Dans ce poster, nous présentons quelques propriétés asymptotiques de flots dans l'espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt

Boutin, Benjamin

Raymond, Nicolas

HAL-Rennes 1

Diagonalisation asymptotique d’ope´rateurs deHilbert-SchmidtBenjamin Boutin, Nicolas RaymondTo cite this version:Benjamin Boutin, Nicolas Raymond. Diagonalisation asymptotique d’ope´rateurs de Hilbert-Schmidt . 43e Congre`s National d’Analyse Nume´rique (CANUM 2016), May 2016, Obernai,France. <hal-01310908>HAL Id: hal-01310908https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01310908Submitted on 3 May 2016HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Sous certaines conditions la re´ciproque est vraie.Notons (Ei,j) et (Fi,j) les bases respectives de S2(H) et A2(H),canoniquement associe´es a` (en).”Diagonalisation” de G :Soit G ∈ L(S2(H),A2(H)). S’il existe une famille antisy-me´trique (gi,j)i,j∈N telle que G(Ei,j) = gi,jFi,j, alors G estdite diagonalisable de valeurs propres gi,j.◦ GBro diagonalisable avec gi,j = aj − ai.◦ GTod diagonalisable avec gi,j = −1 pour i < j.◦ GWeg n’est pas line´aire.Diagonalisation de dFH∞ avec F (H) = [H,G(H)] :dFH∞(Ei,j) = gi,j(αi − αj)Ei,jRe´sultats de convergenceUne famille de fonctions (gi,j)i,j∈N : R→ R sera dite :◦ e´quilibre´e si : ∀i, j ∈ N, ∃ci,j ∈ L∞(R,R+), ∀t ∈ R, |gi,j(t)| ≤ ci,j(t)|gj,i(t)| ,◦ borne´e ponctuellement si : ∀t ∈ R, supi,j |gi,j(t)| < +∞.Inte´grabilite´ et convergenceSoit H = (hi,j)i,j∈N ∈ C1(R,L2(H)) tel que◦ ‖H(t)‖HS est borne´e inde´pendamment de t◦ la famille (hi,j) est e´quilibre´e◦ il existe une famille de fonctions mesurables (gi,j)i,j∈N, e´quilibre´e et borne´e ponctuellement, de´finie sur R, telle que∀t ∈ R, h′i,i(t) =+∞∑j=0gi,j(t)|hi,j(t)|2 .i) Supposons qu’il existe T > 0 et (`)`∈N ∈ {−1, 1}N, tels que ∀t ≥ T, ∀k, ` ∈ N, k ≥ `, `g`,k(t) ≥ 0 .Alors on a la proprie´te´ d’inte´grabilite´∀` ∈ N,+∞∑j=0∫ +∞T|g`,j(t)||h`,j(t)|2 dt < +∞ ,et chacun des termes diagonaux h`,`(t) admet une limite note´e h`,`(∞).ii) Sous l’hypothe`se supple´mentaire : ∀` ∈ N, ∃c` > 0, ∀j 6= `, ∀t ≥ T, |g`,j(t)| ≥ c` , on a∑j 6=`∫ +∞T|h`,j(t)|2 dt =∫ +∞T‖H(t)e` − h`,`(t)e`‖2 dt < +∞ .iii) Si de plus pour tout ` ∈ N, la fonction t 7→ ‖H ′(t)e`‖ est borne´e, alors pour tout ` ∈ N, H(t)e` converge vers h`,`(∞)e`.Convergence – cas dimH = d <∞Sous les hypothe`ses pre´ce´dentes,limt→∞H(t) = H∞ = diag (α`)0≤`≤d−1ou` les α` sont les valeurs propres avec multiplicite´ de H0.Supposons, de plus, qu’elles sont valeurs propres simples.Alors‖H(t)−H∞‖ ≤ Ce−γt ,ou` γ = infT −|gi,j(αi − αj)| > 0 avecT − ={(i, j) ∈ {0, . . . , d− 1}2 : i < j et gi,j(αi − αj) < 0}.De´composition de Chu et NorrisSoit G : L2(H)→ A2(H) et conside´rons le proble`me de Cauchy pose´ pour une donne´e initiale quelconque H(0) = H0 ∈ L2(H) .Conside´rons les proble`mes satellites suivants :g′1(t) = g1(t)G(H(t)) , g1(0) = Id ,g′2(t) = (H(t)−G(H(t)))g2(t) , g2(0) = Id .Re´sultat adapte´ de [2] :Les solutions H, g1 et g2 sont globales et de classe C1. De plus◦ g1 est a` valeurs dans U(H)◦ H(t) = g1(t)−1H0g1(t) = g2(t)H0g−12 (t)◦ etH0 = g1(t)g2(t) et etH(t) = g2(t)g1(t)Algorithme QR [1] :eH(0) = g1(1)g2(1) et eH(1) = g2(1)g1(1).Dans le cas du flot de Toda, g1(t) ∈ U(H) et g2(t) est trian-gulaire supe´rieure : on reconnaˆıt l’algorithme discret corres-pondant a` la me´thode traditionnelle QR.Vitesse de convergence de la me´thode QR en dimension infinieSoit H0 ∈ L2(H) diagonalisable de valeurs propres (αj)j∈N ordonne´es selon les parties re´elles de´croissantes.Supposons qu’il existe P ∈ L(H) tel que PH0P−1 = Λ ou` Λ = diag(αj)j∈N ∈ D2(H) et tel que pour tout J ∈ N, le mineurPJ = (〈Pei, ej〉)0≤i,j≤J est inversible. Alors∀` ∈ N , H(t)e` −+∞∑j=`+1〈H(t)e`, ej〉ej = α`e` +O(e−tδ`), δ` = min0≤j≤`<(αj − αj+1) .NotationsStructure hilbertienneH espace de Hilbert re´el se´parable, muni du produit scalaire 〈·, ·〉(en)n∈N base hilbertienne de HOpe´rateurs particuliers E´tant donne´ H ∈ L(H)H− partie infe´rieure de H : 〈ei, H−ej〉 = 〈ei, Hej〉δi≥jCrochet : [A,B] = AB −BANorme Hilbert-Schmidt‖H‖2HS =∑n∈N ‖Hen‖2 =∑n∈N |λn(H)|2Ensemble d’ope´rateurs sur HL2(H) ope´rateurs de Hilbert-Schmidt sur HS(H) ope´rateurs syme´triques : H? = H S2(H) = S(H) ∩ L2(H)A(H) ope´rateurs antisyme´triques : H? = −H A2(H) = A(H) ∩ L2(H)D(H) ope´rateurs diagonaux : 〈Hei, ej〉 = λiδij D2(H) = D(H) ∩ L2(H)U(H) ope´rateurs unitaires : U?U = IdIllustrations nume´riques◦ H∞ = diag(α`) avec α` = `2, 1 ≤ ` ≤ 5 :◦ gi,j(αi − αj) :0 −9 −16 −21 −24−9 0 −7 −12 −15−16 −7 0 −5 −8−21 −12 −5 0 −3−24 −15 −8 −3 0◦ <(α` − α`+1) ∈ {9, 7, 5, 3}Re´fe´rences[1] Rutishauser, H., Ein infinitesimales Analogon zum Quotienten-Differenzen-Algorithmus,Arch. Math. (Basel), 5, 1954.[2] Chu, M. T. and Norris, L. K., Isospectral flows and abstract matrix factorizations, SIAMJ. Numer. Anal., 25 (6), 1988.[3] Bach, V. and Bru, J.-B., Rigorous foundations of the Brockett-Wegner flow for operators,J. Evol. Equ., 10 (2), 2010.[4] Boutin, B. and Raymond, N., Some remarks about flows of Hilbert-Schmidt operators,JEE, to appear.

Diagonalisation asymptotique d'opérateurs de Hilbert-Schmidt

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