Brink, R.W.

Heideman, G.H.L.M.

van Etten, Wim

NARCIS 

'De condensator-impedantie nader beschouwd'

In een eerdere bijdage in dit blad is gesuggereerd, dat voor de impedantie van een condensator twee verschillende uitdrukkingen kunnen worden gevonden. Het blijkt dat slechts één van beide correct is, en bovendien blijkt dat die uitdrukking afwijkt van de klassieke waarde van die impedantie. Overigens wordt aangetoond, dat in vrijwel alle praktische situaties geen verschil gevonden wordt in vergelijking met de klassieke impedantie 1/(j2Πf C ). Deze resultaten worden gevonden door toepassing van de theorie van de gegeneraliseerde functies; de belangrijkste operaties op gegeneraliseerde functies worden eerst geresumeerd

Heideman, G.

Brink, R.

van Etten, W.

University of Twente Research Information

DE CONDENSATOR-IMPEDANTIE NADER BESCHOUWDG. Heideman, R. Brink en W. van Etten Universiteit Twente, Faculteit Elektrotechniek Postbus 217, 7500 AE Enschede heideman@cs.utwente.nlSamenvattingIn een eerdere bijdage in dit blad [l | is gesuggereerd, dat voor de impedantie van een condensator twee ver­schillende uitdrukkingen kunnen worden gevonden. Het blijkt dat slechts één van beide correct is, en boven­dien blijkt dat die uitdrukking afwijkt van de klassieke waarde van die impedantie. Overigens wordt aange­toond, dat in vrijwel alle praktische situaties geen verschil gevonden wordt in vergelijking met de klassieke impedantie l/( j2 7 r/C ). Deze resultaten worden gevonden door toepassing van de theorie van de gegenerali­seerde functies; de belangrijkste operaties op gegeneraliseerde functies worden eerst geresumeerd.1 InleidingVan der Wurf suggereert in zijn artikel [1 j, dat voor de impedantie van een condensator twee verschillende uit­drukkingen gevonden kunnen worden. Dat is, zoals we in deze bijdrage zullen aantonen, onjuist. De overige ongerijmdheden die de auteur vermeldt, blijken geen ongerijmdheden te zijn, maar komen voort uit het gebruik van niet-gedefinieerde operaties op gegeneraliseerde functies.2 Voorwaarden voor de begrippen admittantie en impedantie2.1 BasisbegrippenOm tot een geschikte definitie van de impedantie en admittantie van een eenpoort te komen, beschouwen we een lineair, tijdinvariant systeem 'I' dat BIBO-stabiel is. We veronderstellen daarbij dat het systeem in -o c  ontstaan is in de nultoestand. BIBO-stabiliteit betekent, dat een begrensde input x(t) ook een begrensde output y(t) oplevert. Een dergelijk systeem kan altijd als een convolutie geschreven worden, in de vorm van een Stieltjes- integraal over de stapresponsie; als de stapresponsie continu en overal linker- en rechterafgeleiden bezit, kan het systeem geschreven worden in de bekende vorm■ooy{t) =  / x (t )-  t ) d r ( 1)—  OOwaarin h de afgeleide van de stapresponsie is, die als impulsresponsie aangemerkt wordt.2.2 Definitie van impedantie en admittantieZo'n systeem heeft als eigenfuncties functies van de gedaante exp(st) (met s =  a  + J2ttƒ) voor alle t, in het bijzonder ook exp(j27rft )  voor alle t, ongeacht de keuze van ƒ. Omdat dit laatste signaal begrensd is, geldt^ ( exp(j27rft ))  =  H( f )  exp(j2?r/f), voor alle t, (2)waarbij de overdrachtsfunctie H (de eigenwaarde van het systeem bij frequentie ƒ) voor iedere ƒ begrensd is. We beschouwen nu een systeem met de genoemde eigenschappen, met één input e en twee outputs u en z, de spanning respectievelijk stroom door een eenpoort. Als de input gelijk is aane(t) — E exp(}2n ft ) ,  voor alle t. (3)Dan zal ooku(t) =  U (ƒ )exp(j27xft) (4)162 Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999eni(t) =  / (/)exp(j27r f t ) (5)voor alle t en waarin E  de complexe amplitude is. De impedantie Z ( f ) en admittantie Y( f )  