n.d.Fil: Furno, Graciela . Facultad de Ciencias Económicas y Estadística -universidad Nacional de Rosario - Argentin

Furno, Graciela

Koegel, Liliana Hilda

Sagristá, Ricardo

Repositorio Hipermedial de la Universidad Nacional de Rosario

Terceras Jornadas  Investigaciones en la Facultad  de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998  209 ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN. APLICACIÓN DE DERIVE A LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA MICROECONÓMICO QUE RELACIONA EL VOLUMEN DE VENTAS DE UN BIEN Y EL PRECIO.  Furno, Graciela Koegel, Liliana Sagristá, Ricardo Departamento de Matemática, Escuela de Estadística INTRODUCCIÓN En muchas situaciones, es preferible establecer las relaciones entre dos o más variables co-mo razones de cambio entre las mismas. Si la variable con respecto a la cual se consideran los cam-bios es discreta, se trabaja con ecuaciones en diferencias. Cuando se considera que los cambios de la variable en cuestión se producen en forma continua o instantánea, las razones de cambio se pre-sentan como derivadas y las ecuaciones que las contienen son las ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es entonces aquélla que incluye derivadas de una o más funciones incógnitas. Recordemos que las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar teniendo en cuenta su tipo, orden y grado.  Si una ecuación diferencial contiene derivadas de una función incógnita a una sola variable independiente, la ecuación diferencial se llama ordinaria; si ella incluye derivadas parciales de una función incógnita de varias variables independientes, se llama ecuación diferencial en derivadas par-ciales. El orden de una ecuación diferencial es el orden máximo de las derivadas que se presentan en la ecuación. Si la ecuación diferencial es racional e integrable con respecto a todas las derivadas que figu-ran en ella, el grado con respecto a la derivada de mayor orden es el grado de la ecuación diferencial.  Veremos una aplicación para ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. EJERCICIO La razón de crecimiento del volumen de ventas y a medida que el precio x decrece, es pro-porcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el precio x y una constante b.  Resuelva las consignas 1), 2) y 3) con lápiz y papel y con el programa DERIVE.  1) Exprese matemáticamente el problema planteado. Interprete el significado del   parámetro b.  2) Halle la relación entre el volumen de ventas y y el precio x, es decir la solución general.      3)  Verifique la solución hallada.  4)  Represente gráficamente las curvas integrales, para el parámetro de proporcionalidad   a = 2 y el parámetro b = 20.  5)  Obtenga la solución particular que satisface  y(32)  = 1 y represéntela gráficamente.  6)  En la solución particular obtenida en 5), asigne distintos valores al parámetro de propor-cionalidad     a = 0.5   1.0    1.5    2.0   2.5   manteniendo  el parámetro b = 20. Grafique las curvas correspondientes e interprete. Ana-lice qué ocurre si a  varía de 100 a 150.   Estudie  el  caso  en  que a se mantiene igual a 2  y     b = 10   20   30   40 Terceras Jornadas  Investigaciones en la Facultad  de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998  210 Resolución con papel y lápiz  1)  dy / dx = -a y / (x-b)     con a > 0,  b > 0  ,  x-b > 0 ya que las ventas se realizan siempre que el precio sea superior a b.  2)  Resolvamos la ecuación diferencial planteada, que resulta a variables separables.      dy / y = [-a / (x-b)] dx;  integrando,    dy / y  =  -a  dx / (x-b) + C  es decir   ln y = - a ln(x-b) + C   ln y + a ln(x-b) = C  ln [y(x-b)a ] = C  y(x-b)a = eC = c1       llamando con c1 = eC  despejamos  y = c1 / (x-b)a               3) Para verificar que la solución encontrada es correcta, derivemos la función y encontrada:   dy / dx = c1 (-a) (x-b) -a-1  es decir   dy / dx = -a c1 / (x-b) a+1   = [-a / (x-b) ] .c1 / (x-b)a   = - a y / (x-b) Resolución con DERIVE  1)  Una vez especificada la ecuación diferencial     dy/dx = -a y / (x – b),  notamos que es una ecuación de primer grado y primer orden a variables separables.  DERIVE proporciona métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y es muy potente en ese sentido. Los operadores están en el archivo útil ODE1 y otros. Debemos entonces cargar dicho archivo útil aplicando los comandos Transfer – Load – Utility y ODE1.MTH.  A continuación definimos las constantes a y b , que en nuestro problema resultan positivas, así como las variables x e y. (Usamos el comando Declare). También, como la ecuación es a varia-bles separables, definiremos las dos funciones univariadas que el DERIVE llama con p(x) y q(y). Co-mo x debe ser mayor que el parámetro b, definimos una nueva variable z = x - b, que será positiva, y tal que p sea ahora función de z.  2)  Para encontrar la solución general,  DERIVE posee un operador propio:   SEPARABLE-GEN(p,q,z,y,c), donde c es una constante arbitraria.  Los dos últimos miembros de la expresión anterior representan la solución general de la ecuación diferencial planteada. Terceras Jornadas  Investigaciones en la Facultad  de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998  211 c = 5Para resolver esta ecuación usamos el comando Solve, y así obtenemos   Sustituimos en esta última, z por x-b, obteniendo  Por ejemplo, si el parámetro de proporcionalidad a vale 2 y el parámetro b es 20, la solución general es la familia de curvas integrales siguiente:  3) Para verificar la solución general hallada, debemos derivar la misma, mediante los co-mandos Calculus, Differentiate, Simplify, obteniendo  como y = ec (x-b)-a, queda verificada ya que la derivada resulta igual a  -ay / (x-b).  4) Con el objeto de representar gráficamente algunas de las curvas integrales de esta fami-lia, por ejemplo aquéllas correspondientes a los valores de c enteros entre 0 y 5, usamos el operador VECTOR, al que una vez definido, se le aplicará el comando Simplify para obtener dichas funciones, y el Plot para representarlas gráficamente. Debe tenerse en cuenta la elección adecuada de las esca-las en ambos ejes, así como la localización del centro del gráfico.              Terceras Jornadas  Investigaciones en la Facultad  de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998  212   El alumno deberá interpretar qué parte de las curvas integrales tienen sentido para el problema.  5) Obtendremos la solución particular que satisface y(32) = 1. Observemos que esto implicará z = 12.  Sobreiluminamos la solución general (# 12), y aplicamos los comandos Substitute y Solve, y obtenemos un valor de c aproximadamente igual a 5.  En consecuencia, la función pedida será    La última sentencia sirve para que sólo grafique la parte de la curva integral que interesa de acuerdo al análisis anterior.  Terceras Jornadas  Investigaciones en la Facultad  de Ciencias Económicas y Estadística, octubre de 1998  213  6) Supongamos ahora que el parámetro de proporcionalidad a toma distintos valores, y ob-servemos qué ocurre con las curvas integrales. Mantenemos fijo el parámetro b en 20. Usamos el operador Vector y la sentencia Simplify    Observemos que gráficamente se confirma que al aumentar el valor del parámetro a, la caída del volumen de ventas es más abrupta, es decir que la razón de crecimiento crece en valor absoluto, si bien es siempre negativa (recordemos que el parámetro b se mantuvo constante igual a 20).     a=2,5

Ecuaciones diferenciales de 1er. Orden. Aplicación de derive a la resolución de un problema microeconómico que relaciona el volumen de ventas de un bien y el precio

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