Araki Takaharu

荒木 孝治

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Kansai University Repository

一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法その他のタイトル Testing whether the survival distribution isincreasing failure rate of specified age著者 荒木 孝治雑誌名 關西大學商學論集巻 39号 3ページ 1-10発行年 1994-08-25URL http://hdl.handle.net/10112/00019338関西大学商学論集第39巻第3号 (1994年8月） （135)1 一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法荒木孝治1. はじめにシステムの品質の劣化に関して様々な特徴づけが考えられている。それらの代表的なものとして， NBU(New Better than Used)とIFR(Increas-ing Failure Rate)がある。これらは時間経過とともにシステムの品質が劣化するという概念である。 NBUは時間経過とともに故障確率が増大する，IFRは時間経過とともに故障率が増加することを意味している （詳細については例えば， Shakedet. al. (1994)参照）。両者とも信頼性が単調に減少するという単純な概念であり，現実のシステムに対しては直接適用できないことも多い。通常，システムは定期的なメンテナンスをうける。メンテナンスを考えるとき上記の故障に関する信頼性概念では対応できない。なぜなら，メンテナンスをうけることによりシステムの品質は変化する（回復することが期待される）。本当にメンテナンスを行うことが良いのか， ということが問題になることもある。 Hollanderet al. (1986)によると， U.S. Federal Aviation Administrationは，一定時間のフライト後に，商業航空機のエンジンの徹底的なオーバーホールを行うことを要求しているが，エアライン側は，このォーバーホールは不必要であり， 場合によっては害になる， と主張している。この場合，データにもとづいてどちらの主張が正しいかを検証する必要が生じる。また，システムの品質が単調に劣化することはまれである。よく見られる2(136) 第 39 巻第 3 号のは，ある時点までは，信頼性が向上し，その後単調に劣化するというパターンである。 これを危険率関数で表現すると， いわゆるバスタブ曲線となる。さらに，このことがらを加味して， システムを市場に出すまでに， “ならし”運転を一定時間行い，その後市場に出すこともある。この場合，ならし運転がシステムの品質に本当に寄与するのかどうかをデータによって判定する必要が生じる。これらの問題に対して考えられたのが一定時間使用後のシステムの品質概念である。一定時間（以下， この時間を t。とする）使用後のシステムの故障分布について， Hollanderet al. (1986)は， NBU-t。の概念とともに，その検定方式を提案した。あるシステムについて，ダc:;=:o)時間使用した後に， それが故障する故障分布を F(x)で与える。また F(x)の確率密度関数をJ(x)とする。このとき，政x)=l-Fは）は非故障分布であり， F(x)の危険関数 r(x)はr(x) f(x) == F(x) となる。 また， システムが t。時間故障しなかったという条件のもとで，さらに X 時間故障しない条件つき故障分布を凡(x)=F(x+t。)/-F(to) とあらわす。分布 Fが NBU-t。(NewBetter than Used of to)であるとは， すべての x20に対して政x+to)<尺x)夙to)であり， ある X に対しては厳密に不等号（く）が成り立つことをいう。 これは一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法（荒木） （133)3 F1。(x):;:;:F(x)と表現してみると， 新しいシステムの“時間使用後の非故障確率は， t。時間使用して故障しなかったという条件つきのもとで，この“古い”システムがさらに“時間故障しないという確率よりも大きいことを意味することがわかる。NBU-t。概念に対して， Al-Oshet al. (1989)はt。時間使用後のシステムの特徴づけを NBU以外に一般化した。それらのうちの一つが次に示すIFR-t。である。分布 Fが IFR-t。(IncreasingFailure Rate of to)であるとは，すべての xz{）に対してr(x+to) zr(x) がなりたち， ある“に対しては厳密に不等号が成り立つことをいうことをいう。“時間使用後の新しいシステムの危険率は， t。時間使用して非故障であったという条件つきのもとでこの古いシステムをさらに“時間使用するときの危険率よりも小さいことを意味する。分布 Fが IFR-t。ならば NBU-t。でもあることがわかるので， IFR-t。は NBU-t。よりも“強い”概念である。現実のデータにもとづいて， あるシステムが IFR-t。かどうか判断するには，検定手法が必要となる。本稿では， IFR-t。の検定方式を新しく提案し，その性質を与える。2. IFR-t。