van de eenpoort definiëren we dan alsz (  f )£  E U( . / )  1 { f )Y( f )  =U)  u [ f )( 6 )(7)voor iedere ƒ waarvoor I respectievelijk U ongelijk aan nul is. Als we dus e(t) =  E  kiezen (ƒ =  0) dan zullen de stromen door condensatoren en spanningen over spoelen gelijk nul zijn. De impedantie van de condensatoren en de admittantie van de spoelen zijn dan niet gedefinieerd voor ƒ =  0.Admittantie en impedantie zijn eikaars inverse zodat geldtY(f) • Z( f )  =  1De admittantie van een ideale condensator isY( f )  =  j2 TTfCDe uitdrukking voor de impedantie luidt dan1(B)(9)Z(f )  = alleen voor ƒ ^  0!j2n f C  ’Laten we gegeneraliseerde functies toe, dan heeft de vergelijking .)2tTfC • Z( f )  =  1 de oplossingen1( 1 0 )( 1 1 )Z( f )  = + k ■J27TfCwaarin k een willekeurige constante is, en 6 de bekende Dirac-functie; want, zoals bekend ism i )  =  o( 12)(13)Deze Dirac-functie komen we in de praktijk niet tegen, omdat we impliciet in zo'n geval met de admittantie j2yr ƒC werken, tenzij de configuratie van het systeem dat onmogelijk maakt. Het optreden van een Dirac-functie is dus op zich niet zorgwekkend, integendeel het is zelfs noodzakelijk. Immers, vooreen causale impulsresponsie (h(t) =  ü voor t < 0) geldt, dat het imaginaire en reële deel van de Fourier-getransformeerde van de impulsresponsie gekoppeld zijn via Hilbert-getransformeerden. Dus alsH( f )  =  R ( f ) + j X ( f ) (14)geldtR(f )  =  ~x ( f )  =1 roe X{v)d v— /7T ./ — oo 1 ~ v1 roo R(u)du7r ,) — oo ƒ -  V(15)(16)Lezen we voor X( f )  =  —1/(27rfC)  en R(f )  =  kS(f) dan zal k =  1/(2C) moeten zijn, We zullen in Sectie 3 verder ingaan op gegeneraliseerde functies.Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999 1632.3 Fourier-transformatieDe Fourier-getransformeerde U(f)  van een signaal u(t), zo die bestaat, is de complexe amplitudedichtheid van de basiscomponent exp(j27r/t) in het signaal. Elke basiscomponent afzonderlijk wordt door het systeem verme­nigvuldigd met de overdrachtsfunctieY( f )  =  H( f ) X ( f ) (17)De overdrachtsfunctie is te identificeren met de getransformeerde van de impulsresponsie. Voor de impedantie vinden we dan op dezelfde wijze als in Par. 2.2Z(f ) U ( f ) /(ƒ ) (18)voor iedere ƒ waarvoor de noemer ongelijk 0 is.2.4 De ideale condensator in geïdealiseerde configuratieBeschouw de ideale condensator gedefinieerd door de vergelijking1 rl 1 f°°u{t) =  — i ( r ) d  t =  — /  f ( r ) s ( t - r ) d r  (19)waarin s(t) de eenheids-stapfunctie is. Beschouwen we i als de input en u als de output, dan is duidelijk dat aan één van de voorwaarden die we aan het systeem gesteld hebben, nl. de BIBO-stabiliteit, niet voldaan is. Als de input van de veronderstelde exponentiële vorm is, dan convergeert de integraal niet in —oo voor ƒ ^  0, en de integraal is divergent voor ƒ =  0. Er is dus door deze configuratie in klassieke zin geen impedantie gedefinieerd. Het gebruik van Fourier-transformatie heeft in de beschrijving geen zin, omdat de stapfunctie niet klassiek transformeerbaar is. Deze configuratie dwingt echter toch tot het gebruik van een impedantie, de ontsnapping via de admittantie is niet mogelijk; we zullen dan gegeneraliseerde functies moeten gaan toelaten.Als we daarentegen de spanning over de ideale condensator als oorzaak nemen en de stroom als gevolg, dan isd u(t) dt ( 20)Dit systeem is evenmin begrensd, maar een exponentiële input, levert uiteraard wel een exponentiële output, zodat de admittantie gelijk is aanY ( f ) = ) 2 n f C (21)3 Het gebruik van gegeneraliseerde functiesIn speciale situaties duiken gegeneraliseerde functies op een natuurlijke manier op. Als we gebruik van gegenera­liseerde functies, zoals de Dirac-functie, willen maken, moeten we nagaan of alle