In questa tesi presentiamo e studiamo un modello matematico qualitativo che descrive l'aggregazione e la diffusione della beta-amiloide nel cervello umano affetto dall'Alzheimer, in un primo stadio del disturbo. Inoltre generalizziamo alcuni risultati ottenuti aggiungendo un terzo fenomeno, quello della frammentazione, considerato un processo secondario. Un modo naturale di descrivere fenomeni di aggregazione (e di frammentazione) è la cosiddetta equazione di Smoluchowski, nata nell'ambito della scienza degli aerosol, che consiste nello studio di particelle solide o liquide sospese in un gas. Nel nostro caso avremo un sistema finito e l'equazione di Smoluchowski verrà modificata per considerare anche il fenomeno concernente
la diffusione; parleremo dunque di equazione finita di Smoluchowski con diffusione
