Araki Takaharu

荒木 孝治

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Kansai University Repository

ローレンツ順序の検定その他のタイトル Large sample tests for Lorenz ordering著者 荒木 孝治雑誌名 關西大學商學論集巻 39号 4ページ 269-278発行年 1994-10-25URL http://hdl.handle.net/10112/00019333関西大学商学論集第39巻第4号 (199峠三10月） （269)1 ローレンツ順序の検定荒木孝治1．序Lorenz (1905)は， 所得の格差の度合いのグラフィカルな測度としてローレンツ曲線を提案した。ある n人の所得から構成される母集団を考える。このとき， この母集団の所得分布のローレンツ曲線 L(u)(u巴[0,1]）は，100u%の下位の所得者の所得の合計が母集団の総所得に占める割合である。n人の所得を{Zi,Z2,…，Z社とし， それを大きさの順に並べた順序統計量をZn1:s;:z立三…:s;:Zn とする。 L(u)を式で表現するとL（土）＝tz心 Zni, i=l, 2,…，n i=l J=l となる。ただし，点（-;-,L(-;-)), i=O, 1… l,・・・,n,の間は線形補間する。n n I 一般に，正の値をとり有限の期待値を持つ任意の確率変数と，その分布関数 Hを考える。分布 H のローレンツ曲線 LHは，『H-1(x)dx伍(u) ＝\：記-;;;;• uE[O, l] ただし， H-1は Hの逆関数と定義できる。この定義の分母はHの期待値(μH)と等しい。 H-1は非減少関数なので，ローレンツ曲線は下に凸の曲線である。また， Ln(O)=O,L瓜1)=1なので，点 (0,0)と点 (1,1)を通り，これら両点を結ぶ直線の下側にあ2(270) 第 39巻第 4 号る弓形の曲線である。ローレンツ曲線は，次式で見るように Giniの提案したジニ係数 (Giniindex)と密接な関係にある。分布 Hのジニ係数を GI(H)であらわすとき，GI(H) =1-2~:位(u)duである。ジニ係数はローレンツ曲線と原点を通る45度線との間の面積の 2倍になっている。有限の期待値を持つ二つの分布関数のローレンツ曲線 Lp(u),LG(u)に対してすべての uE[O,1] に対して Lp(U)~LG(U)が成立するとき， Fはローレンツの意味で G と比べて格差が少ないと解釈できる。この関係をF~ LorenzG とあらわすことにする。これはある意味で分布間の順序関係を構成しているので，この関係をローレンツ順序 (Lorenzorder)と呼ぶ。 F:;:Lorヽn•G かつ FこLormzGのとき F=Lor‘”心とあらわすことにする。本稿では，ローレンツ順序に関する仮説の検定統計量を定め，その性質を求める。2. 一標本問題2. 1. 検定統計量分布Fに従うランダムサンプル {Xi.X2, ・, X”}にもとづいて， Fのローレンツ曲線がある既知の分布Foのローレンツ曲線と等しいかどうかという仮説を検定したい。帰無仮説と対立仮説は次のようになる。H。:F=Lom9ZF。HI : F<Lo'‘”ZF。かっ Fキ LoremF。ローレンッ順序の検定（荒木） (271)3 この問題の検定統計量を構成することを考える。FSLorenz F',。の定義より， すべての uE[O,1]に対して LF(U)2LF。(u)なので， FSLorenzF,。ならば位F(u)du2炉。(u)duまたはGI(F) sGI(F,。)が成り立つ。 Aly(1991)はこの関係を利用して検定統計量を導出した。ここでは，それを一般化することを試みる。 LF(U)2LF。(u)ならばに(u)d咋に。(u)“0 0 ただし， u=l-u が成り立つので，この関係を検定統計量の構成に利用し，最適な aの値を決定する。00 分布 Hに対して，その期待値を邸＝！ H（x)dxとするとき（打＝1-H），部分積分を利用すると＼！伍(u)面を， 0 ゜¥1伍 (u)d炉＝一 1 OO― o (a+1)μH!。｛H(t)）が1dtのかたちに変形することができる。よって， LF(U)2LF。(u)ならば試゜ ｛F(t))"'+1dt疇！。OO｛瓦(t))"'+1dt である。上式で， Fのかわりにその経験分布関数：m 凡(x)=m―1~1Jl(X;,X)i=l を代入する。ただし，刃(u,v)＝『 ifu<v 0 otherwise である。4(272) ?39 巻? ? ?{X凶，・・・，ふ）の順序統計量を Xm1:s;:Xm,::;:…三Xmm，その平均値を瓦であらわすと，廿00 — 1 OO ふ。む (t)）が1dt=ir{1-F,. (t)) "'+idt X,.Jo 1 m i-1か 1＝乙母(1ー百） (Xmi -Xmi-1) ～ー(a+l)土謡],,.,（土）Xmiただし， J,.,(u)= (1-u)00 と漸近的に表現できる。m. ぬ(Fm)=~(a+l) 1 ~ T / i Xm 盃品に（元可）Xmiとおく。Lx(u)-Ly(u):2:0ならば漸近的にむ（F)-む(F。)：：0である。また，t(F) =o"'(F)一む(F。)とすると， 帰無仮説 H。のもとでは t(F)=Oであり， 対立仮説 H1のもとでは t(F)>Oである。