eigenschappen en rekenregels die we voor gewone functies kennen, ook voor gegeneraliseerde functies van toepassing zijn. Om te laten zien dat niet elke bewerking zonder meer toegestaan is, moeten we een indicatie geven hoe gegeneraliseerde functies op een correcte manier gedefinieerd worden [2, 3].3.1 IntroductieEen gewone continue functie g kan, in plaats van vast te leggen welk getal g{t) bij t behoort, ook gedefinieerd worden door zijn werking op een klasse van zogenoemde toetsfuncties tp•oog{t)ip(t) dtJ  — OO(22)164 Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999Als de uitkomst van deze integraal (een getal) bekend is voor iedere wordt daardoor de functie g eenduidig gespecificeerd. Als klasse van toetsfuncties wordt veelal genomen de klasse van functies die oneindig vaak diffe­rentieerbaar zijn en 0 buiten een eindig interval. Deze afbeelding van toetsfuncties naar getallen (een functionaal) is lineair en, in preciezer te definiëren zin, continu. We schrijven voor de functionaal< 9 ( t ) , v ( t ) >  (23)We kunnen nu bijvoorbeeld een functionaal definiëren door<6( t ) , i p( t ) >  (24)Deze functionaal is lineair en continu, maar blijkt geen integraalvoorstelling te hebben. De grootheid 5 wordt zo­doende een gegeneraliseerde functie genoemd; het is, natuurlijk, de bekende impuls of Dirac-functie. Met iedere gewone integreerbare functie is, via de integraalvoorstelling, een gegeneraliseerde functie geassocieerd. We brei­den de klasse van gewone functies dus uit. Bewerkingen op of met gegeneraliseerde functies moeten gedefinieerd worden door hun werking op toetsfuncties, met als uitgangspunt dat als de functionaal een integraalvoorstelling zou hebben, de normale eigenschappen geldig zijn.3.2 VoorbeeldenVermenigvuldigingDe vermenigvuldiging van een gegeneraliseerde functie ƒ met een gewone functie g die voor alle t gedefinieerd is en oneindig vaak differentieerbaar, wordt gedefinieerd door< g(t)f(t),<p(t) > = <  f{t),g(p> (25)Dat is een zinvolle definitie, omdat als de integraalvorm geldig zou zijn deze uitkomst het resultaat zou zijn, en omdat g(t)ip(t) zelf weer een toetsfunctie is, aangezien g willekeurig vaak differentieerbaar is. De functie g heet dan een multiplicator (in het tijdgebied). Het zal duidelijk zijn dat g zelf geen Dirac-functie kan zijn. Dus is S(t)S(t) geen zinvolle uitdrukking.DifferentiatieVoor de afgeleide van een gegeneraliseerde functie ƒ, komen we via partiële integratie tot de definitie (de stokterm is gelijk aan 0, omdat toetsfuncties 0 zijn buiten een eindig interval)<  ƒ ' ( * ) , < P(t) > -  < f(t),(p\t ) >  (2 6 )Ook deze definitie is zinvol, omdat de afgeleide van een toetsfunctie weer een toetsfunctie is. Gegeneraliseerde functies zijn dus willekeurig vaak differentieerbaar, omdat toetsfuncties dat zijn.ConvolutieOp grond van de integraalvoorstelling wordt gedefinieerd< (ƒ * <p(t)> = <  f(t),< g(r), <p(t + r )  > >  (27) zolang< g(r),<p(t +  T)  >  (28)weer een toetsfunctie is. Deze functie is wel oneinig vaak differentieerbaar, maar niet noodzakelijk 0 buiten een eindig interval. Dat laatste is wel het geval als g (of ƒ) een begrensde drager heeft (met 0 te identificeren is buiten een eindig gebied), of als ƒ en g naar dezelfde kant toe begrensd zijn (neem toetsfuncties die buiten die drager van nul verschillend zijn; als < g,tp > dan altijd 0 oplevert, identificeren we g met nul buiten die drager). Zo is de convolutie van een Dirac-functie met een willekeurige gegeneraliseerde functie gedefinieerd, en ook de convolutie van twee stapfuncties. In het bijzonder is ook(6 * 6)(t) =  6(t) (29)Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999 165of, in het normale schrijfgebruikó(t ) • ó(t — t ) dT =  