1. Algebro-Differntialgleichungen mit properem Hauptterm  2. Traktabilitätsindex  3. Linear-quadratische Optimalsteuerun

März, Roswitha

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Algebro-Differentialgleichungen mit properem Hauptterm und Traktabilitätsindex

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Gemeinsamer Workshop des GAMM-Fachausschusses”Dynamik und Regelungstheorie” und desVDI/VDE-GMA-Ausschusses 1.40”Theoretische Verfahren der Regelungstechnik”Kassel, 8. - 9. Ma¨rz, 2004Roswitha Ma¨rzHumboldt-Universita¨t zu Berlin und DFG-Forschungszentrum”Mathematik fu¨r Schlu¨sseltechnologien:Modellierung, Simulation und Optimierung realer Prozesse”Algebro-Differentialgleichungen mitproperem Hauptterm und Traktabilita¨tsindexGliederung:1. Algebro-Differentialgleichungen mit properem Hauptterm2. Traktabilita¨tsindex3. Linear-quadratische Optimalsteuerung1. Algebro-Differentialgleichungen mit properem HaupttermAlgebro-Differentialgleichungen (ADGln) mit properem Hauptterm sind Gleichungen derFormA(x(t), t) (d(x(t), t))′ + b(x(t), t) = 0, t ∈ I, (1.1)mit stetigen KoeffizientenA(x, t) ∈ L(IRn, IRm), b(x, t) ∈ IRm, d(x, t) ∈ IRn, x ∈ D ⊆ IRm, t ∈ I,die stetige partielle Ableitungen Ax, bx, dx, dt besitzen. I ⊆ IR sei hier ein Intervall. Einebesondere Rolle kommt1dx(x, t) =: D(x, t)zu. A(x, t) und D(x, t) sind im allgemeinen singula¨r, gegebenenfalls rechteckig. Die line-are Version zu (1.1) istA(t) (D(t)x(t))′ + B(t)x(t) = q(t), t ∈ I. (1.2)Mit dem properen Hauptterm soll im Gegensatz zur sonst u¨blichen Formulierung vonADGln, z.B. linearen GleichungenE(t)x′(t) + F (t)x(t) = q(t), t ∈ I, (1.3)genau erfaßt werden, welche Ableitungen de facto involviert sind.In fru¨heren Arbeiten (z.B. [1]) wurde eine aus heutiger Sicht propere Formulierung mitHilfe eines Projektors erzwungen. Die Formulierung (1.2) bzw. (1.1) ist dagegen vielflexibler.Der Beginn der Arbeit mit properen Haupttermen ist durch [2], [3] markiert. Ein wichtigerAspekt, der fu¨r propere Hauptterme spricht, ist die Symmetrie zwischen linearen Gle-ichungen (1.2) und ihren adjungierten Gleichungen−D(t)∗ (A(t)∗λ(t))′ + B(t)∗λ(t) = 0, t ∈ I. (1.4)Ausgehend von (1.3) entsteht dagegen die adjungierte Gleichung−(E(t)∗ λ(t))′ + F (t)∗λ(t) = 0, t ∈ I,die von ganz anderem Typ ist. Der Lohn fu¨r die genauere Modellierung mit properemHauptterm sind u¨bersichtlichere Verha¨ltnisse u.a. in den Optimalsteurungsproblemen(vgl. §3).Gleichungen der Form (1.1) entstehen unmittelbar durch die modifizierte Knotenanalyse(MNA = modified nodal analysis) bei der Schaltungssimulation [4].Definition (z.B. [4]): Der Hauptterm von (1.1) heißt proper formuliert, wennimD(x, t)⊕ kerA(x, t) = IRnd(x, t) ∈ D(x, t)}fu¨r alle x ∈ D, t ∈ I gilt,und die beiden Unterra¨ume imD(x, t) und kerA(x, t) von x unabha¨ngig sind und vonstetig differenzierbaren Basisfunktionen aufgespannt werden.Es darf also sinnvollerweise keine Lu¨cke und keine U¨berlappung zwischen den beiden Un-terra¨umen kerA(x, t) und imD(x, t) geben.Die wohlbekannten semi-expliziten ADGlnM(x1(t), x2(t), t)x′1(t) + b1(x1(t), x2(t), t) = 