統計量む(Fm)一む(F。)のレベルにおいてもこれらの関係が成り立つことが期待される。よって，検定統計量として，tm(a)＝む(Fm)一o.,(Fo)を採用する。 a=lのとき，なる。ね(a)は Aly(1991)の提案した統計量にと2. 2. 漸近的性質第 2節で定めた統計量 tm(a)はL統計量のクラスに属すので， L統計量の漸近的性質を満たす。 L統計量は様々な条件のもとでその漸近的な性質が考えられているが， ここではそのかたちをふ＝m-魯（土）Xm;ローレンツl厠字の検定（荒木） (273)5 で考える。このとき，つぎの結果が成立する（例えば， Serfling(1980)参照）。定理 (Stigler(1974)）。 島 (X2)<ooで， h(・）は有界で連続 (a.e. P-1) な関数とする。また，00 00 噸，F)=~:~:h(F(x))h(F(y))[F(min(x, y))-F(x)F(y）］d叫＞O-00 -00 とする。ここで， min(u,v)は U と Vの小さい方を意味する。このとき，ふは漸近的に正規分布 N（島（Sm),02（ふ））に従う。また，Iimm沢ふ）＝o2(h,F) ”ヽ→00である。この定理を t箪(a)に適用すると次の結果を得る（証明は， Aly(1991)の定理2.1の証明と同様）。系1.EF{Xり<Oで， J“（・）は有界とする。また，o即(F)=r戸(F(x))J.,(F(y）［F(min(x,y))-F(x)F(y）］d血＞O0 JO とする。このとき， m½{t..(a)-6(F)} は漸近的に平均 0' 分散が吐(F)＝が（a+l)丸（F)＋炉(F)ai(F)-2(a + l)6(F)<112a,(F)} μ,． の正規分布に従う。ただし，00 —“ af.,(F)=2~。｛F(x)｝吋 F(y）｛r(y）｝ °dyd“゜oi(F) =2~~和）『F(_v)dydx。。知 (F)=＼OOア（“ずF(y）｛応）｝の知＋炉応）｝“舟F(y）d叫。。である。6(274) 第 39巻第 4 号系 1より，帰無仮説のもとでm町tm(a)-8(Fo)｝／％（F。)は標準正規分布に従う。有意水準 zの検定を行うには， m町tm(a)-lJ(Fi。)｝／%(Fo)の値が標準正規分布の上側 100z彩点より大きいとき，帰無仮説を棄却し，対立仮説を採択すればよい。3. 二標本問題分布 Fに従うランダムサンプル {X1,X2,…，X”しおよび分布Gに従うランダムサンプル {Yi,Y2,…, Y”}にもとづいて，次に述べる仮説検定を行いたい。第2節と同様に， ｛X1,X2,・・・，ふ｝ の順序統計量を Xm1S:X軍2S:…<Xmm，平均値を兄，経験分布関数を凡とする。 {Y1,Y2,…,Yn}のそれらも同様に， Yn1SYn2S:…三Ynnおよび克、,Gnであらわす。検定したい仮説は次である。H’。:F=Lor,nzGH'1 : F~ Lor,nz Gかつ F"'i'LorヽnzGF::;:Lor,nz Gは， “すべての uE[O,1]に対して LF(U)2.LG(u)"と同値であり， Lp(U)LLG(U)ならば炉(u)du"'一に(u)di五；oである。この関係を検定に利用する。一標本問題の場合と同様に両辺を変形すると試゜ ｛和）｝“＋1dtー よ后(t)}が 1dt2.0となる。左辺の Fおよび Gにそれらの経験分布関数（F,.および G"）を代入して検定統計量を構成する。上式の左辺の二つの項はそれぞれ漸近的にと等しい。ロー レンツ）卿字の検定（荒木）ぬ(Fm)===i (a+l) 1,.!!., ---—こ］“ z Xm mi=1 （記可）X”‘i叫）＝誓泣（土）Yni(275)7 "Lx(u)2Ly(u)"ならば，婦無仮説 H’。のもとではむ(Fm)一む(Gn)はゼロにちかくなり，対立仮説 Hりのもとではむ(Fm)一む(Gn)>Oなることが期待されるので，検定統計量として，T,’'”(a) ＝む(Fm)-8"（G") を採用できる。 a=lのとき， Tmn(a)は Aly(1991)の提案した統計量 Tmnとなる。 Tmn(a)に関して次の結果が成り立つ（証明は， Aly(1991)の定理3.1の証明と同様）。系2.Eパ序｝＜OO，E叶Y2)＜OOで， 0くら（F)＜OO, 0くら(G)<oo,]m （・）は有界とする。このとき， min(m,n)→00 に対して，(~)½ {Tm,n(a)-il(F, G)} /am,n は漸近的に正規分布に従う。ただし，il(F, G) =o,,,(F) -o,,,(G) 心，,,={m己(F)+na2,,,(G)) /(m+n) である。心，nの値は未知なので，検定には a2m,nのFとGにそれらの経験分布関数を代入した，炉，,,,.={ma2"'(Fm) +noa;(G.)} /(m+n) を用いればよい。8(276) 第 39巻第 4 号H’。のもとでは， Ll(F,G) =Oなので，（戸）兄，n(a)/am,nただし， a2m,n={m年 (Fm)+na2,,,(Gn)) /(m+n) が標準正規分布の上側 lOOz飴点より大きいとき， 帰無仮説 H’。を棄却し，対立仮説 H'1を採択する。4. 漸近効率検定統計量の良さの指標である漸近効率を求め， 新しく提案した統計量tm(a)と Aly(1991) の統計量ね＝た（1)とを比較する。