S(t) (30)Fourier-transforniatieFourier-transformatie van gegeneraliseerde functies is ook mogelijk. PlancherelDe grondslag hiervoor is de relatie van*oog(t)ip*{t) d t■OOG(ƒ)**(ƒ) d f (31)waarin : de complex geconjugeerde aanduidt. Dan wordt als Fourier-getransformeerde van g gedefinieerd< G(f) ,  $ (ƒ) > = <  g(t), <p(t) > (32)Het linkerlid is nu niet een functionaal op de oorspronkelijke ruimte van toetsfuncties, maar op getransformeerden daarvan. Deze nieuwe toetsfuncties zijn gehele analytische functies die aan bepaalde ongelijkheden voldoen. Voor deze nieuwe functionalen hanteren we dezelfde soort definities, als voor onze oorspronkelijke. Zo kunnen we de Fourier-getransformeerde wel met een functie vermenigvuldigen, maar deze functie moet dan een multiplicator voor de nieuwe toetsfuncties zijn, een multiplicator in het frequentiegebied. Voldoende voorwaarde voor een functie om een multiplicator te zijn, is, dat het een gehele analytische functie is, die aan bepaalde ongelijkheden voldoet. Als G(f)  een multiplicator is, dan geldt de bekende convolutieregel<  F ( f ) G ( f ) M f )  > = <  > (33)De normale differentiatie- en verschuivings-regels zijn wel geldig.LimietenAls f n. n =  1,2, . . .  een rij gegeneraliseerde functies vormen waarvoorlim < f n(t), ip(t) > (34)n — >00bestaat voor iedere n, dan kan bewezen worden dat deze limiet zelf weer een lineaire continue functionaal is. We kunnen bijvoorbeeld ^-benaderende rijen maken. Een ander gebruik is het volgende. Laat / n, n — 1,2, . . .  een rij toetsfuncties vormen die naar 6(t — to) convergeert. Dan is< fn(t)6(t), ifi(t) > =  < S(t), f n(t)<P{t) > =  fn(0)<p(0) (35)Als n voldoende groot wordt, zal f n(0) =  O worden, zodatlim f n{t)8(t) =  O (36)n —KX)We kunnen dit interpreteren alsS(t -  t0)S(t) =  O (37)maar mathematisch is dit geen correcte notatie.4 OngerijmdhedenBij het werken met Dirac-functies is het, zeker in twijfelgevallen, nuttig om terug te gaan naar de definities. Zo geldt (' staat voor afgeleide)< tö'(t), <p(t) > =  <  S'(t), tip(t) >—-  < s(t),(t<p(t)y > = -  < 6(t),ip(t) + > =-</?(0) =  -  < > (38)166 Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999Merk op dat t een multiplicator is in het tijddomein, waardoor de eerste stap geldig is. De andere stappen zijn directe toepassingen van definities. Dit geldt voor iedere (p zodat we schrijvent s \ t )  =  - m  (39)Kunnen we nu delen door t l  Dat kan niet omdat 1 j t  geen multiplicator is! We bezien nogmaals de ideale condensator in zijn integraalvorm1 r°°u{t) = C J J V *  ~  ̂  d r (40)Het bestaan van deze convolutie is klassiek gegarandeerd als i over (—oo, t) integreerbaar is voor iedere t en gege­neraliseerd als i naar links toe begrensd is. Als i transformeerbaar is, en als de getransformeerde een multiplicator in het frequentiedomein is, dan is de convolutie-regel geldig en is' j t f + ^(41)De stroom mag in dit geval een Dirac-functie zijn, immers de convolutie is dan netjes gedefinieerd (5(t) heeft een begrensde drager) en de getransformeerde(J( ƒ) =  1) is een multiplicator in het frequentiedomein. De impedantie van de condensator luidt dusZ(f )  =  771 r i r , «C  []2^7 +  2 ö U \(42)Het optreden van Dirac-functies is onvermijdelijk en noodzakelijk. Nemen we nu de inputi{t) =  s(t)exp(j27r/0i) (43)Deze input is naar links begrensd en de convolutie bestaat, ook in gegeneraliseerde zin. De responsie is uiteraard klassiek uit te rekenen. Is de weg om de responsie te berekenen via het frequentiedomein, open? De getransfor- meerden zijn1 1W i '  +  2,(/) -  Y m P m  +  \ S { I  ~  h )  <44)Geen van deze twee functies zijn multiplicatoren in het frequentiegebied, en de regel dat door transformeren een convolutie overgaat in een product is niet