0b2(x1(t), x2(t), t) = 0} }m1}m2 (1.5)2mit invertierbarem M werden in (1.1) erfaßt mit n = m1 und A =(M0), d(x, t) = x1.Es ist dabei offensichtlich kerA = 0, imD(x, t) = IRn. Also ist (1.5) bereits eine For-mulierung mit properem Hauptterm. U¨ber die Lo¨sbarkeit von (1.5) ist damit natu¨rlichnoch nichts gesagt, auch nichts u¨ber den Index usw. Fu¨r (1.5) wird man bei Lo¨sungen vonstetigen Funktionen ausgehen, deren erste m1 Komponenten stetig differenzierbar sind.Als Lo¨sungen von (1.1) akzeptiert man natu¨rlicherweise stetige Funktionen x : I → IRm,fu¨r die d(x(.), .) stetig differenzierbar ist, und die die Gleichung fu¨r alle t ∈ I erfu¨llen.Dieses Lo¨sungsversta¨ndnis entspricht fu¨r den (sonst uninteressanten) Spezialfall A(x, t) ≡I, d(x, t) ≡ x dem klassischen Lo¨sungsbegriff fu¨r explizite Differentialgleichungen (DGln).Man sollte deshalb solche Lo¨sungen (auch wenn sie der sehr verbreiteten Forderung nachC1-Lo¨sungen fu¨r ADGln nicht entsprechen) keinesfalls als schwache Lo¨sungen bezeich-nen. Diese Bezeichnung sollte Verallgemeinerungen in Zusammenhang mit Variations-gleichungen vorbehalten bleiben.2. Traktabilita¨tsindexDer Traktabilita¨tsindex wurde zuna¨chst fu¨r ADGln in Standardform (lineare bzw. nicht-lineare mit niedrigem Index) eingefu¨hrt (vgl. [1]). Er ist nicht mit Reduktionstechnikenund Variablen-Transformationen verbunden, und es werden keine Gleichungen differen-ziert bzw. ho¨here Ableitungen und prolongierte Systeme gebildet. Statt dessen zieltder Traktabilita¨tsindex bei linearen ADGln auf eine Entkoppung des Originalsystems indie charakteristischen Komponenten. Fu¨r nichtlineare ADGln wird der Index u¨ber Line-arisierung definiert.Das Handwerkszeug fu¨r den Traktabilita¨tsindex sind Matrixketten, Unterra¨ume und Pro-jektoren. Kann man die relevanten Informationen dafu¨r aus den Gleichungen heraus-filtern, wird es mo¨glich, den Index auch praktisch zu bestimmen. Der fu¨r das indus-trielle Simulationspaket TITAN von Siemens/Infineon entwickelte Index-Monitor wurdeso auf der Grundlage des Traktabilita¨tsindex entwickelt [5]. Nicht nur bei der Schaltungs-simulaton werden die Systeme zunehmend komplexer. Ein Index-Monitor kann auch alsein Sinnhaftigkeitspru¨fer fu¨r große, automatisch zusammengestellte Systeme angesehenwerden. Da wa¨re es gut, den Index bestimmen zu ko¨nnen und dazu die Verursacher-Komponenten von zu hohem Index, ohne daß man die Gleichungen insgesamt lo¨sen muß.Ausgangspunkt fu¨r den Traktabilita¨tsindex ist der folgende Sachverhalt fu¨r Matrixbu¨schelλG + B mit m×m Matrizen G und B. Bezeichne Q0 eine Projektionsmatrix (Q20 = Q0)mit N0 := kerG = imQ0, P0 := I −Q0, weiterG0 := G, B0 := B,G1 := G0 +B0Q0, B1 := B0P0,und analog, mit Qi = Q2i , imQi = kerGi =: Ni, Pi := I −Qi,Gi+1 := Gi + BiQi, Bi+1 = BiPi, i ≥ 0. (2.1)Theorem ([6]) : λG + B ist genau dann ein regula¨res Bu¨schel mit Kronecker-Index µ,wenn es eine Sequenz (2.1) gibt, derart daß fu¨r i > 13N0 ⊕ · · · ⊕Ni−1 ⊆ kerQi gilt, undrankGµ−1 < rankGµ = m.Fu¨r eine lineare ADGln mit konstanten