Barnabei, Marilena

Almae Matris Studiorum Campus

Programma del corso di Algebra 1 (prof. M. Barnabei) A.A. 2013/14   Richiamo sugli insiemi: appartenenza, inclusione, unione, intersezione, complemento, differenza. Insieme delle parti. Leggi di De Morgan. Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni. Proprietà delle relazioni in AxA: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. Funzioni: definizione, terminologia. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Teorema: un insieme non può essere in biiezione con il suo insieme delle parti.  Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Proprietà relative: principio di inclusione-esclusione. Corrispondenza tra sottoinsiemi di un insieme finito e liste in {0,1} e conteggi relativi. Insiemi finiti e numerabili. Gli insiemi dei numeri nteri e razionali sono numerabili. L'insieme dei numeri reali non è numerabile. Assiomi di Peano. Principio di induzione. Funzioni tra insiemi finiti: numero totale. Numero di funzioni iniettive. Principio dei cassetti. Fattoriale decrescente. Permutazioni. Fattoriale. Numeri di Fibonacci. Coefficienti binomiali: definizione e proprietà. Formula di Stifel. Triangolo di Tartaglia. Formula del binomio di Newton. Cammini nel reticolato NxN. Principio di inclusione-esclusione: il caso di due e tre sottoinsiemi. Il caso generale: formule di Da Silva e Sylvester. Applicazione: il numero di funzioni suriettive tra due insiemi finiti. Il numero di permutazioni senza punti fissi. La funzione di Eulero ed il suo calcolo.  Definizione di partizione e di relazione di equivalenza. Classi di equivalenza. Teorema: le classi di equivalenza costituiscono una partizione. Teorema: ad ogni partizione è associata una relazione di equivalenza. Esempio: la congruenza modulo n. Insieme quoziente rispetto ad una relazione di equivalenza. La relazione di equivalenza associata ad una funzione. Teorema: ogni funzione si può scrivere come composizione di una funzione iniettiva e di una funzione suriettiva. Costruzione dei numeri interi e dei numeri razionali come classi di equivalenza. Numeri di Bell e numeri di Stirling di seconda specie e relative formule di ricorrenza. Legame tra i numeri di Stirling e il numero di funzioni suriettive tra due insiemi finiti.  Insiemi parzialmente ordinati: definizione ed esempi. Elementi inconfrontabili. Catene e anticatene. Ordine lessicografico. Relazione di copertura e sue proprietà. Diagramma di Hasse. Sottoordini. Intervalli. Morfisimi e isomorfismi d'ordine. Linearizzazioni. Duale di un poset. Principio di dualità. Elementi massimali e minimali. Massimo e minimo. Condizione di Jordan-Dedekind e rango.  Estremo superiore ed inferiore di due elementi di un poset. Definizione di reticolo. Proprietà delle operazioni di sup ed inf. Reticolo completo. Teorema: ogni reticolo finito è completo. Reticolo astratto. Teorema: ad ogni reticolo astratto L è associata una relazione d'ordine con la quale L risulta un reticolo isomorfo a quello di partenza. Morfismo e isomorfismo di reticoli. Sottoreticolo. Reticolo modulare e reticolo distributivo e relative caratterizzazioni (con sottoreticoli "proibiti" e attraverso il rango: senza dim.).  Divisibilità tra interi: lemma di divisione. Massimo comun divisore. Algoritmo di Euclide. Teorema di Bézout. Numeri primi. Teorema: i numeri primi sono infiniti. Crivello di Eratostene. Teorema fondamentale dell'aritmetica.  Definizione di gruppo. Gruppo abeliano. Esempi: il gruppo generale lineare e il gruppo simmetrico. Legge di cancellazione. Tavola di moltiplicazione.  Esempi di gruppo: le classi resto modulo n rispetto alla somma. Il caso del prodotto: Z*_n è un gruppo se e solo se n è un numero primo. Definizione di semigruppo e di monoide. Teorema: un monoide è un gruppo se e solo se le equazioni a*x=b e x*a=b hanno soluzione per ogni a,b.   Sottogruppo:	  definizioni	  equivalenti.	  Esempi:	  i	  sottogruppi	  di	  (Z,+).	  Il	  gruppo	  delle	  matrici	  triangolari	  superiori	  invertibili.	  Il	  gruppo	  di	  Heisenberg.	  Sottogruppi	  di	  S_3.	  Sottogruppo	  ciclico.	  Periodo	  di	  un	  elemento.	  	  	  Omomorfismi	  di	  gruppi.	  Isomorfismi.	  Endomorfismi.	  Automorfismi.	  Automorfismi	  interni.	  	  	  Il	  gruppo	  simmetrico:	  isomorfismo	  con	  il	  gruppo	  delle	  matrici	  di	  permutazione.	  Segno	  di	  una	  permutazione.	  Ciclo.	  Scomposizione	  di	  una	  permutazione	  come	  prodotto	  di	  cicli	  disgiunti.	  Ordine	  e	  segno	  di	  un	  ciclo	  e	  di	  una	  permutazione	  scomposta	  in	  cicli.	  Il	  gruppo	  alterno.	  	  Classi	  laterali	  rispetto	  ad	  un	  sottogruppo	  (destre	  e	  sinistre).	  Teorema:	  ogni	  classe	  laterale	  relativa	  al	  sottogruppo	  H	  è	  in	  corrispondenza	  biunivoca	  con	  H.	  Indice	  di	  un	  sottogruppo.	  Teorema	  di	  Lagrange	  e	  sue	  conseguenze.	  Sottogruppi	  normali.	  Quoziente	  di	  un	  gruppo	  rispetto	  ad	  un	  sottogruppo	  normale.	  Nucleo	  e	  immagine	  di	  un	  omomorfismo	  e	  loro	  proprietà.	  	  Un	  omomorfismo	  di	  gruppi	  è	  iniettivo	  se	  e	  solo	  se	  il	  suo	  nucleo	  contiene	  il	  solo	  elemento	  neutro.	  Quoziente	  di	  un	  gruppo	  rispetto	  al	  nucleo	  di	  un	  omomorfismo.	  Primo	  teorema	  di	  isomorfismo.	  Intersezione	  di	  due	  sottogruppi.	  Estremo	  superiore	  di	  due	  sottogruppi.	  

Programma del corso di Algebra 1 - M.Barnabei

http://campus.unibo.it/292050/1/programma%20A2013_14.pdf

Programma del corso di Algebra 1 - M.Barnabei

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Almae Matris Studiorum Campus

Almae Matris Studiorum Campus