の検定統計量分布 Fからの大きさ nのランダムサンプ）レ {X1,X2，・・・，ふ｝に基づいて，Fが IFR-t。かどうかの検定を行いたい。分布の集合 AをA={F:秋(y）F(to+x)=Fi(“炉(to+y)}とすると，これは次の仮説の検定問題である。4(134) 第 39巻第 3 号帰無仮説 H。:FEA対立仮説 H1:Fは IFR-t。IFR-t。の定義より， Fが IFR寸。であることと， “syなる“と yに対して択y)夙t。サ）ー F(x)放to+J)LOであることとは同値である (Al-Oshet al. (1989)）。上式の左辺を dF(x)dF(y）で積分したものを .d(F)とおくと， H1のもとで胃――.d(F) = ¥.\~ (F(y)F(to+x)-F(x)F(to+y))dF(x)dF(y) 0 JO は非負である。また， H。のもとでは， .d(F)=Oとなるので， 4（F)は FがIFR-t。かどうかを“検出する”関数とみることができるので， これを検定に利用する。部分積分を用いて .d(F)を変形すると，.d(F)＝輯゜戸(t。サ）d[l-だ(z)］-H。OO昴＋のdF紅）とあらわすことができる。.d(F)の定義の右辺の第一項を T1(F),第二項を T2(F)とおく。.d(F) =T1(F)-T2(F) 真の故障分布 Fは未知なのでサンプルからそれを推定する。通常は Fの推定量として経験分布関数凡を用いる。 IFR-t。の検定統計量として， .d(F)の Fを凡で置きかえたもの， 4（F"）を考えればよいが， ここではそれと漸近的に同値な統計量を用いることにする。関数をそれぞれ次式で定義する。V!(a, b) ={1 if a>b 0 other孤seg1（功，“2ダ3,X4)＝寛{.x4,min（功，“2,ふ）＋t。｝一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法（荒木） （187)5 g氏孔X2)=り（功，X1+to) 1 g*（功，功，知ぶ）＝ー {g1年，功，“3，心＋3g!（功，功，功ふ）｝4 1 g*（功，功）＝一{g!（功,X2) +g心2,X1)} 2 このとき，検定統計量としてTn=T1n-T2n 1 1 応＝一こg*(Xi1,Xi2,Xi3,X心， T2n=―ーエg*（Xil,Xi2)3 (1) C1 1 2(t) e2 2 を考える。ただし，工は集合 {1,2,…， n}から 4個の要素｛り，…，り｝を抜Cl き取る組合せに関する和であり，こは {1,2,…，n}から 2個の要素｛り，沿C2 を抜き取る組合せに関する和である。3. 漸近的性質第2節で定めた統計量 T"は U統計量のクラスに属すので，通常の U統計量の漸近的性質を満たす。一般に，例えば Serfling(1980)より，1 砧＝UCX1,X2, ・， ふ）＝―-~h(X;1, X2, …， X心（は） C のかたちの統計量を U統計量という。 h（功，ぉ2,・・・, Xm)は対称な関数で，工は {1,2, ・・, n} からの m 個の要素 {i,iぶ・・・，iml の抜き取りの組合せに関する和を示す（組合せ数は（n 個ある）。m) Fと関数 hに関して()＝応{h(X1,Xぁ…，ふ）｝＜O恥 {h(Xi.X2,…，ふ）戸<OOが満たされるとする。ただし， Eバ・｝は Fに関する期待値をあらわす。6(188) 第 39巻第 3 号l~c~m-1 に対して次の関数を定義する。he（功，…，ん）＝恥{h,+1(xi,…，ダc,Xe+1,…，ふ））,;e =varp {he(X1, ・・・，ふ））ただし， varバ・）は Fに関する｛ ｝内の変量の分散をあらわす。このとき， U統計量はつぎの結果を満たす（例えば Serfling(1980)参照）。定理 (Hoeffding(1948)）。＜1>0のとき， n町u"―0} は漸近的に期待値0,分散 m2,;1の正規分布に従う。この定理を T” に適用すると次の結果を得る。系 (T” の漸近正規性）。分布 Fが(J2=lim n•varp(Tn)>O ”→00 を満たすとき， n％｛T”―4(F)}は漸近的に平均 0' 分散 a2 の正規分布に従う。特に帰無仮説 H。のもとで， n％T” は漸近的に，平均 0'分散2 1 - -2 a = 0 420 F(to) {F(to) -1} 2 {3F" (t。)＋6F(to)+2} の正規分布に従う。この結果を用いて漸近的に有意水準 a の検定を行いたい。 しかし atに” は未知の Fが含まれている。瓦(to)=n-1:E lf!(X;, to)は政to) の一致推定＝ヽ1量なので， a~ の FCto) を瓦(to) で置きかえた2^ 1 - -a。=-420 凡(to){Fn(to)-1} 2 {3F.2(to) +6Fn(to) +2}, を利用する。系と Slutskyの定理より，n％冗／6。一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法（荒木） （189)7 は帰無仮説のもとで標準正規分布に従うことがわかる。検定方式として， “n½冗／6。の値が標準正規分布の上側100a ％点より大きいとき，帰無仮説を棄却し，対立仮説を採択する”を採用する。4. 漸近効率検定の良さの指標である漸近効率を求め，統計量公と Hollanderet al. (1986)の統計量品とを比較する。品は NBU-t。の検定に提案された統計量であり，次式で与えられる。” 品＝｛n(n-1)｝喝こ刃（狐，x，．+t。)