KoeffizientenGx′(t) + Bx(t) = q(t) (2.2)sind mit der Sequenz (2.1) Rearrangements verbunden:G0x′(t) + B0(P0 + Q0)x(t) = q(t),(G0 + B0Q0)(P0x′(t) + Q0x(t)) + B0P0x(t) = q(t),usw. bisGµ{Pµ−1 · · ·P0x′(t) + Q0x(t) + · · ·+ Qµ−1x(t)}+ Bµ−1Pµ−1 x(t) = q(t).Dabei ist die obige spezielle Wahl der Projektoren Qi, die QiQj = 0 fu¨r j < i liefert, sehrhilfreich. U.a. sind die Produkte P0 · · ·Pi, P0 · · ·Pi−1Qi wieder Projektoren.Stellt man bei der Bildung der Sequenz (2.1) beim Schritt i∗ fest, daß Qi∗ nicht wiegewu¨nscht gewa¨hlt werden kann, so handelt es sich bei λG+B um ein singula¨res Bu¨schel.Beispiel:x′1(t) + x1(t) = q1(t)x′3(t) + x2(t) = q2(t)x′4(t) + x3(t) = q3(t)x4(t) = q4(t)x5(t) = q5(t)⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭(2.3)Hierzu gibt es die folgende Sequenz:G0 = G =⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Q0 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,G1 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Q1 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 0 00 0 −1 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Q1Q0 = 0,G2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Q2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 −1 00 0 0 1 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , Q2Q1 = 0, Q2Q0 = 0,4G3 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 00 0 0 0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,P0 Q1 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , P0P1Q2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , P0P1P2 =⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .Die Lo¨sung x kann hiermit zerlegt werden zux = P0P1P2x + P0P1Q2x + P0Q1x + Q0x.Ein Blick auf (2.3) mach die Zuordnung zu den charakteristischen Komponenten deutlich.Mit einer geeigneten Faktorisierung G = AD kann man die ADGln (2.2) alsA(Dx(t))′ + Bx(t) = q(t)umschreiben und analog vorgehen.Fu¨r ADGln (1.2) mit variablen Koeffizienten wird die Sequenz von Matrizen und Projek-toren ausgehend von G0 := AD, B0 := B punktweise fu¨r jedes t gebildet, allerdings miteinem etwa komplizierterem Bi:Gi+1 := Gi + BiQi,Bi+1 := BiPi −Gi+1D−(DP0 · · ·Pi+1D−)′DP0 · · ·Pi}, (2.4)wobei D− eine verallgemeinerte Inverse zu D ist ([7], [8]).Definition ([7]): Eine ADGln (1.2) mit properem Hauptterm heißt regula¨r mit Trakta-bilita¨tsindex µ, falls es eine Sequenz (2.4) mit folgenden Eigenschaften gibt:(a) Gi(t) hat konstanten Rang ri auf I, i = 0, · · · , µ,(b) N0(t)⊕ · · · ⊕Ni−1 ⊆ kerQi(t), i = 1, · · · , µ− 1, t ∈ I,(c) Qi ist stetig, DP0 · · ·PiD− ist stetig differenzierbar, i = 0, · · · , µ− 1,(d) rµ−1 < rµ = m.Regularita¨t mit Traktabilita¨tsindex µ ist unabha¨ngig von der Projektorwahl im Rah-men des Kalku¨ls [7]. Fu¨r den Fall konstanter Koeffizienten ist das genau die Bu¨schel-Regularita¨t mit Kronecker-Index µ. Invarianz in bezug auf Transformation der Variablenund auch auf Refaktorisierung des Hauptterms ist in [7] bewiesen.5Jede regula¨re ADGln (1.2) mit Index µ (und eventuell zur Stetigkeit zusa¨tzlichen Glatt-heitsanforderungen an A,D,B) kann nun mitu = DP0 · · ·Pµ−1x,v0 = Q0x, vi = P0 · · ·Pi−1Qix, i = 1, · · · , µ− 1,entkoppelt werden zu ([8], [9])u′ − (DP0 · · ·Pµ−1D−)′ u + DP0 · · ·Pµ−1G−1µ BD−u = DP0 · · ·Pµ−1G−1µ q, (2.5)⎛⎜⎜⎜⎝0 N12 · · · N1µ−1.... . . . . ....Nµ−2µ−10 · · · 0⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝0v′1...v′µ−1⎞⎟⎟⎟⎠+⎛⎜⎜⎜⎜⎝I M12 · · · M1µ−10 I. . ........ . . . . . Mµ−2µ−10 · · · 0 I⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝v0v1...vµ−1⎞⎟⎟⎟⎠ =⎛⎜⎜⎝L0qLµ−1q⎞⎟⎟⎠.(2.6)Die (stetigen) Koeffizienten Nij, Mij und Li sind in [8, 9] angegeben. Im Falle konstanterProjektoren P0, · · · , Pµ−1 verschwinden die Koeffizienten Mij.Die inha¨rente regula¨re DGln (2.5) ist hier (bei einer sogenannten feinen Entkopplung [9])eindeutig durch die Koeffizienten A,D,B festgelegt, und ihre Dynamik bestimmt die derADGln insgesamt. Eine Pru¨fung der Koeffizienten L1, · · · Lµ−1 ermo¨glicht die Charak-terisierung von kausalen (proper nach P.C. Mu¨ller) gesteuerten ADGln. Auch hierfu¨r istwieder ein Projektor relevant [8]. Fu¨rA(Dx)′ + Bx = Cu mit Gµ(I − P1 · · ·Pµ−1)G−1µ C = 0erreicht man LiCu = 0, i = 1, · · · , µ− 1, was Differentiationen von u ausschließt.Fu¨r nichtlineare ADGln (1.1) wird eine Sequenz analog zu (2.4) aufgebaut, und zwar punk-tweise fu¨r x, t und y ausgehend von G0(x, t) = A(x, t)D(x, t) und B0(y, x, t) = bx(x, t) +(A(x, t)y)x. Dabei muß der Term (DP0 · · ·Pi+1D−)′ in (2.4) durch einen entsprechendenAusdruck ersetzt werden [4].Die Sequenz ist so konstruiert, daß alle Linearisierungen einer ADGln mit Traktabilita¨tsindexµ la¨ngst ausreichend glatter Funktionen wieder den Index µ haben [4].Einige speziellere Fragen hierzu werden in [11] diskutiert.In [10] ist ein numerischer Algorithmus zur Konstruktion der Projektoren und zum Index-Test entwickelt worden.63. Linear-quadratische OptimalsteuerungSei die KostenfunktionJ(x, u) :=12〈x(T ), V x(T )〉+ 12T∫0〈(x(t)u(t)),(W (t)S(t)S(t)∗K(t))(x(t)u(t))〉dt (3.1)mit der NebenbedingungA(t)(D(t)x(t))′ + B(t)x(t) = C(t)u(t), t ∈ [0, T ], (3.2)A(0)D(0)x(0) = y0 (3.3)zu minimieren. T > 0 und y0 ∈ im A(0)D(0) sind gegeben. (3.2) habe einen properenHauptterm. V,W (t) und K(t) seien symmetrisch, V und(W (t)S(t)S(t)∗K(t))seien positivsemi-definit. Weiter gelte N0(T ) := ker(A(T )D(T ) ⊆ kerV.Zugleich mit (3.1) , (3.2), (3.3) betrachten wir die Randwertaufgabe (RWA).A(Dx)′ = −Bx + Cu−D∗(A∗λ)′ = Wx−B∗λ + Su0 = S∗x + C∗λ + Ku⎫⎬⎭, (3.4)A(0)D(0)x(0) = y0, D(T )∗A(T )∗λ(T ) = V x(T ). (3.5)Nicht nur die zweite Gleichung im System (3.4) hat wieder einen properen Hauptterm,sonder auch das System (3.4) insgesamt.Nach [12] liefert jede Lo¨sung der RWA (3.4), (3.5) ein optimales Paar x∗, u∗ fu¨r das Mini-mierungsproblem (3.1), (3.2), (3.3), d.h. die RWA stellt eine hinreichende Extremalbe-dingung dar. Nach [13] kann es jedoch sein, daß die Minimierungsaufgabe lo¨sbar ist, dieRWA aber nicht, d.h. die RWA ist nicht fu¨r alle Fa¨lle notwendige Extremalbedingung.Nach [13] ist sie es, wenn die Matrix (G1(t)C(t)) vollen Zeilenrang hat.In [12] werden hinreichende und notwendige Bedingungen dafu¨r