International audienceLe présent travail concerne les lasers à fibre impulsionnels de puissance de type MOPFA (oscillateur laser maître suivi d'un amplificateur à fibre). Un travail expérimental a permis d'établir que les non-linéarités observées (effet Kerr, mélange à quatre ondes, effet Raman) pouvaient être de nature très différentes selon les caractéristiques de la source issue du laser maître sans toutefois permettre de déterminer si la statistique des photons est seule responsable des différents scénarios non-linéaires observés. Nous avons développé un code de simulation numérique afin de pouvoir valider l'hypothèse selon laquelle les propriétés du laser maître en termes de cohérence jouent un rôle prépondérant dans la manifestation des non-linéarités

Balac, Stéphane

Chartier, Thierry

Fernandez, Arnaud

Mugnier, Alain

Pureur, David

HAL-Rennes 1

Simulation nume´rique de la propagation d’une sourcelaser incohe´rente dans une fibre optiqueSte´phane Balac, Thierry Chartier, Arnaud Fernandez, Alain Mugnier, DavidPureurTo cite this version:Ste´phane Balac, Thierry Chartier, Arnaud Fernandez, Alain Mugnier, David Pureur. Sim-ulation nume´rique de la propagation d’une source laser incohe´rente dans une fibre optique.7e`me Confe´rence Europe´enne sur les Me´thodes Nume´riques en E´lectromagne´tisme (NUMELEC2012), Jul 2012, Marseille, France. pp.2, 2012. <hal-00797644>HAL Id: hal-00797644https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00797644Submitted on 6 Mar 2013HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Un travail expérimental a permis d’établir que lesnon-linéarités observées (effet Kerr, mélange à quatre ondes, effet Ra-man) pouvaient être de nature très différentes selon les caractéristiquesde la source issue du laser maître sans toutefois permettre de déter-miner si la statistique des photons est seule responsable des différentsscénarios non-linéaires observés. Nous avons développé un code de si-mulation numérique afin de pouvoir valider l’hypothèse selon laquelleles propriétés du laser maître en termes de cohérence jouent un rôleprépondérant dans la manifestation des non-linéarités.I. INTRODUCTIONPar une technique expérimentale de mesure spectrale ré-solue en temps présentée dans la référence [1], nous avonsanalysé l’évolution spectrale de trois sources laser impul-sionnelles nano-secondes générées à 1064 nm à un taux derépétition de 20 kHz, puis amplifiées. Par l’observation de« tranches temporelles » d’impulsions de 10 ns de durée, ob-tenues grâce à un modulateur acousto-optique placé en sortiede l’amplificateur, il est possible de caractériser l’évolutiondes effets non-linéaires intervenant dans un laser à fibre im-pulsionnel et de discriminer les effets non-linéaires associésà chaque tranche de l’impulsion. Les résultats expérimen-taux montrent que, pour une même impulsion (largeur tem-porelle, puissance crête), on peut avoir des comportementsnon-linéaires très différents selon qu’il s’agisse d’une sourcecontinue, partiellement cohérente et fine spectralement ouincohérente et plus large bande, c’est-à-dire d’un point devue expérimental selon le choix et les paramètres de l’oscil-lateur laser maître (configuration Q-switch, source d’émis-sion spontanée amplifiée, laser continu partiellement cohé-rent). Cependant ces observations expérimentales ne per-mettent pas de déterminer si la statistique des photons estseule responsable des différents scénarios non-linéaires ob-servés et entraînant des modifications spectrales bien dis-tinctes. C’est la raison pour laquelle nous avons cherché àdévelopper un outil de simulation numérique afin d’étudierles propriétés de cohérence d’un laser à fibre impulsionnelde puissance.La propagation d’une onde dans une fibre optique carac-térisée par un indice de groupe ng est décrite par l’équationnon-linéaire généralisée de Schrödinger (GNLSE) [2]. Cetteforme particulière de l’équation de Schrödinger est obtenueà partir des équations de Maxwell en exploitant un certainnombre d’hypothèses rendues possibles par les caractéris-tiques très particulières de la propagation d’une