-（2n)遁こ訳X;,to)C2 - - i=l 統計量の漸近的な効率を比較する手法の一つに Pitmanの漸近相対効率がある。これを用いて Tnと品の比較を行う。対立仮説として次の 2つの分布を考える。1) Makeham分布：尻(x,.1)=exp[ -{x+..i(x+exp(-1)-1)一1)J,..120, x20 2) C*分布：瓦(x，入）＝exp[-{x-..1(2to)-1炉｝］， o:s:入:S:l,O:S:た;_t。=exp[ -{x-..1(2)-1 t。)］， o:s:え:S:l，ぶ?.t。Makeham分布の危険関数 rF1(x，入）を求めると rF,(x,.l) =1 +.1となるので，これは IFR-t。ではない。これに対して， C*分布の危険関数 rF2(＄，A)は，rF2(X,入）＝｛ 1-入x/t。1 となるので，これは IFR-t。である。o:c;:x:c;:t。otherwise 統計量の対立仮説の分布月(x,J)のもとでの漸近的な期待値を，統計蓋8(190) 第 39 巻第 3 号Sn, Tnに対してそれぞれん（い） （j=S, T)とし， 帰無仮説のもとでの分散を心 (j=S,T)とする。統計量品に対する統計量 Tnの Pitmanの漸近相対効率 eFt(T,S)はeFi(T, S) ＝ ｛J分Ci,0)/aor} 2/ {J's(i, 0)/aos} 2 ただし，4り(i,0) =d今(i，入）／dAli.=o,j=S,Tである。 eFt(T,S)>1のとき，統計量冗は統計量＆より漸近効率が良いと判断し， ep,(T,S) =1のとき漸近効率は変わらないと判断する。統計量品に対するこれらパラメータの値は， a。＝exp(-t。)とするとき命＝a。（l+a。)(1-a。)／121 4's(1, 0) ＝-ao(1 -a。)6 LI's(2, 0) ＝応(2t。 a~-1 +a~) となる (Hollanderet al. (1986)). 統計量 T” に対してはa品＝嘉a。(1-a。)%2+a。+3a5)凸 (1,0)＝翡a。(1-ao)1 む(2,0)=¾a。(ai-8t。叫十 4t。ai-4叫＋3)64t。が得られる。 よって，対立仮説が Makeham分布の時，統計量品に対する統計量 Tnの Pitmanの漸近相対効率はeF1(T, S) ＝ 7(1+2a。)5(1-a。)（2+6ao+3a5)一定時間使用後のシステムの故障分布の特徴づけに関する検定法（荒木） （191)9 となる。対立仮説が C＊分布の時，統計量品に対する統計量 TnのPitmanの漸近相対効率はep2(T, S) = 35(a~-8t。aij+4t。at-4aij+3)2(2a。 +1)64Cl-ao) (3aH6ao+2) (2t。aij-l+aij)2となる。これらの値を，横軸を to，縦軸を漸近効率にとってグラフ化すると，次図のようになる（図 1' 図 2参照）。8 7 6 5 eF,(T,S) 4 3 2 ゜ 2 4 6 8 10 t。図1 統計量ふに対する統計量 T” の Pitmanの漸近相対効率 (Makeham分布の場合）2.5 2 1.5 eF,(T,S) 0.5 ゜ 2 4 6 8 10 t。図2 統計量ふに対する統記量れの Pitmanの漸近相対効率（C*分布の場合）10(192) 第 39巻第 3 号図1より，対立仮説が Makahem分布の場合，ほとんどの t。の値に対して匹は劣っていることがわかる。これは，この分布が IFR-t。でないことから (NBU-t。でもない），予測のつく事態である。これに対して図 2より，対立仮説が C*分布の時， 非常に小さい値は除いてほとんどの t。の値に対して冗は＆より優れていることがわかる（効率は 2倍以上）。参考文献Al-Osh, M. A. and A. A. Alzaid (1989). On the increasing failure rate criteria. Commun. Statist. Theory Meth. 18, 4421-4436. Ebrahimi, N. and M. Habibullah (1990). Testing whether the survival dis-tribution is new better than used of specified age. Biometrika. 7, 1, 212-215. Hoeffding, W. A. (1948). A class of statistics with asymptotically normal distributions. Ann. Math. Statist. 19, 293-325. Hollander. M., D. H. Park and F. Proschan (1986). A class of life distribu-tions for aging. J. Am. Statist. Assoc. 81. 91-95. Serfling, R. J. (1980). Approximation theorems of mathematical statistics. John Wiley & Sons. Shaked, M. and J. G. Shanthikumar (1994). Stochastic orders and their ap-ptications. Academic Press. 

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