効率の様々な比較法が考えられているが，ここではその代表的なものであるビットマン(Pitman)の漸近相対効率を用いる。先ず，一標本問題で考える。パラメータで特徴づけられたある分布 Fo(x)を考え， 帰無仮説のもとでのパラメータを 0=％対立仮説のもとでのパラメータを 0とし， 0は漸近的に 8。にちかづく，すなわち， 0→0。(asm→00) とする。漸近的に正規分布に従う二つの統計量＄と＆の，対立仮説の分布 Fo(x)のもとでの漸近的な期待値を .d(j,8) (j= 1, 2)とし，帰無仮説のもとでの分散を (J~;(j=l,2)とする。 このとき，統計量 S1に対する統計量ふのヒ゜ットマンの漸近相対効率 eFo(S1ふ）は，ある条件のもとで，eF。(S1,S2) = {.d'(1, 0) / <101} 2 / {.d'(2, O) /(J02} 2 ただし，.d'(j, 0) =d.d(;, 8)/d8 I e=e,, j=l, 2 で与えられる。 eF。(S1,S2)>1のとき， 統計量＄は統計量ふより漸近効率が良いと判断し， eF6(T,S) =1のとき漸近効率は変わらないと判断する。対立仮説としてガンマ分布 (Gammadistribution) を考え， 0→1に対する漸近効率を求める。 この分布は Taillie(1981)が考察した一般化ガンローレンツ！卿字の検定（荒木）マ分布の特別な場合であり，分布関数s• Fん）＝＼ exp(-t)t0-1dt/I'(8) ゜もつ。 8=1のとき．ガンマ分布は指数分布となる。統計量 Tm(a)に対するこれらパラメークの値は．(277)9 a~.,(Fo) = a2 (a+l)2(2a+l) dB(Fo)/d8|。=I=(a+l)log(a+l)-a a(a+l) となる。よって，対立仮説がガンマ分布の時，統計量 T“(1)に対する統計量Tm(a)のヒ゜ットマンの漸近相対効率は，6F 8(Tm(a), T,.(1)) =efficacy2(a)/efficacy2(1) ただし，effica~ダ(a)=(2a +~ 1) log(a +U -a} 2 “ となる。 これらの値を， 横軸を a, 縦軸を漸近効率にとってグラフ化すると，次のようになる。1.3 1.2 ーー????0.9 ?10 15 20 25 30 a 図 ピットマンの漸近効率 eF9(Tm(a),Tm(l)) 10(278) 第 39巻第 4 号図より，対立仮説がガンマ分布の場合，約 3~a~25 の aの値に対して，Tm(a)は Tffl(1)より優れていることがわかる。 また， a=5.6のとき効率が最大（約1.3倍）になる。二標本問題の場合も，対立仮説に， Fとしてガンマ分布 Fe,Gとして指数分布， 0→1,を考えると，一標本問題の場合と同じ結果を得ることができる。参考文献Aly, E. A. A. A. (1991). On testing for Lorenz ordering. Metrika 38, 117-124. Alzaid, A. A. (1990). Lorenz ranking of income distributions. Statistical Papers 31, 209-224. Arnold, B. C. (1987). Majorization and the Lorenz order: A brief introduc-tion. Springer-Verlag. Bishop, J. A., J.P. Formby and W. J. Smith (1991). Lorenz dominance and welfare: Changes in the U.S. distribution of income, 1967-1986. The Review of Economics and Statistics. Lorenz, M. 0. (1905). Method of measuring the concentration of wealth. Journal of American Statistical Association 9, 209-219. Serfling, R. J. (1980). Approximation theorems of mathematical statistics. John Wiley & Sons. Stigler, S. M. (1974). Linear functions of order statistics with smooth weight functions. Ann. Statist. 2, 676-693; "Correction note," Ann. Statist., 7, 466. Taillie, C. (1981). Lorenz ordering within the generalized gamma family of income distributions. in: C. Taillie et al. (eds.). Statistical Distribu-tions in Scientific Work, Vol. 6, 181-192. 

Large sample tests for Lorenz ordering

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