onde dansun milieu comme une fibre optique. Dans le cadre de notreétude, une hypothèse essentielle connue sous le nom d’ap-proximation de l’enveloppe lentement variable stipule queCe travail est soutenu financièrement par la région Bretagne dans le cadredu projet Green-Laser.le champ électrique E de l’onde optique est polarisée li-néairement dans une direction ex transverse à la directionde propagation ez définie par la fibre et peut être repré-sentée comme une fonction du temps τ et de la positionr = (x, y, z) sous la forme [2]E(r, τ) = A(z, t)F (x, y) e−i(ω0τ−kz) ex (1)où A(z, t) désigne l’enveloppe lentement variable de l’onde,F (x, y) représente la variation transverse de l’onde, k estle nombre d’onde, ω0 = 2πν0 est la pulsation de l’onde ett = τ−z/vg est le temps local au repère mobile se déplaçantavec l’onde à la vitesse de groupe vg = c/ng. L’expressionde F peut être calculée explicitement en utilisant les mé-thodes usuelles de séparation de variables pour les équationsaux dérivées partielles.Dans notre étude, l’évolution temporelle de l’enveloppelentement variable A(z, t) est gouvernée par la forme sui-vante de l’équation de Schrödinger [2]∂∂zA = −α2A +(∞∑n=2in+1βnn!∂n∂tnA)(2)+iγ(1 +iω0∂∂t)((1− fR)A |A|2+ fRA (hR ⋆ |A|2))pour t ∈ R et z ∈ [0, L], L désignant la longueur dela fibre. Les phénomènes physiques pris en compte dansl’équation (3) sont les suivants. L’atténuation linéaire inter-vient via le terme αA où α est la constante d’atténuation dela fibre et la dispersion linéaire via les coefficients de disper-sion βn pour n ≥ 2. Des effets non linéaires sont égalementpris en compte. Les effets Kerr instantanés se manifestent àtravers le terme γ (1 − fR)A |A|2. La contribution Ramanretardée est prise en compte par le produit de convolution dela puissante instantanée |A|2 par la fonction de réponse Ra-man hR. La constante fR représente la contribution partiellede la réponse Raman retardée à la polarisation non linéaire.Par ailleurs, dans l’équation (3) la dérivation en temps prenden compte la dispersion des non-linéarités à travers le para-mètre τshock = 1/ω0.On introduit les opérateurs linéaire Dt et non linéaire N :Dt : A 7→ −12αA−∞∑n=2βnin−1n!∂n∂tnAN : A ∈ E 7→ iγ(1 +iω0∂∂t)((1− fr)A|A|2+ frA (hR ⋆t |A|2))On s’intéresse à la résolution numérique du problème auxdérivées partielles suivant pour z ∈ [0, L] et t ∈ R∂∂zA(z, t) = DtA(z, t) +N (A)(z, t)A(0, t) = A0(t) ∀t ∈ R(3)où A0 est une donnée qui correspond à l’enveloppe lente-ment variable du champ électrique en entrée de la fibre.II. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATIONGNLS AVEC TERME SOURCE STOCHASTIQUEA. La méthode RK4IPRécemment une méthode baptisée « fourth-order Runge-Kutta method in the interaction picture method » (méthodeRK4-IP) a été proposée [3] comme alternative aux méthodesde Split-step pour résoudre numériquement l’équation deSchrodinger généralisée (3). Nous avons montré [4] que pourun coût comparable à la méthode de Split-step symétrique(méthode SSS) basée sur le schéma de Strang, la méthodeRK4-IP exhibait une convergence d’ordre 4 au lieu de laconvergence d’ordre 2 de la méthode SSS. C’est donc la mé-thode RK4-IP que nous avons retenu pour notre code de si-mulation.Le principe de la méthode RK4-IP pour la résolutiondu problème (3) consiste à introduire une subdivision(zk)k=0,...,K de l’intervalle [0, L] et à résoudre sur chaquesous-intervalle [zk, zk+1] les 3 problèmes imbriqués sui-vants :•∂∂zAk(z, t) = DtAk(z, t) ∀z ∈ [zk, zk+ 12]Ak(zk, t) = Ak−1(zk, t)(4)où t 7→ Ak−1(zk, t) désigne la solution au noeud zk calculéeà l’étape k − 1•∂∂zAipk (z, t) = Gk(z, t, Aipk ) ∀z ∈ [zk, zk+1]Aipk (zk, t) = Ak(zk+ 12, t)(5)où t 7→ Ak(zk+ 12, t) désigne la solution du problème (4) aunoeud zk+ 12et où Gk est l’opérateur défini par Gk(z, t, ·) =exp(−(z − z′k)Dt) ◦ N ◦ exp((z − z′k)Dt).