geldig. Deze conclusie verandert niet als we /o =  ü nemen. Daarmee zijn ook de overige ongerijmdheden opgelost.5 Waarom treedt de ^-functie normaliter niet op?We zijn gewend om voor de impedantie van een condensator te schrijven1j2vr f C(45)voor iedere ƒ, en we maken ons geen zorgen over de singulariteit bij ƒ =  0. We zullen aan de hand van een eenvoudig voorbeeld laten zien, dat in "normaleMgevallen deze schrijfwijze niet strijdig is met de schrijfwijze conform vergelijking (42). (Merk op dat voor ƒ ^  0 beide uitdrukkingen identiek zijn.) Beschouw de impedantie van een parallel-schakeling van R en C.  We definiëren nu de impedantie Z ( f ) van de parallelschakeling doorZ( f ) [Zc( f )  +  ZR{ f )] =  Zc U ) Z r U)  (46)Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999 167met ZR{f)de impedantie van de weerstand en Zc{ f )  die van de condensator conform vergelijking (42). Dezedefinitie is voor deze situatie adequaat omdat de uitdrukkingz(f) =Z c U W J ■)_Z c U ) +  Z R{.f)(47)niet correct is, omdat er een Dirac-functie in de noemer staat. Uitwerking leidt totW fc  + Z{!U SU) + Z^ R - J27}c + R W M > (48)Opdat Z(f )  aan deze vergelijking voldoet, moeten zowel het reguliere deel als het singuliere deel links en rechts aan elkaar gelijk zijn, zodatZ(  0) -  RZ( f )  =R.]2tv f C/ ? +  7 1 ƒ 7̂  0(49)j27TDit mag samengevat worden totZ( f )R1 +  f i n f R Cvoor alle ƒ (50)Alternatief is op voorhand te werken met de admittantie van de condensator, bijvoorbeeldZ U)Zr U) R1 + Z R( f ) Y c U ) (51)Normaliter leidt de configuratie waarin de ideale condensator is opgenomen er toe, dat de Dirac-functie in de impedantie niet in de resultaten verschijnt.6 ConclusieHet blijkt dat volgens strikt mathematische redenering de impedantie van een condensator naast de bekende term l/(j27r/C ) nog een delta-functie bevat (een reële, even component). Ditzelfde geldt duaal voor de admittantie van een spoel. Dit kan afgeleid worden uit een systeembeschouwing waarbij de stroom door de condensator als input wordt beschouwd en de spanning over de condensator als output. Om tot dat resultaat te komen, is gebruik gemaakt van de theorie van de generaliseerde functies. Overigens blijkt in de meeste praktische situaties dit geen consequenties te hebben, alleen in enkele "singuliere"situaties. De schrijver van [1] heeft juist die situaties opgevoerd, wat in zijn benadering tot dubbelzinnigheid leidde. Die dubbelzinnigheden zijn in dit artikel uit de weg geruimd.In het algemeen geldt, dat wanneer h\mp(t) een causale functie is en Z( ƒ), op de klassieke wijze uitgerekend, zodanig is dat Z( f )  oneindig wordt voor bepaalde, eindige frequenties er Dirac-functies voor die bepaalde fre­quenties moeten worden toegevoegd om aan de Hilbert-relaties te voldoen. De admittantie Y (ƒ) is dan gelijk aan 0 voor die frequenties. Is Z( f )  =  0 voor bepaalde, eindige frequenties dan bevat Y (ƒ) Dirac-functies voor die frequenties.7 SlotwoordWij danken van der Wurf voor het feit dat hij de correcte formulering voor de impedantie van een ideale conden­sator naar voren gebracht heeft, zij het met de nodige twijfels. In de literatuur zijn wij deze formulering nergens expliciet tegengekomen.168 Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999Referenties[ 1 ] R van der Wurf,"Over condensator-impedanties en andere ongerijmdheden", T ijdschrift van h e tN E R G , Vol.64, no. 2, pp. 82-83, 1999.[2] A. Papoulis,The Fourier Integral and its A p p lica tio n s ,McGraw-Hill, 1962.[3] I.M. Gelfand und G.E. Schilow,V eralgem einerte Functionen (D istribu tionen) ƒ,VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967.Tijdschrift van het Nederlands Elektronica- en Radiogenootschap deel 64-nr-4-1999 169%

Dutch