gegeben, daß die ADGln(3.4) regula¨r mit Traktabilita¨tsindex Eins ist. Dies sind Zeilen-Vollrang-Bedingungen fu¨rdie beiden Matrizen (punktweise fu¨r t ∈ [0, T ])(G1C) und(G∗0 B∗Q∗0 WQ0 S0 −C∗Q∗0 S∗Q0 K),mit Q0 = I −G+0 G0, Q∗0 = I −G0G+0 .Fu¨r ADGln (3.4) mit Index Eins und kerA = 0 hat die inha¨rente regula¨re DGl Hamilton-Eigenschaften [12], was sehr fu¨r die Modellierung der ADGln mit kerA = 0 spricht.Abschließend sei bemerkt, daß die unten angegebenen Referenzen die Quellen fu¨r hierzitierte Ergebnisse sind. Sie enthalten zugleich die notwendigen Auseinandersetzungenmit vorhandener Literatur, auf die hier ganz verzichtet wurde.7Referenzen:Hier werden ausschließlich Quellen zusammengestellt, die die oben skizzierten Ergebnisseim Detail enthalten. Eine entsprechende Einordnung von Problemen und Ergebnissen indie relevante Literatur ist nicht Anliegen dieses Vortrags. Hierzu sein auf die genanntenQuellen und die darin enthaltenen Kommentare verwiesen.[1] R. Ma¨rz: Numerical methods for differential-algebraic equations. Acta Numerica1992, 141-198.[2] R. Ma¨rz: Differential algebraic systems anew. Applied Numerical Mathematics 42,315-335, 2002.[3] K. Balla, R. Ma¨rz: A unified approach to linear differential algebraic equationsand their adjoints. Journal for Analysis and its Application 21, 783-802, 2002.[4] R. Ma¨rz: Differential algebraic systems with properly stated leading term andMNA equations. Intern. Series of Numerical Mathematics Vol. 146, 135-151, 2003.[5] R. Ma¨rz, D. Este´vez Schwarz, U. Feldmann, S. Sturzel, C. Tischendorf: Findingbenefical DAE structures in circuit simulation. In: W. Ja¨ger, H.-J. Krebs (eds.)Mathematics - Key Technology for the Future. Springer 2003.[6] E. Griepentrog, R. Ma¨rz: Basic properties of some differential-algebraic equations.Journal for Analysis and its Application 8, 25 - 40, 1989.[7] R. Ma¨rz: The index of linear differntial algebraic equations with properly statedleading terms. Results in Mathematics 42, 308-338, 2003.[8] R. Ma¨rz: Solvability of linear differential algebraic equations with properly statedleading term. Results in Mathematics, to appear.[9] R. Ma¨rz: Fine decouplings of regular differential algebraic equations.Humboldt-Universita¨t Berlin, Institut fu¨r Mathematik, Preprint 04-3,http://www.mathematik.hu-berlin.de.[10] R. Lamour: Index determination and calculation of consistent initial values forDAEs. Computers Math. Applic., to appear.[11] I. Schumilina: Charakterisierung der Algebro-Differentialgleichungen mit Trakta-bilita¨tsindex 3, Manuskript, 2004.[12] K. Balla, G.A. Kurina, R. Ma¨rz: Index criteria for differential algebraic equationsarising from linear-quadratic optimal control problems. Humboldt-Universita¨tBerlin, Institut fu¨r Mathematik, Preprint 03-14, http://www.mathematik.hu-berlin.de.[13] A. Backes: A necessary optimality condition for the linear-quadratic DAE controlproblem. Humboldt-Universita¨t Berlin, Institut fu¨r Mathematik, Preprint 03-16,http://www.mathematik.hu-berlin.de.8

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