•∂∂zAk(z, t) = DtAk(z, t) ∀z ∈ [z′k, zk+1]Ak(zk, t) = Aipk (zk+1, t)(6)où t 7→ Aipk (zk+1, t) désigne la solution du problème (5) aunoeud zk+1.Tout comme pour la méthode de Split-step symétrique,les problèmes linéaires (4) et (6) peuvent être résolus ef-ficacement par transformée de Fourier et la solution cal-culée par l’algorithme FFT. Le problème non linéaire (5)est quant à lui résolu en utilisant un schéma de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4). Une mise en œuvre astucieuse decette approche utilisant les symétries induites par le schémaRK4 dans la discrétisation des opérateurs Dt, N et Gk per-met de disposer d’un méthode numériquement efficace. Parailleurs, nous avons mis en oeuvre une stratégie de pas adap-tatif pour la subdivision (zk)k=0,...,K basée sur l’exploita-tion d’un schéma de Runge-Kutta emboîté permettant de dis-poser d’une estimation de l’erreur locale à chaque noeud dediscrétisation spatiale.Une particularité du problème traité réside dans la néces-sité de prendre en compte une fenêtre spectrale de grandetaille dans le calcul en raison du décalage de la fréquencecentrale et de l’élargissement du spectre de l’onde optique aucours de sa propagation liées aux non-linéarités. D’un pointde vue pratique cela signifie que le nombre de noeuds de ladiscrétisation temporelle et fréquentielle requis pour l’algo-rithme FFT est très grand (de l’ordre de 223 ∼ 107).B. Génération de la source incohérentePour prendre en compte les propriétés de cohérence par-tielle de la source laser nous représentons l’amplitude com-plexe A en entrée de fibre (terme A0 dans (3)) par un pro-cessus stochastique Gaussien stationnaire à valeurs com-plexes de fonction d’auto-corrélation donnée. Les méthodesusuelles de simulation d’un processus gaussien (basées surune factorisation de Choleski de la matrice de covariance)se sont révélées inopérantes d’un point de vue numérique enraison du grand nombre de noeuds de discrétisation tempo-relle requis entraînant des échantillons aléatoires à générerde très grande taille. Nous avons donc eu recours à une mé-thode plus sophistiquée récemment proposée et dénomméeCircular embedding method (CEM) [5].D’un point de vue pratique, un grand nombre de « si-gnaux » (fonctions) complexes correspondant à des réalisa-tions du processus stochastique A0(t) sont simulés en utili-sant la CEM puis propagés en résolvant l’équation GNLS (3)par la méthode RK4IP. Une analyse statistique est effectuéesur les « signaux » A(L, t) en sortie de fibre afin d’en dé-terminer les caractéristiques et estimer la fonction d’auto-corrélation. Mentionnons que compte tenu du caractère nonlinéaire de l’équation GNLS (3), il est impossible de prédiremathématiquement la loi du processus stochastique A(L, t)en sortie de fibre. Seuls ses moments peuvent être estimés.III. CONCLUSIONDans le cadre d’une étude des lasers à fibre impulsion-nels de puissance, nous avons développé un code de simula-tion numérique permettant de simuler la propagation d’unesource laser incohérente dans une fibre optique afin d’étudierles propriétés de cohérence d’un tel laser. Le caractère inco-hérent de la source issue du laser maître est pris en compteen la représentant à l’aide d’un processus stochastique Gaus-sien. La propagation de l’onde optique dans la fibre est si-mulée numériquement en résolvant l’équation GNLSE parla méthode RK4IP. Les comparaisons entre résultats issusdu code de simulation numérique et résultats expérimentauxsont en cours.RÉFÉRENCES[1] P. Beaure D’Augères et al., “Time-resolved spectral analysisfor nonlinear effects characterization in pulsed lasers”, in Pro-ceedings conference SPIE Photonics Europe 2010 (Bruxelles,Belgique), [7728-27], 2010.[2] G. Agrawal, “Nonlinear Fiber Optics”, Academic Press, 2006.[3] J. Hult, “A fourth-order runge–kutta in the interaction picturemethod for simulating supercontinuum generation in opticalfibers”, J. Lightwave Technol., 25(12), p. 3770–3775, 2007.[4] S. Balac, A. Fernandez, F. Mahé et R. Texier-Picard, “The In-teraction Picture method for solving the generalised nonlinearSchrodinger equation for wave propagation in optical fibres”,article en préparation, 2012.[5] D. B. Percival, “Exact simulation of complex-valued gaussianstationary processes via circulant embedding”, Signal Proces-sing, 86, p.1470–1476, 2006.

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