces, tenemos que∇dh,k,ε converge de´bil a ∇d en L2(L2) y tambie´n converge en norma, de donde deducimosla convergencia fuerte en L2(L2), con la que se puede pasar al l´ımite en el sistema demomentos discreto (3).AgradecimientosLos autores han sido subvencionados por el proyecto MTM2006–07932Referencias[1] P. Aze´rad, F. Guillen-Gonza´lez. Mathematical justification of the hidrostatic approximation inthe primitive equations of geophysical fluid dynamics. SIAM J. Math. Anal. 33 (2001), no. 4, 847–859.[2] J. J. Douglas, T. Dupont, L. Wahlbin. The stability in Lq of the L2-projection into finite elementfunction spaces. Numer. Math. 23 (1974/75), 193–197.[3] V. Girault, F. Guille´n-Gonza´lez. Mixed formulation, approximation and decoupling algorithm for anematic liquid crystals model. In preparation.[4] F. Guille´n-Gonza´lez and J.V. Gutie´rrez-Santacreu. In preparation.[5] F. Guille´n-Gonza´lez and M.A. Rojas-Medar.Global solution of nematic crystals models. C.R.Acad.Sci. Paris,Ser. 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Aproximación de un modelo de cristales líquidos nemáticos con un esquema completamente discreto y penalizado

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Aproximación de un modelo de cristales líquidos nemáticos con un esquema completamente discreto y penalizado

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